Jak długość segmentu OP wpływa na rozmieszczenie prostych w układzie współrzędnych?

Zajmijmy się ponownie parametrami a i b, obserwując zachowanie prostych oraz punktów $P_0$ , $P_1$ i $P$ . Tak jak wcześniej, proste obracają się wokół punktu zerowego, a punkt porusza się razem z nimi. Jednak punkt $P_0$ zachowuje się „spokojnie”. Podczas gdy inne dwa punkty zbliżają się do lub oddalają od punktu zerowego, punkt $P_0$ przesuwa się wzdłuż okręgu jednostkowego. Jego odległość od początku układu pozostaje stała i wynosi 1. Jego współrzędne są równe sinusowi i cosinusowi kąta nachylenia prostej $OP$ . Z powodu podobieństwa trójkątów prostokątnych, te współrzędne są proporcjonalne do współrzędnych punktu $P$ , które, zgodnie z naszą definicją, odpowiadają wartościom parametrów a i b. W tym przypadku współczynnik podobieństwa jest równy stosunkowi długości hipotenus $|OP| / |OP_0| = |OP|$ .

Czas zatem poznać rolę długości segmentu $OP$ w wyznaczaniu odległości prostej od początku układu współrzędnych. Dla wygody wprowadzamy nową zmienną $dd = |OP|$ , gdzie $dd > 0$ . Przekształcamy równanie prostej do tzw. formy normalnej, definiując nową prostą czerwoną w postaci „ $a/dd \cdot x + b/dd \cdot y + c/dd = 0$ ” (wszystkie składniki równania dzielimy przez $dd$ ). W wyniku tego działania nowa linia zostaje umieszczona na układzie. Co się stanie, gdy klikniemy przycisk „dodaj”? Jakie będzie geometryczne znaczenie współczynników $a/dd$ i $b/dd$ ?

Nowe równanie $x \cdot \cos \alpha + y \cdot \sin \alpha + c \cdot \frac{1}{\sqrt{dd}} = 0$ , gdzie $\alpha$ jest kątem nachylenia normalnej $OP$ , podkreśla rolę jego swobodnego członu $c$ . Wartość $c/\sqrt{dd} = c$ , zależy od wszystkich trzech parametrów. Aby sprawdzić wpływ swobodnego członu na położenie wykresu równania, podstawiamy go do wyrażenia „ $a/dd \cdot x + b/dd \cdot y + rr = 0$ ”, rysując linię niebieską. Zaczynamy zmieniać wartość parametru $rr$ : Jak zmienia się rozmieszczenie tej linii względem rozwiązania wykresu równania? Jaką odległość od początku układu ma ta linia? Sprawdzamy nasze przypuszczenia, dodając okrąg o promieniu $|rr|$ i środku w początku układu.

Model potwierdza nasze przypuszczenia: $|rr|$ to rzeczywiście odległość tej linii od początku układu. Wartość parametru $rr$ pełni rolę swobodnego członu $c/dd$ . Dla pewności redefiniujemy zmienną $rr$ jako $c/dd$ i porównujemy wartości w momencie zbieżności prostych. Z tego wnioskujemy, że współczynniki w tej formie, w tym także człon swobodny, mają duże znaczenie w określaniu położenia prostej w układzie współrzędnych.

Oprócz powyższego warto zwrócić uwagę na wpływ rozmiaru i kształtu poszczególnych elementów na wykresie funkcji kwadratowej. W przypadku równań kwadratowych, szczególnie tych, które zawierają wielomiany o najwyższym stopniu 2 (takie jak $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ ), analiza geometryczna tych równań pozwala na wyznaczenie specyficznych rodzajów krzywych, takich jak parabol, hiperbol, czy elips. Istotne jest, by podczas takich analiz uwzględniać odpowiednie transformacje współrzędnych, takie jak przesunięcie lub obrót układu. Na przykład, w przypadku równań kwadratowych, zmiany w parametrach takich jak $bxy$ czy $c$ wpływają na rodzaj i położenie wykresu funkcji na płaszczyźnie.

Biorąc pod uwagę te zależności, rozszerzenie wiedzy o funkcjach kwadratowych może pozwolić na głębsze zrozumienie i lepsze przewidywanie kształtów wykresów oraz ich rozmieszczenia w przestrzeni współrzędnych.

