Jak obliczenia transformacji Fouriera wpływają na rozwiązanie równań różniczkowych?

Transformacje Fouriera stanowią potężne narzędzie w analizie równań różniczkowych, zwłaszcza w kontekście równań różniczkowych cząstkowych (PDE) i problemów brzegowych. Stosowanie tej transformacji pozwala na przekształcenie skomplikowanych problemów w bardziej poręczne formy, które są łatwiejsze do rozwiązania. W szczególności, gdy mamy do czynienia z problemami na nieskończonych przedziałach, transformacja Fouriera oferuje narzędzie do efektywnego rozwiązania tych problemów poprzez przejście do przestrzeni częstotliwości.

Zastosowanie transformacji Fouriera w rozwiązaniach PDE

Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe w formie Laplace’a, które opisuje potencjał w przestrzeni dwuwymiarowej. Jeśli mamy do czynienia z równaniem różniczkowym w układzie współrzędnych $x$ i $y$, zastosowanie transformacji Fouriera w zmiennej $x$ pozwala na łatwiejsze rozwiązywanie takich problemów. Klasycznym przykładem jest sytuacja, w której mamy problem brzegowy na półpłaszczyźnie, gdzie funkcja $u(x, y)$ spełnia równanie Laplace’a.

Rozwiązanie tego problemu wymaga wykorzystania transformacji Fouriera względem zmiennej $x$, a następnie rozwiązania problemu brzegowego w przestrzeni zmiennej $y$. Po wykonaniu odpowiednich operacji transformacji Fouriera i rozwiązywaniu problemu w przestrzeni $y$, otrzymujemy rozwiązanie ogólne. Często wykorzystywana jest tutaj tzw. formuła Poissona, która w tym przypadku ma postać:

W tym przypadku funkcja $f(\xi)$ jest funkcją określającą wartości na brzegu. Ważne jest, aby zauważyć, że odpowiednia manipulacja transformacjami pozwala na uzyskanie szczególnych wyników, takich jak funkcje z pudełkiem (boxcar function), które w tym przypadku prowadzą do postaci rozwiązania wyrażonego za pomocą funkcji odwrotnej tangensa.

Przykład: Funkcja pudełkowa (boxcar function)

W szczególności, jeśli $f(x)$ jest funkcją pudełkową, tzn. funkcją, która przyjmuje wartość 1 w przedziale $|x| \leq 1$ oraz 0 poza tym przedziałem, to rozwiązanie równania Laplace’a przyjmuje szczególną postać:

Tego rodzaju wyniki mogą być wizualizowane za pomocą wykresów trójwymiarowych, które ilustrują rozkład potencjału w przestrzeni.

Rozwiązanie równań różniczkowych w przestrzeni półpłaszczyzny

Podobny proces transformacji Fouriera stosuje się również w przypadku równań różniczkowych w przestrzeni półpłaszczyzny, gdzie mamy do czynienia z warunkami brzegowymi określającymi wartości funkcji na prostych brzegowych. Na przykład, równanie Laplace’a w półpłaszczyźnie można rozwiązać za pomocą transformacji Fouriera względem zmiennej $x$, a następnie przekształcić problem do postaci równań zwykłych w przestrzeni zmiennej $y$.

Rozwiązanie tego problemu dla funkcji $u(x, y)$ jest często uzyskiwane poprzez zastosowanie odpowiednich przekształceń sinusoidalnych. Wynik przyjmuje postać:

W takim przypadku transformacja Fouriera pozwala na zamianę trudnego problemu różniczkowego w przestrzeni $x$ i $y$ na bardziej przystępne formy, które łatwiej rozwiązać w przestrzeni częstotliwości.

Zastosowanie transformacji Fouriera w rozwiązywaniu problemów w trzech wymiarach

Rozwiązania oparte na transformacji Fouriera stosowane są również w przypadku problemów w trzech wymiarach, takich jak równanie przewodnictwa ciepła. Dla problemu opartego na równaniu ciepła w trzech wymiarach, transformacja Fouriera pozwala na uzyskanie rozwiązania w przestrzeni częstotliwości, co umożliwia efektywne wyznaczanie rozkładu temperatury w dowolnym punkcie przestrzeni w zależności od czasu. Transformacja Fouriera względem zmiennych przestrzennych prowadzi do postaci rozwiązania w przestrzeni częstotliwości, co w przypadku równań przewodnictwa ciepła jest szczególnie użyteczne.

