Jak powstaje struktura drabinowa Wanniera–Starka i jak wpływa pole elektryczne na lokalizację funkcji falowej?

Rozważając przewodnictwo w nadkratkach kwantowych, istotne staje się zrozumienie, jak zewnętrzne pole elektryczne deformuje strukturę energetyczną i funkcje własne elektronów w systemach periodycznych. Równanie własne w przestrzeni pędu przyjmuje postać równania różniczkowego, w którym współrzędna przestrzenna zostaje zastąpiona przez operator pochodnej względem pędu. To prowadzi do rozwiązania funkcji falowej w postaci wykładniczej zależnej od całki różnicy między całkowitą energią a energią pasma – funkcją okresową względem wektora falowego. Warunek periodyczności funkcji falowej w przestrzeni pędu prowadzi do kwantyzacji energii i wyznaczenia jej wartości jako członów tzw. drabiny Wanniera–Starka.

Przestrzenna reprezentacja funkcji falowej uzyskiwana jest przez transformatę Fouriera funkcji w przestrzeni pędu, prowadząc do wyrażenia zawierającego funkcję Blocha i szereg funkcji Bessela, które determinują amplitudę falową w kolejnych studniach kwantowych. Gdy ograniczymy rozwinięcie energetyczne do dwóch pierwszych wyrazów i uprościmy strukturę funkcji Blocha, otrzymujemy funkcję falową wyrażoną bezpośrednio przez funkcję Bessela pierwszego rodzaju, co podkreśla oscylacyjny i lokalny charakter funkcji własnych w obecności pola.

Ten efekt lokalizacji został potwierdzony zarówno metodami modelu tight-binding, jak i numerycznie poprzez zastosowanie potencjału Kroniga–Penneya z odpowiednimi warunkami brzegowymi. Rozwijając funkcję falową w szereg funkcji sinusów (spełniających warunki zaniku na brzegach skończonego potencjału), uzyskuje się zgodność pomiędzy wynikami analitycznymi a numerycznymi. W konkretnym przykładzie dla nadkratki GaAs/AlGaAs przy różnych wartościach pola elektrycznego obserwuje się zmianę rozciągłości funkcji falowej: przy słabszym polu funkcja rozciąga się na około dziesięć okresów struktury, natomiast przy silniejszym – tylko na siedem, co oznacza silniejszą lokalizację.

Analiza przejść nieelastycznych z emisją fononów pokazuje, że prawdopodobieństwo takich przejść rośnie wraz ze wzrostem pola elektrycznego, osiągając maksimum przy krytycznym natężeniu pola Fc, po czym maleje. Krytyczne pole zależy od energii stanu początkowego i przybliżeniowo odpowiada warunkowi tworzenia stanu Wanniera–Starka. Oscylacje prawdopodobieństwa przejścia przy niskich polach również są bezpośrednim efektem obecności funkcji Bessela w funkcji falowej.

Warto zauważyć, że zjawiska opisane powyżej — od lokalizacji funkcji falowej, przez kwantyzację energii w polu, aż po rezonansowe przejścia fononowe — są ściśle powiązane z fundamentalną periodycznością struktury i obecnością pola zewnętrznego. Fenomen drabiny Wanniera–Starka nie tylko wyjaśnia transport elektronów w nadkratkach, ale również stanowi fundament dla zrozumienia efektów rezonansowych w dziedzinie terahercowej.

Zrozumienie drabiny Wanniera–Starka wymaga również uświadomienia sobie, że lokalizacja funkcji falowej jest tutaj zjawiskiem czysto kwantowym — wynika z interferencji i warunku stacjonarności fazy w przestrzeni pędu. To fundamentalnie różni się od klasycznej lokalizacji związanej np. z pułapkami czy barierami energetycznymi. Dodatkowo, analiza tego systemu uwidacznia głęboką zależność właściwości transportowych od struktury pasmowej, kształtu potencjału i intensywności pola zewnętrznego, co czyni go wyjątkowym laboratorium dla eksploracji nieliniowych zjawisk w fizyce ciała stałego.

