Jak zasada Hamiltona prowadzi do rzeczywistej trajektorii cząstki?

W rozdziale 7 dowiedzieliśmy się, że warunkiem, aby całka akcji S była stacjonarna, jest spełnienie równań Eulera-Lagrange’a. Zapisuje się to następująco:

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0

gdzie $q_j$ to j-ta uogólniona współrzędna, a $s$ to liczba stopni swobody w systemie. Jak możemy być pewni, że zasada Hamiltona prowadzi do rzeczywistej trajektorii, którą cząstka podąża? Aby to wykazać, rozważmy układ o jednym stopniu swobody, chociaż wynik ten łatwo można uogólnić na systemy o większej liczbie stopni swobody.

Załóżmy, że cząstka o masie $m$ porusza się wzdłuż linii. Położenie cząstki opisuje współrzędna $q$ . Lagrangian $L$ dla tego układu jest zapisany jako:

L = \frac{1}{2} m \dot{q}^2 - V(q)

Aby znaleźć trajektorię $q(t)$ , która czyni całkę akcji $S$ stacjonarną, podstawiamy powyższy Lagrangian do równań Eulera-Lagrange’a:

\frac{d}{dt} (m \dot{q}) = - \frac{\partial V}{\partial q}

Rezultatem jest równanie różniczkowe dla trajektorii $q(t)$ . Prawa strona tego równania to składowa siły działającej na cząstkę, natomiast lewa strona to pochodna pędu względem czasu. Widzimy, że trajektoria $q(t)$ , która czyni całkę akcji stacjonarną, jest tą samą trajektorią, która spełnia drugą zasadę Newtona. Oznacza to, że zasada Hamiltona rzeczywiście pozwala znaleźć równanie ruchu układu.

Warto zauważyć, że powyższa praca nie jest dowodem zasady Hamiltona, lecz jedynie pokazaniem, w jaki sposób zasada ta prowadzi do równań ruchu układu. Zanim przejdziemy do przykładów użycia Lagrangianu do wyznaczania równań ruchu w układzie, warto zwrócić uwagę na dodatkową terminologię, która stanie się użyteczna w dalszej części.

Po pierwsze, zauważmy, że $V = V(q_j)$ i $T = T(\dot{q}_i)$ . W naszym przykładzie mamy:

\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = m \dot{q}_j, \quad \frac{\partial L}{\partial q_j} = - \frac{\partial V}{\partial q_j}

Pojęcie $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}$ nazywane jest czasem j-tą składową uogólnionego pędu, chociaż nie zawsze jest to pęd liniowy. Podobnie, $\frac{\partial L}{\partial q_j}$ nazywane jest czasem j-tą składową uogólnionej siły; jednakże nie zawsze jest to rzeczywista siła, lecz działa w sposób analogiczny do niej. Zatem równanie (8.3.4) można przepisać jako:

„Uogólniona siła jest równa czasowej zmianie uogólnionego pędu.” Jest to zatem „uogólniona” druga zasada Newtona.

W dalszej części przedstawimy kilka przykładów, które ilustrują, jak za pomocą Lagrangianu znaleźć równania ruchu układu. W pierwszym przykładzie rozważymy układ w trzech wymiarach. Drugi przykład dotyczyć będzie układu dwóch cząstek z jednym ograniczeniem. W dwóch pierwszych przykładach obliczymy analitycznie Lagrangian oraz równania Eulera-Lagrange’a, co pozwoli na skupienie się na takich pojęciach, jak stopnie swobody czy ograniczenia. Kolejne przykłady wykorzystają inne współrzędne niż kartezjańskie, a piąty przykład będzie dotyczył ograniczeń prędkości.

Przykład 8.1: Równania Eulera-Lagrange’a w trzech wymiarach

Rozważmy cząstkę o masie $m$ poruszającą się w trzech wymiarach. Energia kinetyczna cząstki w współrzędnych kartezjańskich wyraża się wzorem:

T = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2)

Cząstka doświadcza tylko sił zachowawczych, a jej energia potencjalna jest $V = V(x, y, z)$ . Aby znaleźć równania Eulera-Lagrange’a dla tej cząstki w układzie kartezjańskim, należy zacząć od zapisu Lagrangianu:

L = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - V(x, y, z)

Równania Eulera-Lagrange’a dla tego układu będą mieć postać:

m \ddot{x} = F_x, \quad m \ddot{y} = F_y, \quad m \ddot{z} = F_z

Gdzie $F_x, F_y, F_z$ to składowe siły działającej na cząstkę. W tym przypadku składowe uogólnionego pędu są równe pędowi liniowemu, a uogólniona siła jest po prostu siłą działającą na cząstkę. Widzimy, że wynik równań Eulera-Lagrange’a jest identyczny z drugą zasadą Newtona. Warto zauważyć, że liczba równań Eulera-Lagrange’a odpowiada liczbie stopni swobody układu, co w tym przypadku wynosi trzy, ponieważ mamy trzy współrzędne, które opisują ruch cząstki w trzech wymiarach.

Przykład 8.2: Maszyna Atwooda

Rozważmy układ składający się z dwóch mas $m_1$ i $m_2$ , połączonych masywnym, nierozciągliwym sznurkiem o długości $\ell$ , który znajduje się na maszynie Atwooda. Maszyna Atwooda posiada koło pasowe o masie $M$ i promieniu $R$ , a koło jest pozbawione tarcia. Jeżeli sznurek nie ślizga się względem koła pasowego, należy znaleźć przyspieszenie mas $m_1$ i $m_2$ .