Finalne rozwiązanie, uwzględniające czas oraz przestrzenny rozkład funkcji, może być zapisane w postaci całkowej:

To rozwiązanie jest analogiczne do problemu w przestrzeni dwóch wymiarów, z tą różnicą, że obejmuje teraz trzy wymiary przestrzenne.

Podstawowe zasady związane z transformacjami Fouriera

Przekształcenia Fouriera są szczególnie potężne w kontekście równań różniczkowych cząstkowych na nieskończonych przedziałach. Ich główną zaletą jest to, że pozwalają na zamianę problemów w przestrzeni czasowo-przestrzennej na bardziej przystępne postacie w przestrzeni częstotliwości. Ważnym aspektem jest również to, że transformacje Fouriera pomagają rozwiązywać problemy brzegowe poprzez wykorzystanie właściwości funkcji bazowych takich jak funkcje sinusoidalne i kosinusoidalne, które są idealnie dopasowane do analizy takich problemów.

Istotną kwestią, którą należy również zrozumieć, jest związek między transformacjami Fouriera a transformacjami Laplace’a. Laplace transformuje funkcje z przestrzeni czasowo-przestrzennej na funkcje w przestrzeni zespolonej, podczas gdy transformacja Fouriera jest jej specjalnym przypadkiem, który odnosi się do funkcji periodycznych, umożliwiając pełniejsze zrozumienie i rozwiązywanie problemów o okresowym charakterze.

Jak modelować układy przepływowe z interakcjami między komórkami?

Zrozumienie zachowań układów przepływowych, w których zachodzą interakcje pomiędzy różnymi zbiornikami lub komórkami, jest kluczowe w analizach inżynierskich, szczególnie w kontekście masowego transferu, reakcji chemicznych i dyfuzji. Dobrze zaprojektowane modele matematyczne pozwalają nie tylko na przewidywanie zachowań systemów w czasie rzeczywistym, ale także na optymalizację procesów technologicznych. W tym kontekście, istotne jest opracowanie równań różniczkowych, które dokładnie opisują dynamikę tych układów.

Weźmy przykład układu trzech zbiorników, jak pokazano na rysunku 1.9. Załóżmy, że każdy zbiornik jest dobrze wymieszany, a jednostkowa masa (np. 1 kg) substancji A jest nagle wprowadzona do większego zbiornika w chwili t = 0. Dodatkowo przyjmujemy, że wszystkie zbiorniki są wolne od substancji A dla t < 0. Jeśli objętość zbiornika VR = 1 m³, a przepływ między zbiornikami qe = 1 m³/min, to musimy opracować układ równań różniczkowych, który opisuje przejściowe zachowanie systemu.

Pierwszym krokiem w tym procesie jest sformułowanie równań różniczkowych dla koncentracji substancji A w każdym zbiorniku. Dla układu z trzech zbiorników interakcja między nimi będzie wynikała z przepływów, które z jednej strony wprowadzają substancję A, a z drugiej strony ją usuwają, powodując zmiany stężenia w czasie. Równania różniczkowe dla tego systemu można zapisać w formie wektorowo-macierzowej, co pozwala na łatwiejsze przetwarzanie analityczne i numeryczne.

Po ustaleniu równań, kolejnym krokiem jest wyznaczenie stężeń w stanie ustalonym, czyli takich, które nie zmieniają się już w czasie. W przypadku układów o równych przepływach, rozwiązanie tych równań prowadzi do określenia końcowych stężeń substancji A w każdym zbiorniku. Zazwyczaj procesy te przyjmują charakter stacjonarny po pewnym czasie, w którym wartości stężeń przestają się zmieniać.

Warto również rozważyć model układu N zbiorników o tej samej objętości, rozmieszczonych w okręgu, z równymi przepływami wymiany między nimi. Uproszczenie, jakim jest przyjęcie, że wszystkie przepływy mają taką samą wartość, może być stosowane w sytuacjach, gdzie szczegóły przepływów nie są kluczowe, a interesuje nas tylko ogólna dynamika układu. Wówczas model można uogólnić do macierzy o wymiarach N × N, która opisuje zależności między poszczególnymi komórkami. Użycie macierzy pozwala na dalszą analizę struktury przepływów i ich wpływu na stężenia w poszczególnych zbiornikach.