Jakie wartości parametru a sprawiają, że nierówność nie ma rozwiązania?

Rozpocznijmy od rozważenia nierówności trygonometrycznej, której rozwiązania poszukujemy w ramach analizy matematycznej z wykorzystaniem narzędzi graficznych. Użyjemy parametru kątowego, zdefiniowanego jako arc = atan a, aby dodać dwa czerwone łuki (Patrz Rys. 55) do modelu: Wybieramy kartę Curve/Surface w oknie dialogowym Geometria i definiujemy łuki w postaci parametrycznej polarnej: klikamy odpowiedni przycisk lub wybieramy definicję parametryczną w polarnych współrzędnych 2D: naciśnij przycisk na głównym pasku narzędzi, ustawiamy wartość parametru r na 0.5, parametr Θ na t, a także odpowiednio definiujemy przedział t. Należy zwrócić uwagę, czy definicje łuków zależą od przypadku, w którym a > 0 (Rys. 55(a)) lub a < 0 (Rys. 55(b)).

Po dodaniu tych elementów do modelu geometrycznego możemy przejść do analizy rozwiązania nierówności. Należy zauważyć, że rozwiązanie nierówności tan(x) > a, które przyjmuje postać + · n < x < + · n, gdzie n ∈ Z, jest niezależne od znaku parametru a. Oczywiście, należy zwrócić uwagę na ewentualne zmiany w przypadku, gdy a jest dodatnie lub ujemne, a więc odpowiednio należy dostosować definicję łuków.

Po zmianie wartości parametru c z 1 na -1, nierówność przechodzi w postać tan(x) < a. Wówczas konieczne jest powtórzenie analiz i redefinicja czerwonych łuków oraz wyrażenie rozwiązania nierówności w tej postaci, uwzględniając obydwa przypadki: a > 0 oraz a < 0. Na tym etapie modelowanie przy pomocy narzędzi komputerowych (jak VisuMatica) staje się bardzo pomocne, ponieważ umożliwia wprowadzenie równań trygonometrycznych bezpośrednio do głównego pola tekstowego i wizualizację ich rozwiązań. W ten sposób można porównać wykresy równań i nierówności, aby sprawdzić poprawność uzyskanych odpowiedzi.

Przechodząc do bardziej zaawansowanego tematu, rozważmy problem rozwiązywania równań kwadratowych, które mają pierwiastki zespolone. Często zdarza się, że współczynniki równania prowadzą do sytuacji, w której deltą jest liczba ujemna, co powoduje, że pierwiastki są liczbami zespolonymi. Wówczas musimy poszerzyć zbiór liczb rzeczywistych R, by móc operować na tych liczbach. W tym celu posługujemy się rozszerzeniem R o liczbę urojoną, definiując liczby zespolone jako pary punktów w płaszczyźnie kartezjańskiej.

Punkty na płaszczyźnie kartezjańskiej, opisane parametrami (x, y), reprezentują liczby zespolone w systemie C, gdzie każda liczba zespolona może być wyrażona w postaci pary liczb rzeczywistych. Wprowadzenie operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia na tej płaszczyźnie pozwala na zbudowanie pełnej algebry liczb zespolonych. Ważnym aspektem jest tu zachowanie właściwości operacji rzeczywistych, takich jak przemienność czy łączność.

Dodając do tego koncepcję wektorów, które stanowią podstawę dla reprezentacji liczb zespolonych, możemy zauważyć, że każdą liczbę zespoloną można zobrazować jako wektor w przestrzeni kartezjańskiej. Wektory te mają długość oraz kierunek, co wprowadza nam pojęcie współrzędnych biegunowych. Na przykład punkt (3, 3) w układzie współrzędnych kartezjańskich może być opisany jako wektor o długości √18 oraz kącie 45°. Ta reprezentacja pozwala na efektywne przeprowadzanie obliczeń oraz lepsze zrozumienie geometrizmu liczb zespolonych.

Co istotne, w tej przestrzeni wymiarowej nie istnieje jedyny wektor o zerowej długości (tzw. wektor zerowy), który nie ma określonego kierunku, ale może być opisywany jedynie przez swoją długość, równą zeru. Warto także zauważyć, że każda liczba zespolona może być przedstawiona zarówno w postaci współrzędnych kartezjańskich (x, y), jak i biegunowych (r, θ), gdzie r jest długością wektora, a θ - kątem, który tworzy z osią rzeczywistą.