Zaczynamy od narysowania diagramu, aby określić współrzędne potrzebne do opisu stanu maszyny Atwooda. Definiujemy współrzędne $x_1$ i $x_2$ , które mierzą odległość od środka koła pasowego do mas $m_1$ i $m_2$ , odpowiednio. Z racji nierozciągliwości sznurka, współrzędne $x_1$ i $x_2$ nie są niezależne. Na przykład, gdy $m_1$ spada w dół, $m_2$ podnosi się i vice versa. W rezultacie istnieje jedno ograniczenie między tymi współrzędnymi, które zapisujemy jako:

\ell = x_1 + x_2 + \pi R

Oprócz tego, mamy cztery dodatkowe ograniczenia wynikające z ruchu mas, który jest ograniczony do jednej osi, co daje w sumie pięć ograniczeń na układ (łącznie z $m = 5$ ).

Jak wpływ defleksji Coriolisa koryguje trajektorię pocisku wystrzelonego na szerokości geograficznej 50°N?

Defleksja Coriolisa, wynikająca z rotacji Ziemi, jest jednym z kluczowych zjawisk, które musimy uwzględnić przy rozważaniu ruchu pocisku wystrzelonego na szerokości geograficznej 50°N. W kontekście ruchu pocisku w układzie nieinercjalnym, musimy skonstruować układ współrzędnych, w którym rozpatrzymy trajektorię pocisku. Układ ten znajduje się na półkuli północnej Ziemi, a kierunki êy i êx odpowiadają wschodowi i południu, odpowiednio. Wektor êz wskazuje w górę, w kierunku pionowym. Jeśli Ziemia nie obracałaby się, pocisk wylądowałby na odległości R = Rêy, leżąc na osi y. Jednak w wyniku rotacji Ziemi, pocisk wyląduje nieco na południe od tej osi.

Aby dokładnie określić miejsce, w którym pocisk wyląduje, należy uwzględnić efekt rotacji Ziemi. Rozwiązanie tego problemu można porównać do analizy ruchu wahadła Foucaulta, którego wibracje zależą od efektywnego przyspieszenia spowodowanego rotacją Ziemi. W przypadku pocisku, jego przyspieszenie, oprócz grawitacji, zawiera także składową spowodowaną ruchem obrotowym Ziemi. Efektywne przyspieszenie pocisku można opisać równaniem:

a = g - 2 (\omega \times v)

gdzie $\omega$ to wektor prędkości kątowej obrotu Ziemi, a $v$ to wektor prędkości pocisku. Pozostałe siły zewnętrzne nie działają na układ, dlatego całkowita siła $F' = 0$ . Grawitacja jest określona przez $g = -gêz$ , a przyspieszenie Coriolisa, które powstaje w wyniku ruchu Ziemi, można zapisać w postaci:

\omega \times v = (-\dot{y}\omega \sin \lambda)êx + (\dot{z}\omega \cos \lambda + \dot{x}\omega \sin \lambda)êy + (-\dot{y}\omega \cos \lambda)êz

gdzie $\lambda$ to szerokość geograficzna, a $\omega$ jest prędkością kątową Ziemi. Wprowadzając te składowe do równań ruchu, otrzymujemy układ równań różniczkowych opisujących trajektorię pocisku:

\ddot{x} = 2 \dot{y} \omega \sin \lambda

\ddot{y} = - 2 \omega (\dot{z} \cos \lambda + \dot{x} \sin \lambda)

\ddot{z} = - g + 2 \dot{y} \omega \cos \lambda

Jest to układ sprzężonych równań różniczkowych, którego rozwiązanie można uzyskać metodami numerycznymi. Choć można uprościć układ, zakładając na przykład, że $2 \dot{y} \omega \cos \lambda \ll g$ , w praktyce korzysta się z metod numerycznych, aby uzyskać dokładniejsze wyniki.

W rozwiązaniu numerycznym, przy założeniu, że pocisk jest wystrzeliwany z prędkością $v_0 = 200 \, \text{m/s}$ pod kątem $\alpha = 45^\circ$ , na szerokości geograficznej $\lambda = 50^\circ$ na wschód, rozwiązanie układu równań różniczkowych daje czas lotu pocisku, defleksję Coriolisa i zasięg. Na przykład w kodzie Python, po rozwiązaniu układu, uzyskujemy następujące wyniki:

Czas lotu: 28.9 s
Defleksja Coriolisa: 6.58 m
Zasięg: 4085.64 m

Wyniki te jasno pokazują, jak obrot Ziemi wpływa na trajektorię pocisku, powodując przesunięcie w kierunku południowym. Równocześnie, zależność od szerokości geograficznej ( $\lambda$ ) i prędkości pocisku sprawia, że efekty te mogą różnić się w zależności od lokalizacji i parametrów pocisku.

Analizując te wyniki, warto pamiętać, że defleksja Coriolisa nie jest jedynym zjawiskiem, które może wpływać na trajektorię pocisku. Przy wyższych prędkościach i innych warunkach atmosferycznych (takich jak wiatr czy ciśnienie atmosferyczne) inne efekty mogą znacząco zmieniać wyniki. Jednak w kontekście rotacji Ziemi, efekt Coriolisa stanowi kluczowy element, który należy uwzględnić, szczególnie w geograficznych szerokościach umiarkowanych.

Jak zaimplementować algorytm ditheringu w Pythonie dla obrazów MacPaint
Jak przekształcać dane dotyczące nieobecności w pracy i przypisywać oceny w Power Query?
Jakie są podstawowe miary statystyczne i jak interpretować wyniki pomiarów w kontroli jakości?
Zastosowanie stopów o pamięci kształtu (SMA) w nowoczesnych technologiach i przemysłach