W klasycznym problemie Graetza-Nusselta, który dotyczy przepływu laminarnego w rurze cylindrycznej, celem jest określenie współczynnika przejmowania ciepła (liczby Nusselta) w zależności od odległości wzdłuż rury, zakładając stałą temperaturę na ściankach. Podstawowym parametrem w tym przypadku jest oszacowanie lokalnego współczynnika przejmowania ciepła, który zmienia się wzdłuż osi przepływu. Dla rury cylindrycznej z przepływem laminarno-stałym, liczba Nusselta w funkcji współczynnika hydraulicznego może być opisana równaniem (26.39), które uwzględnia wpływ odległości x wzdłuż rury na wartość współczynnika przejmowania ciepła. Warto zauważyć, że w tym przypadku współczynnik Nusselta osiąga dwie asymptoty: w przypadku dużych wartości x (gdzie przepływ osiąga stan asymptotyczny) oraz w przypadku małych wartości x (gdzie proces wymiany ciepła jest bardziej intensywny w początkowych fazach przepływu).

W przypadku dużych wartości x (x ≫ 1) wartości liczby Nusselta dążą do stałej wartości, którą można obliczyć na podstawie zależności z równania (26.40), gdzie liczba Nusselta przyjmuje wartość 1,6568. Z kolei w przypadku małych wartości x (x ≪ 1), liczba Nusselta wykazuje różną zależność, a dla tego przypadku funkcja Nusselta jest opisana równaniem (26.41), gdzie liczba Nusselta zależy od zmiennej x do potęgi -1/3.

Tego typu modele można stosować nie tylko dla rur cylindrycznych, ale także dla innych kształtów kanałów, takich jak kanały o przekroju trójkątnym, czy płaskie płyty równoległe. Aby rozwiązać problemy związane z różnymi kształtami kanałów, stosuje się podobne podejście, wykorzystując analizę równań własnych (EVP), które pozwalają na uzyskanie rozwiązań analitycznych dla różnych geometrii przepływu. Dodatkowo, w przypadku różnych warunków brzegowych, takich jak stały strumień ciepła na ściankach, należy przeformułować problem w odpowiednich zmiennych wymiarowych, co prowadzi do uzyskania wyrażeń dla liczby Nusselta w nowych warunkach.

Warto podkreślić, że w wielu przypadkach przyjmuje się, że długość kanału jest znacznie większa niż jego średnica hydrauliczna, co pozwala na uproszczenie równań i pominięcie wpływu dyfuzji osiowej. Jednak w przypadku dużych średnic hydraulicznych lub małych długości kanałów, gdy liczba Pecleta dąży do zera, konieczne jest użycie tzw. "modelu krótkiej rury". W tym modelu zmieniają się równania i metody rozwiązania, szczególnie w kontekście reakcji chemicznych, transferu masy oraz przewodzenia ciepła.

Wszystkie te rozważania pozwalają na dokładniejsze prognozowanie zachowań przepływów laminarnego ciepła i masy w różnych geometrach, które pojawiają się w praktycznych zastosowaniach, takich jak projektowanie wymienników ciepła, reaktorów katalitycznych czy systemów wentylacyjnych. Poznanie tych zależności jest kluczowe do optymalizacji wydajności energetycznej i procesów technologicznych, w których przepływy laminarne są dominującym modelem.

Ważnym aspektem, o którym warto pamiętać, jest to, że dokładność modeli zależy od poprawności przyjętych założeń dotyczących przepływu, geometrii oraz warunków brzegowych. Dla różnych układów konieczne może być stosowanie specjalnych korekt, uwzględniających zmienne termiczne, zmieniające się właściwości płynów czy zjawiska takie jak turbulentność, które w niektórych przypadkach mogą występować, mimo teoretycznego założenia przepływu laminarnego. Ponadto, przy obliczeniach warto stosować metody numeryczne, takie jak transformacja Fouriera, które umożliwiają uzyskanie dokładniejszych wyników w bardziej złożonych przypadkach.

Jak rozwiązywać problem efektywności katalizatora w reakcji z wieloma składnikami?

