Jakie zależności rządzą przepływami masy i energii w procesach przepływowych?

Procesy przepływu masy i energii w różnych układach inżynierskich, jak systemy hydrauliczne, klimatyzacyjne czy wentylacyjne, podlegają ścisłym zasadom fizycznym. W kontekście przepływu masy kluczowe jest zrozumienie podstawowych zasad bilansu masy oraz bilansu energii, które ściśle ze sobą współpracują.

Bilans masy dla procesów przepływowych w stanie ustalonym opiera się na założeniu, że całkowita masa w systemie pozostaje stała, pod warunkiem, że prędkości napływu i wypływu masy są stałe w czasie. Dla takich procesów bilans masy jest wyrażony równaniem:

gdzie $\dot{m}_{in}$ i $\dot{m}_{out}$ oznaczają odpowiednio masowy przepływ napływający do systemu oraz wypływający z niego (w jednostkach kg/s). Jest to podstawowa zasada dla systemów zamkniętych, w których nie zachodzą zmiany w magazynowanej masie.

Równanie bilansu masy w takim przypadku przyjmuje postać:

Przechodząc do bilansu energii, pierwszy law termodynamiki łączy zmiany całkowitej energii w systemie z energią przekraczającą granice systemu w procesie przepływu. Do tej pory analizowaliśmy tylko pracę i ciepło, ale w procesach przepływowych należy również uwzględnić energię przekraczającą granice systemu razem z masą. Wzór pierwszej zasady termodynamiki w odniesieniu do procesów przepływowych ma postać:

gdzie $E_{in}^{matter}$ i $E_{out}^{matter}$ to energia, którą przenosi napływająca i wypływająca masa. W przypadku procesów przepływowych, w których nie zachodzi zmiana całkowitej energii w systemie (co jest często założeniem dla przepływów ustalonych), równanie przyjmuje postać:

Masa, która przepływa przez granice systemu, wnosi ze sobą zarówno energię wewnętrzną, kinetyczną, potencjalną, jak i energię związana z pracą graniczną. Przy obliczaniu tej energii dla cieczy lub gazu, wykorzystuje się sumę tych składników. W uproszczeniu, dla cieczy lub gazów, możemy przyjąć wyrażenie entalpii $h = u + pv$, które pozwala zredukować liczbę zmiennych, upraszczając obliczenia.

Jeśli zaniedbamy zmiany energii potencjalnej i kinetycznej, to wyrażenie przyjmuje postać:

Przykładem zastosowania pierwszej zasady termodynamiki w kontekście przepływów jest obliczanie wydajności wentylatora w komputerze. Wentylator, generujący przepływ powietrza, ma za zadanie schłodzenie podzespołów komputera, a zmiany temperatury powietrza są wykorzystywane do określenia wymaganego przepływu masy. Obliczenia wymagają uwzględnienia parametrów takich jak gęstość powietrza, pojemność cieplna powietrza oraz różnice temperatury na wejściu i wyjściu. Dzięki tym obliczeniom można określić, czy wentylator jest odpowiednio dobrany do systemu chłodzenia.

W kontekście wentylatora komputerowego, obliczenie przepływu masy na podstawie objętości przepływającego powietrza pozwala na dokładną ocenę jego wydajności. Dalsze obliczenia, uwzględniające zmiany entalpii powietrza, pomagają określić maksymalną moc, jaką wentylator może odebrać z układu. Przykładowo, w trybie „ultra cichy” wentylator o przepływie 63,4 m³/h może osiągnąć moc chłodzenia na poziomie 319 W, co w przypadku wysokiego obciążenia systemu może okazać się niewystarczające. W trybie normalnym, wentylator o przepływie 92,3 m³/h generuje chłodzenie rzędu 464 W, co również nie spełnia wymagań.

Obliczenia tego typu są niezwykle ważne w kontekście optymalizacji systemów chłodzenia i wentylacji, szczególnie w urządzeniach wymagających precyzyjnego zarządzania temperaturą.

Jak Model Boltzmanna i Einsteina Wprowadza Nowe Zrozumienie Entropii i Niezmienności Wzrostu Entropii w Układach Mikroskalowych?

Model Boltzmanna, w swojej klasycznej formie, posługiwał się pojęciem "siły żywej", a nie "energii kinetycznej", a same zmienne były dostosowane do wymogów oryginalnych równań. Jednakże, zmieniające się uwarunkowania fizyczne i wprowadzenie mechaniki kwantowej zrewolucjonizowały jego zastosowanie w teorii gazów, ciał stałych i innych układów fizycznych. W tej nowoczesnej interpretacji możemy dostrzec kluczowe elementy, które wprowadzają głębsze zrozumienie procesów termodynamicznych, takich jak rozpraszanie energii, nieodwracalność procesów czy pojęcie entropii.

