Jakie są różnice w złożoności drzew obliczeniowych w kontekście struktur 1-predykatowych?

W niniejszym rozdziale omówimy miary złożoności drzew obliczeniowych w kontekście struktur 1-predykatowych (1PSM), ze szczególnym uwzględnieniem złożoności opisów problemów oraz minimalnej złożoności drzew obliczeniowych, które rozwiązują dany problem w sposób deterministyczny lub niedeterministyczny. Rozważymy również zależności między tymi miarami, które mają kluczowe znaczenie przy analizie obliczeniowej takich struktur.

• $\psi(\alpha_1 \alpha_2) \leq \psi(\alpha_1) + \psi(\alpha_2)$,

• $\psi(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3) \geq \psi(\alpha_1 \alpha_3)$,

• $\psi(\alpha_1) \geq |\alpha_1|$, gdzie $|\alpha_1|$ oznacza długość $\alpha_1$.

Miary złożoności, takie jak głębokość drzewa obliczeniowego, mogą być również rozszerzane na zbiór $P^*$. Zdefiniowana na tym zbiorze funkcja $\psi(\alpha)$ jest wtedy miarą złożoności drzewa obliczeniowego, które mierzy głębokość tego drzewa, przy czym $\psi(\alpha) = \sum_{i=1}^m \psi(p_i)$, gdzie $\alpha = p_1 \dots p_m$.

Równocześnie analizujemy problemy obliczeniowe na strukturach 1-predykatowych. Takie problemy mogą być dwu- lub wielowartościowe. W przypadku problemów z wieloma decyzjami wartościowymi mamy $(n+1)$-elementową krotkę $z = (\nu, p_1, \dots, p_n)$, gdzie $\nu$ to funkcja mapująca na zbiór $\mathcal{P}(\omega)$ (zbiór wszystkich niepustych skończonych podzbiorów $\omega$). Problem ten polega na znalezieniu liczby w zbiorze $\nu(p_1(a), \dots, p_n(a))$ dla danego $a \in A$, gdzie $A$ jest zbiorem elementów struktury.

Jeśli chodzi o problemy z pojedynczymi decyzjami wartościowymi, to krotka $z = (\nu, p_1, \dots, p_n)$ ma postać, w której $\nu$ jest funkcją mapującą na zbiór liczb całkowitych, a elementy $p_1, \dots, p_n \in P$ są predykatami w strukturze. Z kolei drzewo rozwiązujące taki problem deterministycznie oznacza, że dla każdej ścieżki $\xi$ w drzewie, jeśli $a \in A$, to $\tau(\xi) = z(a)$.

Punktem centralnym jest zrozumienie globalnego typu pary miary złożoności i struktury 1-predykatowej, który jest zdefiniowany jako tabela, w której opisane są zależności między miarami złożoności dla różnych typów drzew obliczeniowych. Typy funkcji $\psi$ zależą od tego, jak rozkładają się zestawy $\text{Dom}(g)$, $\text{Dom}^+(g)$ i $\text{Dom}^-(g)$, co pozwala na klasyfikację zachowań miar w kontekście różnych rodzajów problemów.

Czym jest rozszerzenie elementarne i jak wpływa na n-typy struktur?

Rozszerzenie struktury $U_1$ do struktury $U_2$, gdzie $U_1 \subset U_2$, nazywamy rozszerzeniem, a dokładniej — jeśli dla dowolnego wzoru $\varphi \in Fn(\sigma)$ i dowolnego n-wyrazu $\bar{a} \in A_1^n$ zachodzi równoważność: $U_1 \models \varphi(\bar{a})$ wtedy i tylko wtedy, gdy $U_2 \models \varphi(\bar{a})$, mówimy o rozszerzeniu elementarnym $U_2$ względem $U_1$, zapisując $U_1 \prec U_2$. W takim przypadku $U_1$ jest podstrukturą elementarną $U_2$.

Zlematów 6.8 i 6.9 wynika, że rozszerzenie elementarne nie zmienia zbiorów n-typów $S_n(U)$, które opisują możliwe typy zachowań $n$-elementowych krotek w strukturze. W praktyce oznacza to, że wzbogacając strukturę do jej rozszerzenia elementarnego, nie tracimy informacji o typach, a jedynie potencjalnie je realizujemy na większym zbiorze elementów.

Konstrukcja takich struktur opiera się na rozszerzeniach $\omega$-nasyconych, gdzie wprowadzane są specjalne podstruktury zawierające realizacje wszystkich typów n-tych, tworząc w ten sposób strukturę nasyconą. Umożliwia to traktowanie takich struktur jako uniwersalnych modeli, które zachowują teorię $U_1$, ale jednocześnie pozwalają na pełną realizację typów — co jest kluczowe w wielu zastosowaniach logiki modelowej i teorii programów.

Koncepcja program-saturation nabiera szczególnego znaczenia, gdy rozważamy programy obliczeniowe oparte na strukturach — rozbudowane struktury nasycone umożliwiają pełniejsze i bardziej złożone realizacje obliczeń, odwzorowując wszystkie istotne typy zachowań.