Jak działa tranzystor pojedynczego elektronu w układach logicznych?

W urządzeniach tranzystorów pojedynczego elektronu (SET) efekty tunelowania kwantowego prowadzą do powstania charakterystycznych oscylacji Coulomba, które zależą od rozmiaru kropli kwantowej oraz od rozdzielczości barier tunelowych. Zjawisko to jest szczególnie widoczne w układach o bardzo małych wymiarach, gdzie efekty kwantowe dominują nad klasycznymi. Obserwacja oscylacji Coulomba (CB) w takich urządzeniach, nawet w temperaturze pokojowej, daje wiele informacji o właściwościach materiału i zachowaniu elektronów w skali mikroskalowej.

Na przykład, w badaniach nad tranzystorem pojedynczego elektronu z kwantową kropką o średnicy 6 nm zaobserwowano wyraźne oscylacje CB w funkcji napięcia bramki (Vg), które były obecne nawet w temperaturze pokojowej. Zmiany temperatury, od temperatury pokojowej do 21 K, nie miały wpływu na te oscylacje, co wskazuje na dużą stabilność zjawiska. Warto zauważyć, że różnice w odstępach między szczytami oscylacji CB wskazują na nierównomierną strukturę poziomów kwantowych w kropce, a także na obecność negatywnego różniczkowego przewodnictwa (NDC), które na tych poziomach jest szczególnie widoczne. Zmiany te są nieoczywiste w klasycznych modelach elektroniki, a ich występowanie wskazuje na zaawansowane zjawiska tunelowania w mikroskalowych układach.

Podobne badania przeprowadzone na układzie z pojedynczym dotem w tranzystorze pojedynczego otworu (SHT) w technologii Si, w której rozmiar kropki kwantowej zmniejszono do 2 nm, wykazały wyraźne oscylacje CB oraz NDC w temperaturze pokojowej. Tak mała kropka kwantowa, z formowaniem punktowym przez tunelowanie elektronu w obszarze o grubości poniżej 5 nm, pozwala na obserwację zjawisk kwantowych na bardzo małych skalach. Dzięki takiej miniaturyzacji, uzyskano wyjątkową charakterystykę pracy, gdzie stosunek prąd-szczyt do prąd-doliny (PVCR) wynosił aż 40,4, co wskazuje na wysoce wydajne urządzenie o małym rozmiarze.

W kontekście technologii SET, najistotniejsze jest zrozumienie, jak zachowują się poziomy energetyczne w kropce kwantowej oraz jak zmienia się szybkość tunelowania w funkcji napięcia drenu (Vds). W początkowych zakresach Vds, elektrowydajność związaną z tunelowaniem elektronów przez cienką barierę obserwuje się jako wysoce efektywną, ale w miarę wzrostu napięcia Vds poziomy energetyczne w kropce przesuwają się, co prowadzi do zmniejszenia tempa tunelowania i pojawienia się NDC.

Teoretyczne modele dobrze tłumaczą obserwowane efekty w takich tranzystorach, zwłaszcza w kontekście tunelowania rezonansowego w bardzo małych kropkach kwantowych. Zgodność wyników eksperymentalnych z obliczeniami teoretycznymi dostarcza dodatkowych dowodów na istnienie nowych zjawisk kwantowych w skali nanometrowej, takich jak tunelowanie elektronów między stanami podstawowymi a wzbudzonymi.

W końcu, kluczowym kierunkiem zastosowań SET jest miniaturyzacja układów logicznych do bardzo małych rozmiarów. Pojedynczy tranzystor elektronu może stać się podstawowym elementem logicznym, a wykorzystanie go w układach logicznych opartych na logice jednoelektronowej pozwala na stworzenie układów scalonych o wyjątkowo wysokiej gęstości i bardzo niskim zużyciu energii. W eksperymentalnych próbach układów logicznych na bazie SET, jak w przypadku inwertera jednoelektronowego, udało się stworzyć układ o bardzo małej powierzchni (100 × 100 nm na tranzystor), który charakteryzuje się stabilnością i wyjątkową efektywnością energetyczną.