W kontekście modelu Boltzmanna oraz jego rozszerzenia przez Einsteina w 1907 roku, zauważamy, jak bardzo elastyczny jest ten model. Boltzmann pierwotnie rozpatrywał rozmieszczenie energii między cząstkami gazu, natomiast Einstein, korzystając z tego samego modelu, zastosował go do opisania stanów wibracyjnych atomów w ciałach stałych. Dzięki temu, model ten odegrał kluczową rolę w początkowych fazach rozwoju mechaniki kwantowej, zwłaszcza w wyprowadzaniu wzoru na pojemność cieplną ciał stałych.

Rozważmy ogólną formę tego modelu. Załóżmy, że mamy n "pojemników" lub "komórek", do których dzielona jest energia w postaci u jednostek. Fizyczne znaczenie tych "pojemników" może być różne w zależności od tego, jak modelujemy układ – mogą to być cząstki gazu, atomy ciała stałego, a nawet obszary przestrzeni. W statystyce mechanicznej najistotniejszym elementem jest jednak sama koncepcja rozdzielania energii między mikrostopnie swobody. Ostatecznie interesuje nas liczba mikrostanów, które odpowiadają określonemu makrostanowi. Tego rodzaju rozważania umożliwiają rozwój modelu statystycznego i mają fundamentalne znaczenie dla zrozumienia procesów w fizyce.

Jednakże bardziej złożona struktura modelu staje się szczególnie widoczna, gdy weźmiemy pod uwagę procesy nieodwracalne, jak na przykład wolna ekspansja gazu. W tym przypadku, kiedy gaz początkowo jest ograniczony do jednej połowy pojemnika przez przegrodę, a po jej usunięciu zaczyna rozprzestrzeniać się w całym dostępnym objętościowo przestrzeni, liczba dostępnych mikrostanów rośnie. Jak pokazano na przykładzie z trzema porcjami energii rozdzielonymi na cztery "pojemniki", liczba mikrostanów znacząco wzrasta po usunięciu przegrody. Co więcej, im większa liczba porcji energii, tym mniej prawdopodobne jest, że gaz pozostanie skoncentrowany w jednej połowie, ponieważ liczba mikrostanów, które odpowiadają stanowi z koncentracją energii w jednym regionie, jest znacznie mniejsza niż w przypadku bardziej rozproszonej energii.

Również pojęcie entropii w mechanice statystycznej znajduje swoje głębokie oparcie w liczbie mikrostanów, które mogą odpowiadać danemu makrostanowi. Zgodnie z zasadą, każdemu makrostanowi powinna odpowiadać taka liczba mikrostanów, która jest proporcjonalna do logarytmu tej liczby. Boltzmann wyprowadził więc ścisłą zależność między makroskalową entropią a liczbą dostępnych stanów mikroskalowych. Entropia, będąca miarą nieodwracalności procesów termodynamicznych, uzyskuje swoje pełne znaczenie w kontekście tej mikrostatystycznej definicji.

Entropia, zgodnie z definicją Boltzmanna, jest funkcją logarytmu liczby mikrostanów układu. Wartość ta jest związana z wieloma zjawiskami fizycznymi, a sama entropia może być interpretowana jako miara nieodwracalności procesów w układzie zamkniętym. Zgodnie z tym podejściem, układ dąży do makrostanów o jak największej liczbie mikrostanów, co jest zgodne z drugą zasadą termodynamiki, która mówi, że entropia w układach izolowanych nigdy nie maleje.

Przy rozważaniu tej kwestii warto pamiętać, że rozpraszanie energii w układzie, które leży u podstaw zjawiska nieodwracalności, wynika nie z działania jakichś specjalnych oddziaływań, ale z samego faktu, że dla tych samych warunków makroskalowych istnieje znacznie więcej mikrostanów z rozproszoną energią, niż z energią skoncentrowaną w jednym obszarze. Ten fakt tłumaczy, dlaczego procesy takie jak rozszerzanie gazu są nieodwracalne – po prostu procesy, w których energia jest skoncentrowana, są znacznie mniej prawdopodobne niż te, w których energia jest bardziej równomiernie rozdzielona.

