Jak test sztywności elementów skończonych wpływa na analizę nieliniową

W analizie nieliniowej, szczególnie w kontekście analiz geometrii, sztywność elementów skończonych odgrywa kluczową rolę w określaniu jakości oraz wiarygodności wyników. Istnieje wiele podejść i narzędzi pozwalających na testowanie elementów skończonych pod kątem ich zdolności do modelowania nieliniowych problemów, jednak jednym z najistotniejszych aspektów jest test, który pozwala sprawdzić, czy dany element skończony spełnia kryteria w analizie nieliniowej.

Warto zauważyć, że sam test macierzy sztywności geometrycznej nie jest wystarczający do pełnej oceny elementu skończonego w analizie nieliniowej. Aby dokonać rzetelnej oceny, należy uwzględnić również całą równanie sztywności elementu w kontekście reguły ruchu sztywnego ciała oraz równanie sztywności elementu w układzie ramy płaskiej. Należy to zrobić w kontekście formuł Lagrange’a, które pozwalają na pełną ocenę odpowiedzi elementu na wpływ ruchu sztywnego ciała.

W pracach Portera i Powella (1971) zbadano dekompozycję macierzy sztywności geometrycznej na dwie części: wewnętrzną i zewnętrzną macierz sztywności. Wewnętrzna macierz sztywności, podobnie jak macierz sztywności liniowej, uwzględnia zmiany w siłach węzłowych wynikające z naturalnych odkształceń elementu w trakcie małych kroków obciążeniowych, natomiast zewnętrzna macierz sztywności uwzględnia zmiany w siłach węzłowych wywołane przez ruchy sztywnego ciała elementu w tym samym kroku obciążeniowym. Wykazano, że zaniedbanie niektórych wyższych rzędów w zależnościach między odkształceniami a przemieszczeniami może prowadzić do fikcyjnych odkształceń w przypadku elementu poddanego obracaniu sztywnemu ciała, co z kolei może prowadzić do niezgodności w zachowaniu struktury.

Jednakże ważnym krokiem w zrozumieniu tego, jak wpływają ruchy sztywnego ciała na element skończony, jest uwzględnienie pełnej analizy wszystkich sił początkowych. W pracy Yang i Chiou (1987) po raz pierwszy zwrócono uwagę na wpływ ruchu sztywnego ciała na wielkości i kierunki początkowych sił, co dotychczas było ignorowane. Działanie to miało na celu wyeliminowanie luki w istniejących badaniach i wprowadzenie pełniejszego obrazu wpływu takich ruchów na wyniki analizy.

Dla uzyskania bardziej precyzyjnych wyników analizy nieliniowej, niezbędne jest uwzględnienie zarówno macierzy sztywności geometrycznej, jak i pełnej analizy zachowań elementu, w tym również jego odpowiedzi na początkowe siły w kontekście ruchów sztywnego ciała. Przeprowadzony test ruchu sztywnego ciała dla elementów skończonych, pozwala na weryfikację, czy dany element może skutecznie reprezentować zachowanie struktury poddanej deformacjom nieliniowym.

W analizach z wykorzystaniem formuły Lagrange’a, przyjęcie spójnej procedury obliczeniowej jest kluczowe. Kiedy odpowiedni element skończony przejdzie test ruchu sztywnego ciała i zostanie zastosowana poprawna procedura obliczeniowa, możliwe jest uzyskanie bardzo dobrych wyników w analizie nieliniowej. Warto podkreślić, że taki test dla bardziej skomplikowanych elementów przestrzennych może być rozszerzony na bardziej złożoną geometrię elementów, jak w przypadku ramy przestrzennej, której rozważania zawarte są w dalszych częściach tego opracowania.

Jak stosować zasadę ciała sztywnego do analizy nieliniowej struktur szkieletowych?

W analizie nieliniowej struktur elastycznych przemieszczenia generowane na każdym etapie przyrostu mogą być rozłożone na dwie składowe: przemieszczenia sztywne i naturalne deformacje. Ta różnica jest kluczowa w rozwiązywaniu problemów z zakresu analizy geometrycznej. W oparciu o sformułowanie zaktualizowanego Lagrangiana (UL), pojęcie macierzy sztywności geometrycznej [kg] jest wprowadzane do analizy, począwszy od trójwymiarowego sztywnego elementu belki, a także do jego zastosowania w trójwymiarowych płytach trójwęzłowych (TPE).