Rozważmy porowatą cząstkę katalizatora o dowolnym kształcie, której profil aktywności opisuje funkcja a(x,y,z)a(x, y, z), jak przedstawiono na rysunku. Przyjmujemy, że reakcja A → B zachodzi w jedną fazę, a kinetyka jest liniowa. W takim przypadku profil stężenia reagentu C(x,y,z)C(x, y, z) w stanie ustalonym spełnia następujące równanie dyfuzji i reakcji:

De∇2C=a(x,y,z)k0CwΩD_e \nabla^2 C = a(x, y, z) k_0 C \quad \text{w} \quad \Omega
C=C0na∂ΩC = C_0 \quad \text{na} \quad \partial \Omega

gdzie DeD_e to efektywna współczynnik dyfuzji reagentu w porowatej cząstce, k0k_0 to stała szybkości reakcji pierwszego rzędu (na jednostkę objętości), a a(x,y,z)a(x, y, z) to znormalizowany profil aktywności katalizatora, spełniający warunek normalizacji:

1VΩ∫Ωa(x,y,z) dVΩ=1\frac{1}{V_\Omega} \int_{\Omega} a(x, y, z) \, dV_\Omega = 1

gdzie VΩV_\Omega to objętość katalizatora. W celu lepszego zrozumienia procesu, wprowadzamy następujące parametry:

RΩ=VΩSΩ,ϕ=RΩ⋅k0/De,g(x,y,z)=a(RΩx,RΩy,RΩz).R_\Omega = \frac{V_\Omega}{S_\Omega}, \quad \phi = R_\Omega \cdot k_0 / D_e, \quad g(x, y, z) = a(R_\Omega x, R_\Omega y, R_\Omega z).

Po przekształceniach, równanie (28.1) można zapisać w postaci bezwymiarowej:

∇2c=g(x,y,z)ϕ2c,(x,y,z)∈Ω;c=1na∂Ω.\nabla^2 c = g(x, y, z) \phi^2 c, \quad (x, y, z) \in \Omega; \quad c = 1 \quad \text{na} \quad \partial \Omega.

Zdefiniowane w ten sposób bezwymiarowe równanie opisuje reakcje i dyfuzję w katalizatorze o dowolnym kształcie. W dalszej części modelu wykorzystujemy tzw. wartości własne i funkcje własne dla rozwiązania tego układu równań, co prowadzi do uzyskania bardziej precyzyjnych wyników.

Efektywność katalizatora

Efektywność katalizatora (lub średnia szybkość reakcji w cząsteczce katalizatora) jest podstawowym parametrem, który pozwala określić skuteczność katalizatora w danym procesie. Efektywność katalizatora, oznaczona symbolem η\eta, definiowana jest jako:

η=1VΩ∫Ωg(x,y,z)c(x,y,z) dx dy dz.\eta = \frac{1}{V_\Omega} \int_{\Omega} g(x, y, z) c(x, y, z) \, dx \, dy \, dz.

Za pomocą tej definicji możemy obliczyć efektywność katalizatora jako średnią wartość stężenia, uwzględniając profil aktywności katalizatora. Rozwinięcie tego wyrażenia w szereg potęgowy ϕ2\phi^2 pozwala uzyskać wyrażenie na efektywność w postaci:

η=1+∑i=1∞∑j=1∞(−1)jβiϕ2jλji.\eta = 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} (-1)^j \beta_i \frac{\phi^{2j}}{\lambda_j^i}.

Te rozwinięcia pozwalają uzyskać wartości efektywności katalizatora w różnych warunkach, zależnie od kształtu cząstki i charakterystyki reakcji.

Liczba Sherwooda

Liczba Sherwooda (ShSh) jest wykorzystywana do określenia współczynnika masowego transferu wewnątrz katalizatora, odnosząc się do wymiany masy między granicą a wnętrzem cząstki. Definicja liczby Sherwooda jest następująca:

Sh=kcRΩDe,Sh = \frac{k_c R_\Omega}{D_e},

gdzie kck_c to wewnętrzny współczynnik masowego transferu, RΩR_\Omega to charakterystyczna długość cząstki katalizatora, a DeD_e to efektywna współczynnik dyfuzji reagentu. Można ją obliczyć, korzystając z rozwiązań równań różniczkowych, które są opracowane w literaturze dla najpopularniejszych kształtów cząsteczek katalizatora.

Równania, które opisują liczbę Sherwooda, są kluczowe do zrozumienia dynamiki procesów dyfuzji i reakcji wewnątrz katalizatora, a także umożliwiają porównanie efektywności różnych kształtów katalizatorów w kontekście ich zdolności do przekazywania masy.

Zastosowania w katalizie

Rozwiązania przedstawione w tej pracy mają szerokie zastosowanie w projektowaniu katalizatorów do reakcji przemysłowych, w szczególności tam, gdzie reakcje zachodzą w porowatych materiałach o skomplikowanych geometriach. Zrozumienie, jak kształt cząstki katalizatora wpływa na jego efektywność, pozwala optymalizować projektowanie reakcji chemicznych i poprawić wydajność procesów przemysłowych.