Kolejnym aspektem, który warto wziąć pod uwagę w tym kontekście, jest obecność reakcji chemicznych, które mogą zachodzić w każdej komórce lub zbiorniku. W takim przypadku musimy wprowadzić dodatkowe równania, które uwzględniają nie tylko transport masy, ale również reakcje chemiczne. Model przepływu masy i reakcji w układzie N komórek z napływem i wypływem reagentów w każdej z nich można zapisać w formie układu równań różniczkowych, które uwzględniają zarówno przepływy masy, jak i procesy reakcji chemicznych.

W przypadku reakcji sekwencyjnych lub odwrotnych, jak to ma miejsce w sieci reakcji pokazanej na rysunku 1.10, również musimy dostosować nasze podejście, stosując odpowiednią macierz stałych reakcji, które będą uwzględniały zarówno reakcje nieodwracalne, jak i odwracalne. W takiej sytuacji należy zwrócić uwagę na to, jak zmieniają się przepływy i stężenia w różnych częściach układu, co może mieć istotne znaczenie w kontekście optymalizacji reakcji lub przepływu masy.

Współczesne narzędzia obliczeniowe, takie jak Mathematica®, umożliwiają przeprowadzenie skomplikowanych obliczeń symbolicznych i numerycznych, które pozwalają na analizowanie takich układów w sposób dokładny i efektywny. Dzięki takim narzędziom można łatwo zbadać wpływ różnych parametrów, takich jak szybkość reakcji, objętość zbiorników, przepływ czy czas kontaktu, na końcowy stan układu.

Warto pamiętać, że modele te można rozszerzyć o dodatkowe aspekty, takie jak dyfuzja w przestrzeni 2D i 3D. Zastosowanie takich modeli pozwala na uwzględnienie bardziej skomplikowanych układów, w których wymiana masy odbywa się w wielu wymiarach przestrzennych. Opracowanie odpowiednich macierzy sprzężenia w tych przypadkach jest istotne dla zrozumienia przepływów masy w układach o bardziej złożonej geometrii.

W kontekście układów konwekcyjnych, warto także rozważyć modele przepływowe, które uwzględniają wpływ słabych przepływów wejściowych i wyjściowych w każdym z elementów układu. Dzięki odpowiedniemu podejściu do macierzy przepływów, można uzyskać dokładny obraz zachowania takiego układu, w tym jego stabilności i reakcji na zmiany parametrów. Dodatkowo, takie modele mogą być użyteczne w analizie procesów transportu i reakcji w systemach, które charakteryzują się dużą liczbą zmiennych.

Na zakończenie, warto podkreślić, że każde rozszerzenie modelu o dodatkowe elementy, takie jak reakcje chemiczne, dyfuzja w przestrzeni, czy też złożone interakcje między przepływami, wymaga precyzyjnego podejścia matematycznego. Zrozumienie struktury układów równań oraz odpowiednia analiza macierzy przepływów i reakcji jest kluczowa dla prawidłowego modelowania i optymalizacji procesów w takich systemach.

Jak wyznacznik decyduje o istnieniu rozwiązań niebłahych układów równań i bifurkacjach w układach nieliniowych?

Najważniejszym zastosowaniem wyznacznika jest określenie warunków, pod którymi układ równań jednorodnych posiada rozwiązanie niebłahe, czyli inne niż trywialne zerowe. W przypadku zestawu funkcji {wi(x); i = 1, 2, ..., n} mówimy, że są one liniowo niezależne, jeśli jedynym rozwiązaniem równania jednorodnego

c₁w₁(x) + c₂w₂(x) + ... + cₙwₙ(x) = 0

jest c₁ = c₂ = ... = cₙ = 0. Przekształcając to równanie poprzez kolejne różniczkowania względem x aż do (n−1)-go rzędu, uzyskujemy układ n równań liniowych jednorodnych o współczynnikach cᵢ. Z faktu, że tylko rozwiązanie trywialne jest możliwe, wynika, że wyznacznik macierzy współczynników, zwany wyznacznikiem Wronskiego, nie może być zerowy. W przeciwnym razie istniałoby rozwiązanie niebłahe, a zbiór funkcji byłby liniowo zależny.