Ponadto, w systemie liczb zespolonych operacje takie jak dodawanie czy mnożenie odbywają się w oparciu o odpowiednie reguły geometryczne, co pozwala na obliczenia oparte na wektoryzacji tych liczb. Na przykład, mnożenie liczb zespolonych w postaci wektorów wiąże się z ich długościami oraz kątami, co odzwierciedla reguły mnożenia w przestrzeni biegunowej.

Podstawowym zadaniem przy rozwiązywaniu problemów matematycznych z wykorzystaniem liczb zespolonych jest zrozumienie ich geometrycznego charakteru oraz umiejętność przekształcania równań i nierówności do formy, która jest łatwa do analizy za pomocą narzędzi komputerowych. To, jak te liczby oddziałują na siebie w różnych układach współrzędnych, ma fundamentalne znaczenie w matematyce wyższej, szczególnie w analizie funkcji zespolonych i rozwiązywaniu równań różniczkowych.

Jak działa transformacja przestrzeni w ramach przestrzeni wektorowych?

Funkcja $F(x, y) = (f_x(x, y), f_y(x, y))$ opisuje proces, w którym punkt $P = (x, y)$ w przestrzeni dwuwymiarowej przekształca się w inny punkt $P' = (x', y')$ , zgodnie z pewnymi regułami. Istotnym elementem tego procesu jest zastosowanie transformacji liniowej, którą reprezentuje macierz. Aby zobrazować ten proces, rozważmy przykłady działania takich transformacji na przestrzeni 2D, w szczególności na jednostkowych wektorach bazowych.

Załóżmy, że mamy macierz transformacji w postaci:

\begin{pmatrix}

a & b \\ c & d \end{pmatrix}

(a c b d)

Zatem:

$f(1, 0) \rightarrow (a, c)$
$f(0, 1) \rightarrow (b, d)$

Te wektory bazowe, reprezentujące standardową bazę układu współrzędnych, przekształcają się w nowe wektory, których współrzędne określają kolumny macierzy transformacji. Obserwując to zjawisko w przestrzeni, widać, że obrazy jednostkowych wektorów bazowych wyznaczają nową bazę tej samej przestrzeni wektorowej $R^2$ .

Ważną obserwacją jest to, że współrzędne punktów na płaszczyźnie są takie same zarówno w oryginalnej bazie kartezjańskiej, jak i w nowej, przekształconej bazie. To oznacza, że obliczenie współrzędnych obrazu punktu $P(x, y)$ można przeprowadzić za pomocą następującej zależności:

P' = x \cdot e'_1 + y \cdot e'_2

gdzie $e'_1$ i $e'_2$ to jednostkowe wektory bazowe w nowej przestrzeni, a $x$ i $y$ to współrzędne punktu $P$ w oryginalnej przestrzeni. Transformacja nie zmienia samej procedury obliczeniowej, ponieważ w obu przypadkach musimy obliczyć te same wyrażenia, choć w innej bazie. Co więcej, kolumny macierzy transformacji pełnią kluczową rolę w określaniu nowych współrzędnych, co w końcu pozwala na przekształcanie punktów w przestrzeni zgodnie z założeniami transformacji liniowej.

Należy również zauważyć, że dla szczególnych przypadków macierz transformacji może wykazywać degenerację. Na przykład, gdy jeden z wektorów bazowych jest przekształcany w punkt, wtedy cała przestrzeń może ulec spłaszczeniu do jednej linii lub zredukować się do jednego punktu. Takie sytuacje są możliwe, gdy macierz transformacji ma określone parametry, które powodują, że obraz przestrzeni "traci" jedną z wymiarów. Jest to istotne, ponieważ pozwala zrozumieć, kiedy transformacja liniowa przestaje być pełna i kiedy przestrzeń, którą próbujemy przekształcić, staje się bardziej "płaska".

W przypadku przestrzeni trójwymiarowej $R^3$ , rotacja punktu $P(x, y, z)$ wokół jednej z osi (np. osi $z$ ) wiąże się z zachowaniem współrzędnej $z$ , podczas gdy współrzędne $x$ i $y$ ulegają zmianie. Macierz transformacji dla rotacji wokół osi $z$ przy kącie $\varphi$ będzie miała postać:

R_z(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1