Warto jednak pamiętać, że wyniki te są jedynie modelami matematycznymi, które wymagają dalszego potwierdzenia doświadczalnego. Zmienność w strukturze katalizatora, niejednorodność w jego porowatości czy obecność dodatkowych czynników, jak na przykład zmiany temperatury lub ciśnienia, mogą wpływać na rzeczywistą efektywność procesu. Stąd konieczność przeprowadzania eksperymentalnych walidacji wyników teoretycznych jest niezbędna w zastosowaniach przemysłowych.

Jakie są krytyczne wartości liczby Rayleigha dla konwekcji Lapwooda w porowatej skrzyni?

W problemie konwekcji Lapwooda w porowatej skrzyni, jednym z kluczowych zagadnień jest określenie, przy jakich wartościach liczby Rayleigha dochodzi do destabilizacji układu. Zmienność liczby Rayleigha, Ra, oraz jej wpływ na stabilność rozwiązania zależy od wielu parametrów, w tym geometrii skrzyni, parametrów materiałowych oraz warunków brzegowych. W tym kontekście rozważymy model matematyczny opisujący konwekcję oraz reakcję transportu ciepła i masy w takich systemach.

Problem rozpoczyna się od analizy równań, które opisują przepływ cieczy w porowatych ośrodkach. Podstawowe równania różniczkowe, takie jak równanie Laplace'a, zmieniają się w układy liniowe, gdzie zmienne opisujące prędkość przepływu (v1, v2) są funkcjami przestrzennymi. Za pomocą metody liniaryzacji wokół podstawowego rozwiązania możemy wyprowadzić zależności na zmienność tych zmiennych, przy czym kluczowym elementem jest liczba Rayleigha. Przedstawiając układ w formie równań różniczkowych, uzyskujemy wyrażenie dla operatora przestrzennego, który opisuje zmiany przepływu:

∇2v−Ra∂v2∂x=(1−Rad)⋅v\nabla^2v - Ra \frac{\partial v^2}{\partial x} = \left(1 - \text{Rad}\right) \cdot v

Operator ten ma za zadanie wyznaczenie stabilności układu w różnych warunkach, a odpowiednie warunki brzegowe dla prędkości v1 i v2 są definiowane na podstawie wyznaczonego rozwiązania.

Kiedy analizujemy układ pod kątem jego stabilności, zauważamy, że pojawienie się nienumerycznych rozwiązań (tj. rozwiązań nieliniowych) jest możliwe tylko wtedy, gdy równanie zlinearyzowane staje się równością z rozwiązaniem nieliniowym, co może prowadzić do bifurkacji – zmiany typu rozwiązania z podstawowego (trivialnego) na bardziej złożone.

Równanie (30.39), w którym pojawia się operator różniczkowy w kierunku przestrzennym, prowadzi do układu eigenwertów. Ostatecznie, po rozwiązaniu tego układu, uzyskujemy równanie na wyznaczenie stabilności, które daje możliwość rozważenia różnych wartości liczby Rayleigha oraz ich wpływu na układ. Wartości te mają charakter krytyczny, co oznacza, że system przechodzi w stan niestabilny, gdy liczba Rayleigha przekroczy określony próg.

Dalsze analizy wykazują, że najmniejsza wartość krytyczna liczby Rayleigha, Radc\text{Rad}_c, występuje, gdy α=m=1,2,3,…\alpha = m = 1, 2, 3, \dots, co wyraża się jako:

Radc=4π2\text{Rad}_c = 4\pi^2

Wartość ta stanowi granicę, poniżej której układ przechodzi do rozwiązań o charakterze konwekcyjnym. Wyższe wartości liczby Rayleigha prowadzą do coraz bardziej złożonych układów przepływów, które charakteryzują się cyklicznymi zmianami temperatury i prędkości, tworząc bardziej skomplikowane wzory przepływów i wzrosty temperatury w obrębie systemu.

Kiedy rozważamy wartość α\alpha jako parametr, zauważamy, że zmienia się ona w zależności od wartości mm. Można zatem wyznaczyć wykresy opisujące zależność liczby Rayleigha od tych zmiennych i poszukać punktów, w których występuje biczytualny punkt krytyczny, gdzie dwie różne wartości mm destabilizują układ jednocześnie.