Przykłady dobrze ilustrują tę zasadę: zbiór {1, x, x²} jest liniowo niezależny, ponieważ wyznacznik Wronskiego jest różny od zera, natomiast zbiór {2x, 1 + x², (1 − x)²} jest liniowo zależny, gdyż jego wyznacznik Wronskiego wynosi zero.

W zastosowaniach nieliniowych, szczególnie w analizie bifurkacji rozwiązań, wyznacznik Jacobiego liniaryzowanego układu równań odgrywa kluczową rolę. Dla układu parametrów α i zmiennych u, postać

fi(u₁, u₂, ..., uₙ, α) = 0, i = 1, ..., n

pozwala na istnienie wielu rozwiązań, których liczba może zmieniać się w zależności od parametrów. Jeśli wyznacznik macierzy Jacobiego J = ∂f/∂u nie zanika, rozwiązanie jest funkcją ciągłą parametrów i zmienia się gładko. Jednak zmiana liczby rozwiązań może nastąpić tylko, gdy det J = 0, co wyznacza tzw. zbiór bifurkacji w przestrzeni parametrów. W tym zbiorze pojawiają się nowe rozwiązania lub istniejące znikają.

Przykładem jest równanie opisujące temperaturę w adiabatycznym reaktorze chemicznym (CSTR), gdzie parametry B i Da tworzą przestrzeń parametrów, a zbiór bifurkacji dzieli ją na obszary z różną liczbą rozwiązań. Podobnie, w modelu Lorenza, który opisuje konwekcję cieczy, wyznacznik Jacobiego pozwala określić punkt bifurkacji w zależności od liczby Rayleigha R. Wartość R=1 odpowiada przejściu od jedynego rozwiązania stanu ustalonego do trzech rozwiązań, co jest klasycznym przykładem bifurkacji widmowej typu "widełek" (pitchfork).

Analiza wyznacznika i jego zanikania jest zatem podstawą do rozpoznawania i klasyfikacji punktów krytycznych w układach zarówno liniowych, jak i nieliniowych. To narzędzie pozwala wyznaczyć momenty przejścia systemu pomiędzy różnymi stanami oraz wyjaśnić mechanizmy powstawania nowych rozwiązań.

Ważne jest zrozumienie, że wyznacznik Jacobiego pełni funkcję wskaźnika lokalnej zmienności rozwiązań względem parametrów. Jego zerowanie oznacza utratę odwracalności transformacji układu, co związane jest z pojawieniem się rozwiązań o innych właściwościach. W praktyce, dla układów wysokowymiarowych, obliczenia te wymagają zastosowania narzędzi symbolicznych lub programów komputerowych, które umożliwiają identyfikację zbioru bifurkacji.

Ponadto, należy zwrócić uwagę, że choć zanik wyznacznika Jacobiego jest warunkiem koniecznym bifurkacji, to w przypadkach, gdy zerowy własny wartości nie jest prosty, nie jest on warunkiem wystarczającym. Dlatego analiza rozkładu wartości własnych macierzy Jacobiego jest kluczowa dla pełnego zrozumienia charakteru bifurkacji i stabilności rozwiązań.

Zrozumienie powyższych aspektów pozwala na głębszą analizę dynamiki układów równań, zarówno w kontekście matematycznym, jak i w zastosowaniach praktycznych, takich jak fizyka, chemia czy inżynieria procesów.

Jak przekształcić układy różniczkowe z warunkami brzegowymi do równań całkowych typu Fredholma?

Układy różniczkowe z warunkami brzegowymi (BVP) często pojawiają się w różnych dziedzinach matematyki stosowanej, takich jak mechanika, fizyka czy inżynieria. Zajmowanie się tymi układami, szczególnie w kontekście równań całkowych, pozwala na nowatorskie podejście do rozwiązywania trudnych problemów, które mogą być mniej złożone do rozwiązania w tej formie. W tej części przedstawimy, jak przekształcić układy BVP do równań całkowych typu Fredholma i omówimy niektóre metody ich rozwiązywania.

