Iloczyn skalarny, znany również jako iloczyn wewnętrzny, jest jednym z podstawowych narzędzi w matematyce, wykorzystywanym m.in. w geometrii analitycznej oraz w fizyce. Choć jego definicja jest stosunkowo prosta, ma on szerokie zastosowanie, szczególnie w analizie wektorów, obliczeniach związanych z siłami, czy w określaniu kierunków i rzutów. W niniejszym rozdziale przyjrzymy się kilku przykładom iloczynu skalarnego, które ilustrują jego przydatność w różnych dziedzinach.

Rozpocznijmy od najprostszego zastosowania: obliczania pracy wykonaną przez siłę działającą na ciało. Załóżmy, że na ciało o masie działa stała siła pp, a ciało przemieszcza się o wektor dd. Praca wykonana przez siłę pp w tym przemieszczeniu definiowana jest jako:

W=∣p∣∣d∣cos⁡α=p⋅dW = |p| |d| \cos \alpha = p \cdot d

gdzie α\alpha to kąt między wektorami pp i dd. Zauważmy, że jeżeli wektory pp i dd są prostopadłe (czyli α=90∘\alpha = 90^\circ), praca wynosi zero. W przypadku, gdy wektory są skierowane przeciwnie, praca jest ujemna, co oznacza, że siła działa w kierunku przeciwnym do przemieszczenia, jak ma to miejsce podczas pływania w rzece pod prąd.

Kolejnym przykładem jest obliczenie składowej siły w określonym kierunku. Załóżmy, że na rampę o kącie 25∘25^\circ działa siła, a naszą celem jest obliczenie składowej tej siły w kierunku liny trzymającej samochód. W tym przypadku możemy reprezentować wektor siły jako sumę dwóch składników – jeden z nich jest równoległy do liny, a drugi prostopadły. Składowa siły pp w kierunku liny obliczana jest za pomocą iloczynu skalarnego:

p=∣a∣cos⁡γp = |a| \cos \gamma

gdzie γ\gamma to kąt między wektorem siły a kierunkiem liny. Korzystając z tej zależności, obliczamy siłę, która utrzymuje samochód w równowadze. Okazuje się, że siła potrzebna do utrzymania samochodu wynosi około 2100 lb, co jest przykładem typowego zastosowania iloczynu skalarnego w zadaniach inżynierskich.

Innym zastosowaniem iloczynu skalarnego jest obliczanie rzutów wektorów na określoną prostą. Jeśli wektor aa jest rzucony na prostą wyznaczoną przez wektor bb, to długość rzutu wektora aa na prostą równą wektorowi bb jest równa:

p=∣a∣cos⁡γp = |a| \cos \gamma

gdzie γ\gamma to kąt między wektorem aa i bb. Ta zależność jest niezwykle ważna w geometrii analitycznej, gdzie rzutowanie jest wykorzystywane do obliczeń w przestrzeni trójwymiarowej.

Warto również zwrócić uwagę na pojęcie bazy ortonormalnej. Baza ortonormalna to zbiór wektorów, które są jednostkowymi wektorami, wzajemnie prostopadłymi. Tego typu baza ma szczególne znaczenie w analizie przestrzeni wektorowych, ponieważ umożliwia prostą reprezentację dowolnego wektora vv jako kombinacji liniowej wektorów bazy. Współczynniki tej kombinacji można obliczyć bezpośrednio przy pomocy iloczynu skalarnego:

l1=a⋅v,l2=b⋅v,l3=c⋅vl_1 = a \cdot v, \quad l_2 = b \cdot v, \quad l_3 = c \cdot v

gdzie aa, bb i cc to wektory bazy ortonormalnej. Zaletą takiej bazy jest to, że obliczenia są bardzo proste i szybkie, ponieważ iloczyn skalarny wektora z wektorem bazy daje bezpośrednio współczynniki w reprezentacji wektora.

Zastosowanie iloczynu skalarnego można również zaobserwować w zagadnieniach związanych z prostymi i płaszczyznami. Na przykład, jeżeli chcemy znaleźć prostą prostopadłą do danej w przestrzeni dwuwymiarowej, możemy to zrobić, obliczając iloczyn skalarny wektora normalnego do danej prostej z wektorem prostej, do której ma ona być prostopadła. Z kolei w przestrzeni trójwymiarowej, dla danej płaszczyzny, wektor normalny do tej płaszczyzny jest wektorem, który jest prostopadły do każdego wektora leżącego na tej płaszczyźnie. Z tego względu, płaszczyznę w przestrzeni trójwymiarowej można opisać równaniem iloczynu skalarnego:

a⋅r=ca \cdot r = c

gdzie aa to wektor normalny do płaszczyzny, a rr to wektor położenia dowolnego punktu na płaszczyźnie.

Korzystając z tej definicji, możemy obliczyć odległość punktu od płaszczyzny, co jest często wykorzystywane w geometrii obliczeniowej oraz w różnych dziedzinach fizyki, w tym w obliczeniach związanych z siłami działającymi na ciała w przestrzeni.

Dzięki tym przykładom możemy dostrzec, jak wielką rolę odgrywa iloczyn skalarny w praktycznych obliczeniach związanych z siłami, ruchami ciał, geometrią i fizyką. W rzeczywistości jest to narzędzie, które pozwala na precyzyjne opisanie wielu zjawisk zachodzących w przestrzeni oraz na obliczenie różnych parametrów, które są kluczowe w inżynierii i naukach ścisłych.

Jak unikać błędów przy obliczeniach numerycznych: Przykład równania kwadratowego

Podczas obliczeń numerycznych istnieje wiele czynników, które mogą wpływać na dokładność wyników. Zrozumienie tych czynników, takich jak błędy zaokrągleń, błędy pomiarowe, oraz propagacja błędów, jest kluczowe, aby uniknąć utraty istotnych cyfr i uzyskać wiarygodne wyniki. W tym kontekście przyjrzymy się przykładowi rozwiązania równania kwadratowego, który pozwoli zobaczyć, jak błędy mogą wpływać na wyniki obliczeń.

Weźmy równanie kwadratowe:

x2−40x−2=0x^2 - 40x - 2 = 0

Nasz cel to znaleźć pierwiastki tego równania, używając czterech cyfr znaczących w obliczeniach (tzw. 4S). Aby rozwiązać to równanie, stosujemy wzory na pierwiastki równania kwadratowego:

x1=−b−b2−4ac2a,x2=−b+b2−4ac2ax_1 = \frac{ -b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{ -b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

gdzie a=1a = 1, b=−40b = -40, a c=−2c = -2. Po podstawieniu tych wartości do wzoru otrzymujemy pierwiastki:

x1=40−1600+82=40−16082≈40−40.102≈−0.05x_1 = \frac{40 - \sqrt{1600 + 8}}{2} = \frac{40 - \sqrt{1608}}{2} \approx \frac{40 - 40.10}{2} \approx -0.05

oraz

x2=40+16082≈40+40.102≈40.05x_2 = \frac{40 + \sqrt{1608}}{2} \approx \frac{40 + 40.10}{2} \approx 40.05