Na wykresach, które przedstawiają te zależności, widać, że najniższe wartości liczby Rayleigha osiągają się przy m=1m = 1, co ma szczególne znaczenie praktyczne, gdyż pozwala to na określenie minimalnych warunków destabilizacji w przypadku układów o mniejszym rozmiarze lub przy innych konfiguracjach geometrycznych.

Jednak poza samą liniową analizą układu ważnym aspektem jest zrozumienie, w jaki sposób zmieniające się parametry w układzie wpływają na rozwój konwekcji i zachowanie przepływu. Zmiany w liczbie Rayleigha są istotne nie tylko w kontekście rozwiązań podstawowych, ale także w kontekście generowania bardziej złożonych, chaotycznych wzorców przepływów, które mogą pojawić się w wyniku krytycznych wartości tej liczby.

W kontekście zastosowań praktycznych, takich jak inżynieria procesów czy modelowanie transportu w porowatych ośrodkach, ważne jest nie tylko ustalenie krytycznych wartości liczby Rayleigha, ale także zrozumienie, jak te wartości mogą zmieniać się w czasie w odpowiedzi na zmiany warunków zewnętrznych. Utrzymywanie stabilności układu i kontrolowanie momentu, w którym dochodzi do przejścia w stan niestabilny, może mieć decydujące znaczenie dla efektywności procesów chemicznych czy termicznych.

Jak rozwiązać układy równań różniczkowych z początkowymi warunkami: Zastosowanie metody Wronskiego w praktyce

Rozwiązywanie układów równań różniczkowych o stałych współczynnikach, jak i w przypadku równań z funkcjami czasowymi, jest fundamentalnym zagadnieniem w matematyce stosowanej. Jednym z kluczowych podejść do rozwiązania tych równań jest metoda Wronskiego, która pozwala znaleźć rozwiązania układów równań liniowych w sposób precyzyjny i zorganizowany. W tej metodzie, dla układu o n równaniach, główną rolę odgrywają tzw. wektory fundamentalne oraz ich Wronskian, czyli macierz wyznaczników utworzonych z tych wektorów.

Podstawowy układ równań różniczkowych, z którym będziemy się tutaj posługiwać, to tzw. równanie niejednorodne:

Lu=f(t),gdzieL jest operatorem roˊz˙niczkowym.Lu = f(t), \quad \text{gdzie} \quad L \text{ jest operatorem różniczkowym}.

W ogólnym przypadku, możemy zapisać to równanie również w formie macierzowej:

dudt=A(t)u+b(t),\frac{du}{dt} = A(t)u + b(t),

gdzie A(t)A(t) jest macierzą zmieniającą się w czasie, a b(t)b(t) to wektor wymuszeń (wektor źródeł sił w układzie fizycznym, np. zmiennych prądów). W celu rozwiązania układu tego typu, wykorzystywana jest technika przy pomocy macierzy fundamentalnej U(t)U(t) oraz Wronskianu K(ψ(t))K(\psi(t)), który stanowi element konstrukcji rozwiązań ogólnych.

Wyznaczanie ogólnych rozwiązań

Dla układu n-rzędowego równań, ogólnym rozwiązaniem jest kombinacja rozwiązań jednorodnych (homogenicznych) oraz szczególnego rozwiązania, które można uzyskać za pomocą metody niejednorodnych równań różniczkowych. Jeżeli mamy układ n-rzędowy, to rozwiązanie jednorodne opisuje układ wektorów ψ1(t),ψ2(t),…,ψn(t)\psi_1(t), \psi_2(t), \dots, \psi_n(t), które są rozwiązaniami macierzowymi.

Celem jest znalezienie ogólnego rozwiązania w postaci:

u(t)=∑j=1ncjψj(t)+∫t0tK(ψ(s))−1ef(s)ds.u(t) = \sum_{j=1}^n c_j \psi_j(t) + \int_{t_0}^t K(\psi(s))^{ -1} e^{f(s)} ds.

Tutaj ψj(t)\psi_j(t) to rozwiązania jednorodne, zaś f(s)f(s) to funkcja wymuszeń w czasie.

Wronskian i jego rola w rozwiązaniu

Wronskian jest macierzą, której elementy są wyznacznikami wektorów rozwiązujących układ równań różniczkowych. Jego obliczenie pozwala wyznaczyć rozwiązania ogólne i szczególne w bardziej zorganizowany sposób, szczególnie w układach, w których pojawiają się zmienne czasowe.