Istotne jest także rozumienie kardynałów i ich sukcesorów, gdyż determinują one rozmiar i właściwości rozszerzeń. Kardynał $\alpha(U)$ jest zdefiniowany tak, by uwzględniać zarówno uniwersum, jak i typy, co umożliwia analizę wielkości i nasycenia struktur w sposób precyzyjny i uogólniony.

Ważne jest zrozumienie, że pojęcia typów i nasycenia odnoszą się do możliwości „sprawdzania” i „realizowania” wszystkich logicznie dopuszczalnych konfiguracji w danej strukturze lub jej rozszerzeniu. To rozumienie pozwala lepiej docenić, w jaki sposób struktury te mogą służyć jako fundamenty do bardziej złożonych konstrukcji logicznych i obliczeniowych.

Jakie są zależności pomiędzy drzewami decyzyjnymi a tabelami decyzyjnymi w kontekście problemów obliczeniowych?

Dalsze badania wykazały, że zbiór drzew decyzyjnych dla problemów z klasy Probl∞(U) może być opisany przez klasyfikację tabel decyzyjnych o różnych typach decyzji. Na przykład, dla problemów, które wymagają decyzji binarnych (0-1), odpowiednie tablice decyzyjne mają formę tabel o decyzjach 0-1, które są zamknięte na operacje usuwania atrybutów i zmiany przypisanych decyzji do wierszy. Podobnie, dla problemów z wielowartościowymi decyzjami, odpowiadające im tablice mogą być opisywane jako tabele decyzyjne z wieloma wartościami, z operacjami zmiany przypisania atrybutów.

Równocześnie, dla takich tabel decyzyjnych, istnieje możliwość zastosowania silnych drzew decyzyjnych, które służą do rozwiązywania problemu rozpoznawania decyzji. Należy zauważyć, że dla tabel z jednoznacznymi decyzjami, powiązane drzewa decyzyjne będą deterministyczne, natomiast dla tabel z decyzjami 0-1, w grę wchodzą także drzewa decyzyjne niderministyczne, które mogą rozwiązywać te same problemy w sposób mniej jednoznaczny.

Z tego wynika, że dla dowolnego problemu z klasy Probl∞(U), możemy opracować odpowiadające mu drzewo decyzyjne, które w pełni opisuje proces decyzyjny tego problemu. Drzewa te mogą być zarówno deterministyczne, jak i niderministyczne, a ich struktura może być różna w zależności od typu tabeli decyzyjnej, którą rozważamy. Można zatem przyjąć, że badania nad strukturą drzew decyzyjnych stanowią kluczową metodę analizy problemów obliczeniowych.

Jednym z istotnych zagadnień jest zrozumienie wpływu operacji na tabelach decyzyjnych. Operacje te obejmują między innymi usuwanie atrybutów, zmienianie przypisanych decyzji oraz transformowanie tabel do formy binarnej (0-1). Dla tabel z jednoznacznymi decyzjami, te operacje mogą prowadzić do różnych wyników, w zależności od struktury tabeli i rodzaju decyzji. Ważnym zagadnieniem jest również badanie, jak te operacje wpływają na złożoność obliczeniową rozwiązania problemu.

Równolegle z rozważaniami nad strukturą drzew decyzyjnych, ważnym elementem jest także analiza złożoności obliczeniowej problemu. Można wyróżnić trzy główne parametry złożoności: złożoność opisu problemu, minimalna złożoność drzewa decyzyjnego deterministycznego oraz minimalna złożoność drzewa decyzyjnego niderministycznego. Badanie tych zależności pozwala na określenie, które metody rozwiązywania problemów są najbardziej efektywne w kontekście obliczeniowym.

Zdefiniowane przez nas pary 1psm (struktura 1-predykatowa wraz z miarą złożoności) stanowią punkt wyjścia do dalszych badań nad drzewami decyzyjnymi. Dla każdej pary 1psm istnieją odpowiednie funkcje, które opisują zależności pomiędzy złożonością opisu problemu a złożonością rozwiązań deterministycznych i niderministycznych. Analiza tych zależności jest kluczowa, aby zrozumieć, jak zmienia się złożoność problemów w zależności od typu decyzji i struktury tabeli.

Badania te pozwalają także na określenie tzw. lokalnych typów par 1psm, które opisują możliwe relacje między parametrami złożoności. Istnieje siedem podstawowych typów takich par, które definiują różne scenariusze złożoności obliczeniowej. Zrozumienie tych typów jest niezbędne do dokładnego modelowania problemów w kontekście drzew decyzyjnych i tabel decyzyjnych.

Dla każdego problemu z klasy Probl∞(U), rozważamy funkcje, które opisują zależności między złożonością opisu problemu a złożonością rozwiązania w postaci drzewa decyzyjnego. Istnieje wiele różnych tabel, które ilustrują te zależności, a każde rozwiązanie jest przypisane do konkretnego typu zależności. Z tego wynika, że dla dowolnego problemu możemy znaleźć odpowiedni typ drzewa decyzyjnego, który będzie spełniał wymogi dotyczące złożoności zarówno deterministycznych, jak i niderministycznych rozwiązań.