Początkowo przypomnijmy, że dla układu różniczkowego n-tego rzędu z warunkami brzegowymi, takim jak

oraz

gdzie $L$ to operator różniczkowy, $f(x)$ to funkcja źródłowa, a $W_a$, $W_b$ to odpowiednie operatory brzegowe, istnieje możliwość przekształcenia tego układu do równania całkowego. Zwykle robi się to, wyprowadzając tzw. funkcję Green’a, która stanowi jądro tego równania. Dla jednego z przypadków, gdy funkcje źródłowe są bardziej ogólne, przekształcone równanie może przyjąć postać nieliniowego równania całkowego drugiego rodzaju:

gdzie $G(x, s)$ to funkcja Green’a, a $h(s, u(s))$ jest bardziej ogólną funkcją źródłową, zależną od $u(s)$.

Warto zauważyć, że dla szczególnych przypadków, w których układ BVP jest samosprzężony, funkcja Green’a (jądro) jest symetryczna, co upraszcza rozwiązanie. Dodatkowo, jeśli funkcja wagowa w produkcie wewnętrznym nie jest jednością, możemy zdefiniować odpowiednią funkcję pomocniczą, aby uzyskać symetryczne jądro także w bardziej ogólnych przypadkach, takich jak problem wartości własnych Sturm-Liouville’a.

Przykład przekształcenia układu BVP do równania całkowego typu Fredholma możemy zobaczyć w problemie wartości własnych dla układu:

z warunkami brzegowymi $u(a) = 0$, $u(b) = 0$. Tego typu równanie można przekształcić do równania całkowego drugiego rodzaju:

Główna trudność pojawia się w przypadku, gdy funkcja wagowa $\rho(s)$ nie jest jednością. Wówczas konieczne jest wprowadzenie zmiennej pomocniczej $\varphi(x) = \sqrt{\rho(x)} u(x)$, co pozwala na uzyskanie równania całkowego z symetrycznym jądrem.

Równania całkowe z jądrem separowalnym stanowią szczególny przypadek równań Fredholma. Dla tych równań, jądro można zapisać w postaci sumy iloczynów funkcji zależnych od zmiennych $x$ i $s$:

Wówczas rozwiązanie równania całkowego może być uzyskane przy pomocy klasycznej algebry macierzy. Proces rozwiązania polega na wyznaczeniu odpowiednich współczynników $c_i$, które odpowiadają wartościom własnym jądra. Jeśli dla pewnego $\lambda$ wyznaczona macierz $A$ ma wyznacznik równy zero, to dla tego $\lambda$ równanie ma rozwiązanie niebędące trywialnym. Rozwiązanie nienaładowane daje funkcje własne jądra, które są kluczowe przy analizie tych układów.

Przykład z życia codziennego może pomóc w zrozumieniu tego zagadnienia. Rozważmy równanie:

Jądro $K(x, s)$ jest separowalne, ponieważ możemy je zapisać w formie:

Stąd rozwiązanie tego układu przy pomocy algebraicznych metod wyznaczania wartości własnych prowadzi do określenia, dla jakich $\lambda$ równanie ma rozwiązania nienaładowane. Takie rozwiązania mają kluczowe znaczenie w rozwiązywaniu bardziej złożonych układów równań, zwłaszcza w kontekście dynamiki układów fizycznych czy analizy procesów w inżynierii.

Dzięki przekształceniu równań różniczkowych z warunkami brzegowymi do równań całkowych typu Fredholma, możliwe jest bardziej efektywne rozwiązanie tych układów, zwłaszcza w kontekście nieliniowych układów dynamicznych. Zastosowanie funkcji Green’a, właściwości symetrii oraz analizy wartości własnych pozwala na uzyskanie pełniejszych i bardziej precyzyjnych wyników.

Kolejnym ważnym aspektem, który warto podkreślić, jest to, że równania całkowe typu Fredholma i Volterra są często wykorzystywane w problemach, które są trudne do rozwiązania przy pomocy tradycyjnych metod różniczkowych. Dzięki ich zastosowaniu możliwe jest uproszczenie analizy układów fizycznych i matematycznych, w tym w takich dziedzinach jak teoria dyfuzji, analiza drgań, a także w modelowaniu układów z opóźnieniami czy w analizie procesów stochastycznych.

Jak zastosować FFT do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych w układach prostokątnych?

W kontekście rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych (PDE) za pomocą transformacji Fouriera, szczególną uwagę należy zwrócić na zastosowanie dyskretnych transformat Fouriera (FFT) do rozwiązywania różnych typów równań w układach prostokątnych. Równania takie jak falowe, paraboliczne, hiperboliczne czy eliptyczne, w zależności od problemu, wymagają specyficznych rozważań nad wyborem odpowiednich funkcji własnych oraz operatorów różniczkowych.