W przypadku układu równań różniczkowych o stałych współczynnikach, takich jak:

p0u(n)+p1u(n−1)+⋯+pnu=f(t),p_0 u^{(n)} + p_1 u^{(n-1)} + \cdots + p_n u = f(t),

gdzie współczynniki p0,p1,…,pnp_0, p_1, \dots, p_n są stałe, rozwiązania przyjmują postać:

u(t)=∑j=1ncjeλjt,u(t) = \sum_{j=1}^n c_j e^{\lambda_j t},

gdzie λ1,λ2,…,λn\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n to pierwiastki charakterystycznego równania uzyskanego przez podstawienie u=eλtu = e^{\lambda t} do równania różniczkowego.

Metoda rozwiązywania dla układów z wymuszeniami

Kiedy równanie jest niejednorodne (z wymuszeniami), jak np.:

d2udt2+u=2sin⁡(t),\frac{d^2u}{dt^2} + u = 2 \sin(t),

wówczas należy znaleźć zarówno rozwiązanie jednorodne, jak i szczególne. Rozwiązanie jednorodne dla tego typu równań będzie wynikiem kombinacji funkcji sinusoidalnych, np. sin⁡(t)\sin(t) i cos⁡(t)\cos(t), podczas gdy część szczególna będzie wynikać z wymuszenia 2sin⁡(t)2 \sin(t).

W przypadku omawianego równania, rozwiązanie jednorodne to:

uh(t)=c1sin⁡(t)+c2cos⁡(t),u_h(t) = c_1 \sin(t) + c_2 \cos(t),

a rozwiązanie szczególne to:

up(t)=sin⁡(t)−tcos⁡(t),u_p(t) = \sin(t) - t \cos(t),

gdzie w tym przypadku wykorzystuje się całkowanie przez części lub inne techniki analityczne.

Układy z macierzami i różniczkami

W przypadkach, kiedy mamy układy równań różniczkowych z macierzami, takie jak:

dudt=A(t)u+b(t),\frac{du}{dt} = A(t)u + b(t),

gdzie A(t)A(t) jest macierzą współczynników, a b(t)b(t) to wektor wymuszenia, rozwiązanie uzyskujemy za pomocą macierzy fundamentalnej U(t)U(t). W tym przypadku ogólne rozwiązanie przyjmuje postać:

u(t)=eAtu0+∫0teA(t−s)b(s)ds.u(t) = e^{A t} u_0 + \int_0^t e^{A(t-s)} b(s) ds.

Wnioski

Zrozumienie techniki rozwiązywania układów równań różniczkowych z początkowymi warunkami jest kluczowe w wielu dziedzinach matematyki stosowanej. W szczególności, metody takie jak użycie Wronskianu czy macierzy fundamentalnych pozwalają na uporządkowane podejście do trudnych równań liniowych, które pojawiają się w naukach fizycznych, inżynierii i ekonomii.

Przy rozwiązywaniu układów równań różniczkowych, istotnym jest zrozumienie, jak różne metody (np. metoda podstawienia, całkowanie przez części) wpływają na uzyskiwane rozwiązania. Z kolei w przypadkach z wymuszeniami, kluczowe staje się zrozumienie, jak wyznaczyć odpowiednią funkcję wymuszenia oraz jak za jej pomocą przekształcać układ równań.

Jak rozwiązać równania ciepła w domenach półnieskończonych z różnymi warunkami brzegowymi?

Równania ciepła, będące jednym z podstawowych typów równań różniczkowych, są szeroko stosowane w modelowaniu procesów dyfuzji i rozprzestrzeniania ciepła. Klasyczne podejście do rozwiązywania tych równań na ograniczonych przestrzennych obszarach jest dobrze znane, ale sytuacja staje się bardziej złożona, gdy rozważamy domeny półnieskończone, takie jak przypadek 0<x<∞0 < x < \infty, z warunkami brzegowymi, które różnią się od tych w pełnych domenach. Zastosowanie przekształceń Fouriera pozwala na efektywne rozwiązywanie takich problemów.

Rozwiązywanie równań ciepła w półnieskończonej domenie

Przy rozwiązywaniu równania ciepła w półnieskończonej domenie, bazowym przypadkiem jest równanie:

∂2u∂x2=∂u∂t,0<x<∞, t>0\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial t}, \quad 0 < x < \infty, \, t > 0

z warunkiem brzegowym:

u(0,t)=0,u(0,t) = 0,

oraz warunkiem początkowym:

u(x,0)=f(x).u(x, 0) = f(x).

