Jak zrozumieć ruch aktywnych cząsteczek Brownowskich przy użyciu metody średniej stochastycznej

Równanie stochastyczne dla różnicy kątów fazowych w układzie dynamicznym opisanym w równaniu (5.18) ilustruje złożoność interakcji między różnymi parametrami ruchu cząsteczek aktywnych. W przypadku układów quasi-integralnych i rezonansowych z zastosowaniem metody średniej stochastycznej, różnice kątów fazowych mogą być wyrażone jako rozwiązania równań różniczkowych stochastycznych, takich jak równanie (5.19). Określenie zachowań tych różnic w czasie wymaga uwzględnienia zarówno dampingów Rayleigha, jak i różnych innych typów tłumienia, jak w przypadku współczynnika tłumienia typu Erdmann.

Po przejściu do układów trójwymiarowych, gdy γ1, γ2 i D dążą do zera, wektory opisujące układ dynamiczny przechodzą do procesu rozpraszania Markowa. Stacjonarne funkcje prawdopodobieństwa, takie jak p(h1, h2, ψ), przyjmują postać rozwiązania zredukowanego równania FPK (Fokker-Planck-Kolmogorowa), co prowadzi do uzyskania równania (5.20). To wyrażenie, mimo swojej złożoności, pozwala na uzyskanie ogólnej analitycznej formy rozwiązania.

Równania te, oparte na średnich czasowych i przestrzennych, wyrażają zmiany w funkcji prawdopodobieństwa cząsteczek w trakcie ich ruchu. Otrzymujemy wtedy układ równań różniczkowych, których rozwiązaniem jest prawdopodobieństwo stacjonarne p(h1, h2, ψ), czyli rozkład prawdopodobieństwa dla różnych parametrów układu, takich jak h1, h2 i ψ. Przeanalizowanie tych parametrów pozwala na uzyskanie głębszego wglądu w dynamikę cząsteczek w systemach z tłumieniem oraz w reakcji na zmiany w układzie.

W przypadku zastosowania tej metody w układach z cząsteczkami aktywnymi, wynikająca z tego funkcja prawdopodobieństwa opisuje rozkład przemieszczeń i prędkości cząsteczek Brownowskich, uwzględniając zarówno tłumienie, jak i dodatkowe czynniki takie jak intensywność pola zewnętrznego, w którym cząsteczki się poruszają. Takie podejście, jak pokazano w równaniu (5.30), umożliwia uzyskanie rozkładu prawdopodobieństwa dla przemieszczeń i prędkości cząsteczek aktywnych.

Podstawową cechą tego podejścia jest możliwość uzyskania dokładnego rozwiązania rozkładu stacjonarnego, co ma duże znaczenie przy analizie procesów, które charakteryzują się przypadkowymi fluktuacjami, typowymi dla cząsteczek aktywnych. W szczególności, rozwiązania równań stochastycznych wykorzystywane są do opisu różnych zjawisk w fizyce i biologii, takich jak ruch cząsteczek w systemach komórkowych czy dynamika mikrocząsteczek w cieczy.

Jak obliczyć maksymalny eksponent Lyapunova dla układów o wielokrotnych stopniach swobody z losowymi pobudzeniami?

W analizie układów n-stopniowych swobody (n-DOF) pod wpływem stochastycznych, parametrycznych pobudzeń, kluczowym elementem jest określenie maksymalnego eksponentu Lyapunova. Jest to miara niestabilności układu w kontekście rozprzestrzeniania się perturbacji w czasie. Rozważmy przykład układu liniowego, w którym takie pobudzenia oddziałują na dynamikę układu.

Rozpocznijmy od układu równań ruchu:

gdzie $Q_i$ i $P_i$ są wektorami położenia i pędu, a $\omega_i$, $\beta_{ij}$, $k_{ij}$ są stałymi charakterystycznymi dla układu, natomiast $\xi(t)$ jest procesem stochastycznym o zerowej średniej i funkcji korelacji $R(\tau)$. Zakłada się, że $\beta_{ij}$ i $R(0)$ są małe, co pozwala na dalszą upraszczającą analizę układu.

Aby wyznaczyć maksymalny eksponent Lyapunova, stosujemy metodę średnich stochastycznych. W wyniku jej zastosowania, równania ruchu układu stają się postacią układu Itô. Z definicji procesów Markowa oraz założeniem ergodyczności tego procesu, możemy obliczyć eksponent Lyapunova przy pomocy odpowiednich równań stochastycznych. Po zastosowaniu przekształcenia normy i analizy układu, otrzymujemy wyrażenie dla eksponentu Lyapunova:

Gdzie $p(\alpha_1)$ to funkcja gęstości prawdopodobieństwa, a $Q(\alpha_1)$ jest funkcją driftu, wyznaczaną z równań opisujących układ. Na przykład w przypadku układu dwu-stopniowego swobody (2-DOF), wartości tych funkcji mogą zostać uproszczone i przedstawione w formie:

Takie podejście umożliwia obliczenie maksymalnego eksponentu Lyapunova, który może być kluczowym wskaźnikiem niestabilności układu w kontekście zastosowań inżynierskich.

Zastosowanie tej metody pozwala również na badanie stabilności układów wirujących, takich jak wirniki w układach nawigacyjnych, w których stabilność kierunkowa jest kluczowa. W takich przypadkach, parametryczne pobudzenia mogą wpłynąć na stabilność, a analiza eksponentu Lyapunova pozwala na precyzyjne określenie warunków stabilności. W przypadku gyroskopowych układów, równanie ruchu przyjmuje postać:

gdzie $M$, $G$, $D$, $K$, $K_1$ są macierzami zależnymi od układu, a $\xi(t)$ to stochastyczny proces pobudzający. Podobnie jak w poprzednich przypadkach, metoda średnich stochastycznych jest stosowana do obliczenia eksponentu Lyapunova, który pozwala ocenić stabilność układu.