Rozpocznijmy od ogólnej formy równania falowego, które może być rozwiązane za pomocą FFT. Wykorzystanie transformaty Fouriera do rozwiązania równań falowych prowadzi do uzyskania wyrazu w postaci sumy szeregów Fouriera. Dla funkcji u(x, t) możemy zapisać rozwiązanie w formie:

W tym równaniu rozkład u(x, t) jest opisany jako suma funkcji sinusoidalnych, które uwzględniają początkowe warunki zarówno dla przemieszczenia (funkcja $f(\xi)$) jak i dla prędkości (funkcja $g(\xi)$). Rozwiązanie takie jest typowe dla drgań w układach o określonych warunkach brzegowych. Zauważmy, że po wykonaniu odwrotnej FFT uzyskujemy funkcję $u(x, t)$, która przyjmuje postać szeregu Fouriera opisującego drgania układu.

Jeżeli założymy, że $g(\xi) = 0$, czyli początkowa prędkość jest zerowa, rozwiązanie upraszcza się do postaci:

To rozwiązanie reprezentuje czysty tryb drgań o okresie $T = \frac{2}{j c}$, gdzie $j$ oznacza numer trybu drgań, a $c$ to prędkość rozchodzenia się fali. Częstotliwość cykliczna tego trybu wynosi $\frac{jc}{2}$. W tym przypadku mamy do czynienia z typowym rozwiązaniem dla drgań harmonicznych w układzie, gdzie każdemu trybowi drgań przypisana jest określona częstotliwość.

Przechodząc do równań eliptycznych, takich jak równanie Poissona w dwóch wymiarach, otrzymujemy układ równań, który można rozwiązać za pomocą FFT w układzie prostokątnym. W przypadku tego typu równań, zakładając prostokątną domenę $(x, y)$ z odpowiednimi warunkami brzegowymi $u = 0$ na krawędziach, rozkład funkcji $u(x, y)$ jest możliwy do wyrażenia za pomocą sumy funkcji własnych operatora Laplace'a:

gdzie $\lambda_{nm} = \frac{n^2 \pi^2}{a^2} + \frac{m^2 \pi^2}{b^2}$ to wartości własne, a funkcje własne $w_{nm}(x, y)$ są postaci:

To równanie ilustruje sposób, w jaki za pomocą transformaty Fouriera możemy rozwiązać równania eliptyczne w prostokątnych układach współrzędnych. Wyrażenie to pozwala uzyskać rozwiązanie za pomocą sumy szeregu Fouriera dla funkcji $f(x, y)$, która może być dowolną funkcją źródłową, np. rozkładem temperatury, ciśnienia lub koncentracji w zadanym układzie.

W przypadkach szczególnych, takich jak $f(x, y) = 1$ (stała funkcja źródłowa), rozwiązanie przyjmuje postać:

Jest to przykład rozwiązania równania Poissona w prostokątnym obszarze jednostkowym, gdzie suma jest zbieżna, a wynikowa funkcja $u(x, y)$ opisuje rozkład pola w układzie.

Z kolei dla punktowego źródła $f(x, y) = \delta(x - \frac{a}{2}) \delta(y - \frac{b}{2})$, rozwiązanie przyjmuje formę:

To rozwiązanie pokazuje, jak FFT pozwala na wyznaczenie rozkładu w układzie, gdzie źródło znajduje się w środku domeny.

Ważnym aspektem stosowania FFT w takich zadaniach jest sposób zbieżności rozwiązania. W przypadku małej liczby składników w szeregu Fouriera (np. 2×2) otrzymujemy rozwiązanie, które w większości obszaru jest wystarczająco dokładne, natomiast w pobliżu źródła, jak w przypadku punktowego źródła, zbieżność jest wolniejsza, co może wymagać większej liczby składników w obliczeniach.

Zastosowanie FFT w takich przypadkach umożliwia szybkie i efektywne rozwiązanie skomplikowanych równań różniczkowych cząstkowych w układach prostokątnych, zarówno w wymiarze jednowymiarowym, jak i w wyższych wymiarach, umożliwiając uzyskanie rozwiązań w praktycznych aplikacjach inżynierskich, takich jak analiza naprężeń, rozkład temperatury czy przepływ płynów.