Podstawowe cechy takich układów to ich niewielka powierzchnia i możliwość kontrolowania stanu logicznego za pomocą pojedynczego elektronu, co stanowi rewolucyjny krok w kierunku tworzenia ultra-małych układów logicznych. Proste układy takie jak inwerter jednoelektronowy, oparty na tranzystorach SET, oferują możliwość dalszego rozwoju w kontekście miniaturyzacji elektroniki, otwierając drogę do ultra-efektywnych układów cyfrowych.

Jak działa urządzenie kwantowe interferencyjne dziur?

W analizowanym układzie, takim jak przedstawiony na rysunku 10.7c, rozważamy transport dziur w tranzystorach kwantowych interferencyjnych z jednym bramką. Zakłada się, że fala ciężkiej dziury o wektorze falowym $k$ wchodzi do obwodu źródła 1 i wychodzi z obwodu drenu 3. Strefa 2 stanowi bramkę, której długość $L$ jest kontrolowana napięciem bramki. W tej strefie powstaje fala stojąca, której punkt zerowy znajduje się w miejscu bramki. Przeanalizowanie takiego układu polega na zapisaniu funkcji falowych w poszczególnych obwodach, co wymaga uwzględnienia różnych współczynników związanych z ciężkimi i lekkimi dziurami.

Równania wynikające z warunków brzegowych prowadzą do układu równań algebraicznych, z którego można wyznaczyć funkcje transmisji i odbicia. Zgodnie z równaniem (10.38), funkcje transmisji i odbicia dla ciężkiej dziury i lekkiej dziury są zapisane jako:

• $T_{hh} = |d_1|^2$, funkcja transmisji ciężkiej dziury do ciężkiej dziury,

• $T_{hl} = |d_2|^2 \frac{k}{k'}$, funkcja transmisji ciężkiej dziury do lekkiej dziury,

• $R_{hh} = |a_1|^2$, funkcja odbicia ciężkiej dziury do ciężkiej dziury,

• $R_{hl} = |a_2|^2 \frac{k}{k'}$, funkcja odbicia ciężkiej dziury do lekkiej dziury.

Na przykład, w przypadku, gdy stosunek $k'/k$ wynosi około 0.395, obserwujemy oscylacje funkcji transmisji z okresem wynoszącym około $5\pi$, co wskazuje na interferencję między falami ciężkiej dziury i lekkiej dziury. Warto zauważyć, że transmisja ciężkiej dziury do lekkiej dziury jest znacznie mniejsza, wynosząc około 0.2, co oznacza, że tylko niewielka część fali ciężkiej dziury przechodzi w falę lekkiej dziury.

Wszystkie te obliczenia są ważne z punktu widzenia projektowania nowoczesnych urządzeń kwantowych, takich jak tranzystory kwantowe, które wykorzystują interferencję jako główną zasadę działania. Zrozumienie, jak falowe właściwości dziur wpływają na transmisję i odbicie, jest kluczowe przy tworzeniu układów o precyzyjnych właściwościach kwantowych.

Jakie są kluczowe efekty kwantowe w tranzystorach opartych na punktach kwantowych i ich zastosowanie w nowoczesnej elektronice?

Współczesna elektronika kwantowa stanowi fundament dla rozwoju zaawansowanych technologii, takich jak pamięci magnetyczne, nanoczujniki czy układy elektroniczne o wyjątkowo wysokiej wydajności. Zjawiska kwantowe, takie jak efekt Coulomba, oscylacje Coulomba, czy też zmiany stanu elektronów w punktach kwantowych, odgrywają kluczową rolę w projektowaniu nowoczesnych urządzeń, których charakterystyki różnią się od klasycznych układów elektronicznych. W ramach tego rozdziału przedstawimy szereg podstawowych efektów kwantowych, które są podstawą funkcjonowania tych zaawansowanych technologii.

Podstawowym zjawiskiem w obszarze elektroniki kwantowej jest zjawisko blokady Coulomba (Coulomb blockade), które pojawia się w układach o bardzo małych rozmiarach, takich jak pojedyncze punkty kwantowe. W tych układach elektron nie może przejść przez barierę potencjału, jeśli nie posiada odpowiedniej energii, co jest wynikiem silnych interakcji elektrostatycznych między ładunkami. W efekcie, energia wymagana do wprowadzenia elektronu do układu jest dyskretna, co prowadzi do pojawiania się charakterystycznych "schodów" na wykresach zależności prąd-napięcie. Efekt ten znajduje szerokie zastosowanie w pamięciach jednoelektronowych, gdzie przechowywanie informacji odbywa się poprzez kontrolowanie stanu pojedynczych elektronów.

Zjawiska takie jak oscylacje Coulomba i efekt Coulombowego schodzenia stanowią kolejny kluczowy element w elektronice kwantowej. Oscylacje te są wynikiem okresowych zmian w energii układu przy różnych wartościach napięcia, które kontrolują ilość elektronów w punkcie kwantowym. Zjawisko to może być wykorzystane w urządzeniach przechowujących informacje w postaci stanów naładowania, a także w układach detekcji, gdzie zmiana ładunku może prowadzić do łatwego wykrycia obecności elektronu. Tego typu efekty są szczególnie istotne w rozwoju czujników jednoelektronowych, które pozwalają na wykrywanie minimalnych ilości ładunku.

Zjawisko nieliniowości, obserwowane w wielu urządzeniach na bazie punktów kwantowych, również zasługuje na szczególną uwagę. W tego typu układach, na przykład w bramkach typu "double-dot", właściwości nieliniowe mogą być kontrolowane poprzez zmiany napięcia bramki, co pozwala na precyzyjne sterowanie przepływem elektronów. W praktyce, może to być wykorzystane do tworzenia zaawansowanych układów logicznych, w których zmiany napięcia prowadzą do kontrolowanych przejść między stanami, a efekty nieliniowe umożliwiają tworzenie bardziej złożonych układów obliczeniowych.

Ważnym aspektem jest również kontrola nad prędkościami elektronów i ich rozkładami energetycznymi. W układach kwantowych zachowanie elektronów może być opisane równaniami Diraca lub Schrödingera, a dynamika elektronów może być modelowana z uwzględnieniem takich zjawisk jak rozkład Fermi'ego, prędkość Fermi'ego, czy funkcja falowa. Zmiany w strukturze pasmowej półprzewodników, a także oddziaływania między elektronami, mają znaczący wpływ na wydajność urządzeń, szczególnie w kontekście miniaturyzacji i zwiększania częstotliwości pracy urządzeń.

Znajomość tych podstawowych zjawisk kwantowych jest niezbędna do dalszego rozwoju technologii opartych na punktach kwantowych i innych nanostrukturach. Aby te technologie mogły zyskać szersze zastosowanie w komercyjnych urządzeniach, konieczne jest dalsze badanie wpływu parametrów takich jak mobilność nośników ładunku, długość fali Fermi'ego, oraz interakcje spinowe na funkcjonowanie układów elektronicznych w skali nanometrycznej.

Dodatkowo, należy zwrócić uwagę na rolę nowych materiałów, takich jak materiały węglowe (grafen, nanorurki węglowe), które wykazują niezwykłe właściwości elektroniczne w kontekście kwantowych układów tranzystorowych. Te materiały otwierają nowe możliwości w projektowaniu urządzeń o jeszcze lepszych parametrach, w tym wyższej prędkości pracy i mniejszych rozmiarach.