Podstawowym celem tego podejścia jest takie uwzględnienie efektów obrotu sztywnego w każdym etapie analizy, by pozostałe efekty naturalnych deformacji mogły być traktowane zgodnie z teorią małych deformacji liniowych. Metoda ta charakteryzuje się prostotą sformułowania, jednoznacznością wyrażeń oraz uwzględnieniem wszelkich rodzajów działań w macierzach sztywności. Jej efektywność została zweryfikowana na przykładach testowych, dotyczących reakcji post-buckling.

W niniejszym rozdziale zaprezentowane zostaną zasady wykorzystania reguły ciała sztywnego w kontekście derivacji macierzy sztywności geometrycznej, która została opracowana w pracy Yang et al. (2007). W tej wersji materiałów uwzględniono pewne zmiany, aby zachować spójność z ogólnym stylem książki. Macierz sztywności geometrycznej opracowana dla sztywnego elementu belki wykonuje funkcje niemal identyczne z macierzą sztywności geometrycznej opracowaną dla elastycznego elementu ramy przestrzennej w rozdziale 6.

Podejście to jest skuteczne, ponieważ jest łatwe do zrozumienia przez czytelników, nawet w przypadku, gdy niektóre zagadnienia zostały już wcześniej omówione. W ten sposób można przedstawić wyczerpujące wprowadzenie do kluczowych pojęć związanych z trzema podstawowymi konfiguracjami w analizie przyrostu nieliniowego: początkową konfiguracją zdeformowaną C0, ostatnią znaną konfiguracją zdeformowaną C1 oraz aktualną, jeszcze nieznaną konfiguracją zdeformowaną C.

Aby poprawnie przejść do analizy sztywnego elementu belki, niezbędne jest omówienie podstawowych pojęć związanych z deforma- cjami, przemieszczeniami i wynikami naprężeń dla trójwymiarowej belki o symetrycznych przekrojach stałych. W ten sposób możliwe staje się łatwiejsze zrozumienie nie tylko podstawowych zależności, ale również skomplikowanych algorytmów wykorzystywanych do obliczeń w analizie nieliniowej. Podsumowanie tych zagadnień stanowi fundament, który pozwala przejść do dalszej części analizy, w tym stosowania metody sztywnego ciała.

Ważnym aspektem w analizie nieliniowej jest również sposób, w jaki oddziaływania zewnętrzne wpływają na strukturę w każdym etapie deforma- cji. Modele nieliniowe uwzględniają zmiany w sztywności materiałów, które mogą powodować zmiany charakterystyki struktury podczas rozwoju obciążeń. Dlatego tak istotne jest odpowiednie ujęcie wszystkich rodzajów obciążeń w obliczeniach, aby prognozy zachowań struktur były jak najbardziej precyzyjne. W praktyce, w trakcie analizy post-buckling, mogą wystąpić zmiany w trajektoriach odpowiedzi strukturalnych, które wymagają zastosowania odpowiednich strategii numerycznych.

Analiza nieliniowa wymaga również wykorzystania odpowiednich algorytmów iteracyjnych, które umożliwiają obliczenie zmiennych deforma- cji w każdym przyroście krokowym. Metody te opierają się na założeniu, że przy każdym kroku obliczeniowym zmienia się jedynie niewielka część struktury, co pozwala na iteracyjne dopasowanie rozwiązań i precyzyjne śledzenie trajektorii przemieszczeń w czasie. Dodatkowo, w kontekście tego rodzaju obliczeń, istotne jest uwzględnienie stabilności obliczeń, które może być zagrożona przez nietypowe zmiany w charakterystyce struktury pod wpływem dużych przemieszczeń.

Dla pełnego zrozumienia procesu analizy nieliniowej, czytelnik powinien również być świadomy, że każde przyjęcie odpowiedniego modelu materiałowego może znacząco wpłynąć na wynik analizy. W rzeczywistych warunkach inżynierskich, struktury często są poddawane różnym rodzajom obciążeń, które nie zawsze są jednorodne, co może prowadzić do trudności w precyzyjnym modelowaniu zachowań materiałów. Należy zwrócić uwagę na dobór odpowiednich parametrów materiałowych, które wpływają na dokładność przeprowadzanej analizy.