Jak prędkość wiatru wpływa na współczynnik przenikania ciepła? Analiza eksperymentalna i teoretyczna na przykładzie doświadczenia Siple i Passela

Przykład przedstawiony na Rysunku 13.24 pochodzi z pomiarów wykonanych przez Siple’a i Passela w 1945 roku. Z danych zawartych w tym rysunku oraz równania (13.1), rozwiązując je dla współczynnika przenikania ciepła $h$, możemy obliczyć wartość tego współczynnika na podstawie eksperymentu. Otrzymujemy zależność dla $h(V)$ w funkcji prędkości wiatru. Przemiany cieplne, jakie zachodzą podczas eksperymentu, umożliwiają wyznaczenie współczynnika przenikania ciepła, analizując dane dotyczące przepływu ciepła.

Mechanizmy wymiany ciepła w eksperymencie Siple’a i Passela

Współczynnik przenikania ciepła w tym eksperymencie zależy od kilku mechanizmów wymiany ciepła. Najistotniejszym z nich jest konwekcja wymuszona, ale trzeba również rozważyć wpływ radiacji oraz konwekcji naturalnej.

Przenikanie ciepła przez radiację

Jeśli chodzi o radiację, możemy wykorzystać równanie (13.23), które stanowi podstawę obliczeń. Zawór znajduje się w temperaturze $T_{body}$, a otoczenie w temperaturze $T_{surr}$. Problemem jest fakt, że równanie to nie przyjmuje formy $Q = h A \Delta T$, co oznacza, że nie możemy go opisać zwykłym współczynnikiem przenikania ciepła $h_{radiation}$. Po pewnej transformacji równanie przyjmuje następującą postać:

gdzie $\sigma$ to stała Stefana-Boltzmanna, a $\epsilon$ to emisyjność. Po zastosowaniu wzoru trójmianowego można przyjąć, że:

Dzięki temu zdefiniowanym współczynnikiem przenikania ciepła możemy uwzględnić efekty radiacyjne w ogólnej analizie.

Konwekcja naturalna

Konwekcja naturalna, w tym przypadku, nie ma większego wpływu na wyniki eksperymentu. Przemiany ciepła związane z naturalnym krążeniem powietrza są całkowicie przyćmione przez konwekcję wymuszoną, spowodowaną ruchem wiatru. Tylko w przypadku bardzo niskich prędkości wiatru, poniżej 0,2 m/s, mogłyby wystąpić efekty konwekcji naturalnej, ale w opisanym przypadku tego nie uwzględniamy.

Konwekcja wymuszona

Porównanie wyników teoretycznych z danymi eksperymentalnymi

Porównanie wyników teoretycznych z danymi Siple’a i Passela pokazuje, że przy prędkościach wiatru do około 3 m/s, teoretyczne wartości współczynnika przenikania ciepła dobrze zgadzają się z wynikami pomiarów. Jednak przy wyższych prędkościach wiatru odchylenia teoretycznych obliczeń od danych eksperymentalnych stają się znaczne. Jak można to wyjaśnić?

Dodatkowe uwagi

Warto również zauważyć, że w praktyce obliczenia teoretyczne dla współczynnika przenikania ciepła nie uwzględniają wszystkich zmiennych, które mogą wpływać na wyniki. Współczynniki przenikania ciepła, zarówno dla konwekcji, jak i radiacji, mogą ulegać drobnym zmianom w zależności od konkretnego eksperymentu. Wartości te mogą się różnić w zależności od dokładności pomiarów, przyjętych założeń modelowych czy rzeczywistego rozkładu temperatury wewnątrz pojemnika. Na przykład, wpływ rodzaju powierzchni materiału, kształtu pojemnika, a także warunków atmosferycznych, takich jak wilgotność powietrza, mogą znacząco zmieniać wyniki pomiarów.

Jak przebiega proces przewodzenia ciepła w ciele stałym? Wyjaśnienie równania przewodzenia ciepła

Zmienność energii wewnętrznej w obrębie układu następuje na skutek dostarczania ciepła z jednej strony i jego wypływu z drugiej (w tym przypadku odstępujemy od konwencji oznaczeń przedstawionej w rozdziale 6: przyjmuje się, że Q̇ jest dodatnie w kierunku strzałki, tj. wraz ze wzrostem wartości x): dU = Q̇(x)− Q̇(x + ∆x). (14.1) dt

∂T Q̇(x)− Q̇(x + ∆x) ρ A = −∂Q̇(x) c . (14.3) ∂t ∆x ∂x

Aby zastąpić Q̇, wykorzystujemy równanie (13.3), czyli prawo Fouriera dla przewodzenia ciepła:

∂ Q̇ = − T λ A . (14.4) ∂x

Podstawiając to do równania (14.3), otrzymujemy:

∂T ρ A c = λ A ∂2T . (14.5) ∂t ∂x2

Zakładając, że λ jest stałe przestrzennie, otrzymujemy jednoznaczne równanie przewodzenia ciepła:

∂T λ ∂2T = . (14.6) ∂t ρc ∂x2

Równanie przewodzenia ciepła jest równaniem różniczkowym cząstkowym dla funkcji T(x,t). Może być ono łatwo rozszerzone na trzy wymiary:

λ ∂2T ∂2T ∂2 ]: ∂T T = + ∂t ρc ∂x2 + ∂y2 ∂z2 . (14.7)

Współczynnik λ α = , (14.8) ρc zwany współczynnikiem dyfuzji cieplnej, jest stałą materiałową.