Podstawową techniką stosowaną w takim przypadku jest użycie przekształceń Fouriera. Dla funkcji f(x)f(x), której zachowanie na początku procesu dyfuzji jest określone, możemy znaleźć rozwiązanie przy pomocy przekształcenia Fouriera w przestrzeni xx. Jeśli funkcja f(x)f(x) jest funkcją nieparzystą (czyli f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)), rozwiązanie przyjmuje postać:

u(x,t)=14πt∫−∞∞e−(x−ξ)24tf(ξ)dξ,u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}} \int_{ -\infty}^{\infty} e^{ - \frac{(x - \xi)^2}{4t}} f(\xi) d\xi,

gdzie erf(x)\text{erf}(x) to funkcja błędu, której postać w tym przypadku jest:

u(x,t)=erf(x4t).u(x, t) = \text{erf}\left( \frac{x}{\sqrt{4t}} \right).

Rozwiązanie to wskazuje, że propagacja ciepła (dyfuzja) w przestrzeni zachodzi z nieskończoną prędkością, co jest charakterystyczne dla równań parabolicznych, jak równanie ciepła.

Problemy nienośne

Przypadek problemu nienośnego może wystąpić, gdy początkowa funkcja f(x)f(x) jest zerowa lub w sytuacji, gdy temperatura na brzegu jest różna od zera (ale dla x=0x = 0 przyjmujemy warunek zerowy). W takim przypadku, definiujemy nową funkcję w(x,t)w(x, t), która uwzględnia przesunięcie w stosunku do warunku początkowego, np.:

w(x,t)=u(x,t)−1.w(x, t) = u(x, t) - 1.

Wówczas nowe równanie przyjmuje postać:

∂2w∂x2=∂w∂t,w(0,t)=0,w(x,0)=f(x)−1.\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = \frac{\partial w}{\partial t}, \quad w(0,t) = 0, \quad w(x, 0) = f(x) - 1.

Rozwiązanie w tym przypadku jest podobne do poprzedniego, jednak z modyfikacją na poziomie warunków początkowych.

Wykorzystanie przekształceń Fouriera w zadaniach z różnymi warunkami brzegowymi

W przypadku, gdy rozważamy bardziej ogólne warunki brzegowe, np. z promieniowaniem (BC typu 3), równania ciepła stają się bardziej złożone. Jednym z przykładów może być równanie:

∂2u∂x2=∂u∂t,0<x<∞,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial t}, \quad 0 < x < \infty,

z warunkiem brzegowym radiacyjnym:

∂u∂x(0,t)−Biu(0,t)=0,\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) - Bi u(0,t) = 0,

gdzie BiBi to liczba Biotta, oraz warunkiem początkowym:

u(x,0)=f(x).u(x, 0) = f(x).

W takich przypadkach rozwiązanie jest uzyskiwane przy pomocy przekształcenia Fouriera z uwzględnieniem odpowiednich wartości własnych i funkcji eigen. Analiza tego typu problemów jest szczególnie istotna w kontekście procesów fizycznych, gdzie powierzchnia ciała emituje lub absorbuje ciepło, np. w przypadku materiałów o dużej przewodności cieplnej.

Rozszerzenie rozwiązań z zakresu skończonych do półnieskończonych domen

Istotnym zagadnieniem przy rozwiązywaniu równań ciepła w półnieskończonych domenach jest także rozszerzenie wyników uzyskanych dla domen skończonych. Na przykład, rozwiązanie równania ciepła w skończonej domenie o długości aa (z warunkiem u(a,t)=0u(a,t) = 0) przyjmuje postać:

u(x,t)=2a∑n=1∞e−n2π2ta2sin⁡(nπxa)∫0af(s)sin⁡(nπsa)ds.u(x, t) = \frac{2}{a} \sum_{n=1}^{\infty} e^{ -\frac{n^2 \pi^2 t}{a^2}} \sin\left(\frac{n \pi x}{a}\right) \int_0^a f(s) \sin\left(\frac{n \pi s}{a}\right) ds.

Aby rozszerzyć to rozwiązanie do półnieskończonej domeny, przyjmujemy limit a→∞a \to \infty. W efekcie rozwiązanie w półnieskończonej przestrzeni jest wyrażone za pomocą całkowania, co może być przedstawione jako:

u(x,t)=14πt∫0∞e−(x−ξ)24tf(ξ)dξ.u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} \int_{0}^{\infty} e^{ -\frac{(x - \xi)^2}{4t}} f(\xi) d\xi.