Zanim przejdziemy do analizy skomplikowanych przypadków przewodzenia ciepła w układzie nienaustalonym, warto zwrócić uwagę na model jednolitym grzania, który jest najprostszą metodą przybliżenia. W tym modelu zakłada się, że przewodzenie ciepła w obrębie ciała zachodzi znacznie szybciej niż dostarczanie ciepła z zewnątrz. W takim przypadku ciepło rozchodzi się równomiernie po całym ciele, a temperatura w obrębie tego ciała staje się jednorodna (por. Rys. 14.4).

Powyższe rozważania prowadzą nas do istotnej kwestii oceny, czy w danym przypadku można uznać, że grzanie ciała odbywa się w sposób równomierny. Jednym ze sposobów wyrażenia tej zależności jest wprowadzenie liczb biotowskich, które służą do oceny szybkości przewodzenia ciepła wewnątrz ciała w porównaniu do szybkości transferu ciepła z zewnątrz. Liczba Biotowska, która definiowana jest jako:

Bi = h L / λ, (14.12)

gdzie L to charakterystyczna długość ciała, a h to współczynnik wymiany ciepła między ciałem a otaczającym je medium, pozwala oszacować, czy założenie o jednorodnym grzaniu jest uzasadnione. Dla Biot < 0.1, można przyjąć, że grzanie jest jednorodne z dokładnością do 5%.

Zasadniczą kwestią przy takim podejściu jest możliwość upraszczania skomplikowanych problemów przewodzenia ciepła, szczególnie w sytuacjach, gdzie szybka analiza czasowa zachowań termicznych jest niezbędna, a pełne rozwiązanie równań różniczkowych cząstkowych wymagałoby zbyt dużej ilości obliczeń.

dT / dt = −h A (T(t)− Tsurr) / (m c),

gdzie T(t) to temperatura ciała, a Tsurr to temperatura otoczenia. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja wykładnicza:

T(t) = Tsurr + (T0 − Tsurr) e− h A m c t.

Oznacza to, że temperatura ciała zbliża się do temperatury otoczenia w sposób wykładniczy, zaczynając od początkowej wartości T0.

Pomimo że takie podejście jest stosunkowo uproszczone, w praktyce może okazać się bardzo pomocne, szczególnie w przypadkach, gdzie wymagana jest szybka ocena zachowań termicznych ciał o prostych geometriach, takich jak np. jajko gotowane w wodzie czy metalowa kula podgrzewana w piekarniku.

Jakie czynniki decydują o odczuciu „zimna” lub „ciepła” w kontakcie z metalem i drewnem?

Wszystko zaczyna się od rozważenia prostego modelu przewodzenia ciepła, który wyjaśnia, dlaczego metal wydaje się zimny w porównaniu do drewna, mimo że oba materiały mogą mieć tę samą temperaturę. Warto tu wspomnieć, że nasze ciała mają termoreceptory, które reagują na zmiany temperatury w bardzo wąskim zakresie, co wpływa na nasze odczucia. Zatem, kiedy dotykamy metalowej powierzchni, która ma tę samą temperaturę co drewno, odczuwamy ją jako znacznie zimniejszą. Dlaczego? Przyczyną tego jest różnica w przewodności cieplnej oraz pojemności cieplnej metalu i drewna.

Model kontaktu dwóch ciał pół-nieskończonych

Załóżmy, że mamy do czynienia z dwoma ciałami, które są w kontakcie termicznym: człowiekiem i krzesłem. Załóżmy, że zarówno krzesło, jak i ciało człowieka są materiałami pół-nieskończonymi, co oznacza, że mają one bardzo dużą objętość w jednym kierunku, a ich rozmiar w pozostałych wymiarach jest pomijalny. Kiedy nasze ramię dotyka oparcia krzesła, dochodzi do wymiany ciepła między naszym ciałem a materiałem krzesła. Z tego powodu zachodzi proces, który można opisać równaniem przewodzenia ciepła: