Równania różniczkowe (ODE) są podstawowym narzędziem w fizyce, szczególnie gdy chodzi o opis ruchu cząstki pod wpływem różnych sił. Rozwiązywanie takich równań pozwala na uzyskanie funkcji opisujących pozycję, prędkość, a nawet przyspieszenie cząstki w czasie. W przypadku układów, gdzie działają siły stałe, jak np. w klasycznej mechanice, często spotykamy się z rozwiązaniami, które zawierają stałe arbitralne, które muszą być określone za pomocą warunków początkowych.

Rozpatrzmy przykład równania różniczkowego, które opisuje pozycję cząstki jako funkcję czasu. Załóżmy, że mamy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego, które daje nam nieskończoną liczbę rozwiązań. Każde z tych rozwiązań zawiera pewną stałą arbitralną. Problem polega na tym, że w celu określenia rzeczywistej trajektorii cząstki musimy znaleźć konkretne rozwiązanie, które odpowiada rzeczywistemu ruchowi cząstki w danym układzie.

Aby wybrać odpowiednie rozwiązanie, musimy wprowadzić warunki początkowe. Zwykle jest to wartość funkcji w pewnym momencie, najczęściej przy t = 0. Przykładowo, jeśli znamy pozycję cząstki w chwili początkowej, czyli x(0) = 3, to możemy wyznaczyć stałą arbitralną, podstawiając tę wartość do ogólnego rozwiązania równania. Takie podstawienie prowadzi do uzyskania konkretnej postaci rozwiązania. Jeśli np. ogólne rozwiązanie ma formę x(t) = 7t + c, to podstawienie x(0) = 3 daje nam c = 3, a ostateczne rozwiązanie to x(t) = 7t + 3.

Kiedy jednak rozwiązujemy równanie wyższych rzędów, potrzebujemy więcej niż jednej warunki początkowej. Załóżmy, że chcemy znaleźć rozwiązanie dla równania drugiego rzędu, które opisuje ruch cząstki pod wpływem przyspieszenia. W takim przypadku nie wystarczy tylko znajomość pozycji cząstki w czasie t = 0. Musimy również znać prędkość cząstki w tym momencie, czyli wartość pochodnej pozycji względem czasu (v = dx/dt) w tym samym czasie.

Załóżmy, że wiemy, że x(0) = 3 i v(0) = 1. Wówczas mamy do rozwiązania układ dwóch równań:

  • x(0) = 3.5(0)² + c1(0) + c2 = 3,

  • v(0) = 7(0) + c1 = 1.

Te dwa równania pozwalają wyznaczyć stałe c1 = 1 oraz c2 = 3, a ostateczne rozwiązanie dla pozycji cząstki to x(t) = 3.5t² + t + 3.

Warto dodać, że w wielu przypadkach, zamiast podawać warunki początkowe, możemy określić wartości funkcji w dwóch różnych punktach czasu, co prowadzi do tzw. problemu brzegowego. W mechanice klasycznej zwykle znamy zarówno pozycję, jak i prędkość cząstki na początku ruchu, jednak w innych dziedzinach, takich jak elektrodynamika czy termodynamika, częściej spotyka się sytuację, w której znamy wartości funkcji w dwóch różnych punktach przestrzeni, np. temperaturę w dwóch miejscach. Wówczas mamy do czynienia z problemem brzegowym, w którym warunki brzegowe pozwalają na wyznaczenie stałych w rozwiązaniu równania różniczkowego.

Zatem, aby wyznaczyć konkretne rozwiązanie dla równań różniczkowych, musimy znać odpowiednią liczbę warunków początkowych lub brzegowych. W przeciwnym razie, podobnie jak w przypadku równania (2.2.1), będziemy mieli nieskończoną liczbę rozwiązań, które nie mają żadnego fizycznego sensu.

Równania różniczkowe a siły stałe

Rozważmy teraz przypadek, w którym na cząstkę o masie m działa stała siła netto F = F0. Wówczas równanie Newtona F = ma daje nam równanie różniczkowe pierwszego rzędu:

dvdt=F0m.\frac{dv}{dt} = \frac{F_0}{m}.

Siła F0 jest stała, więc przyspieszenie a jest również stałe. Możemy rozwiązać to równanie metodą separacji zmiennych. Pierwszym krokiem jest pomnożenie obu stron przez dt:

dv=adt.dv = a dt.

Integrując obie strony, otrzymujemy:

v(t)=at+c1.v(t) = at + c_1.

Stałą c1 możemy wyznaczyć, korzystając z warunku początkowego prędkości cząstki w czasie t0 = 0, czyli v(0) = v0. Wówczas c1 = v0 i ostateczne rozwiązanie przybiera postać:

v(t)=v0+at.v(t) = v_0 + at.

Teraz, aby znaleźć pozycję cząstki, musimy skorzystać z faktu, że prędkość jest pochodną pozycji względem czasu:

v=dxdt.v = \frac{dx}{dt}.

Podstawiając to do równania i wykonując integrację, otrzymujemy:

x(t)=12at2+v0t+x0.x(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0.

Wszystkie powyższe równania są klasycznymi równaniami kinematycznymi, które opisują ruch cząstki pod wpływem stałej siły (stałego przyspieszenia). Dla ruchu swobodnie spadającej cząstki na powierzchni Ziemi, przyspieszenie a = -g, gdzie g = 9.8 m/s², prowadzi do konkretnych postaci równań kinematycznych:

v(t)=v0−gt,v(t) = v_0 - g t,
y(t)=y0+v0t−12gt2,y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2,
v2(y)=v02−2g(y−y0).v^2(y) = v_0^2 - 2g (y - y_0).

Zastosowanie tych równań jest kluczowe do rozwiązania wielu problemów fizycznych związanych z ruchem ciał w polu grawitacyjnym.

W kontekście tego typu zagadnień warto również pamiętać, że w bardziej złożonych układach, takich jak maszyna Atwooda, gdzie występują dwa masy połączone nieważką linką, również będziemy mieli do czynienia z równaniami różniczkowymi, które należy rozwiązać przy uwzględnieniu sił działających na każdy z ciał oraz warunków początkowych. W przypadku układów z wieloma ciałami konieczne będzie zastosowanie bardziej zaawansowanych metod analizy.

Jak siła Coriolisa wpływa na ruchy ciał na powierzchni Ziemi?

Siła Coriolisa to dodatkowa siła bezwładnościowa, która pojawia się w układzie odniesienia, obracającym się względem układu inercjalnego, takim jak Ziemia. Jest to siła, która wywołuje odchylenie ruchu ciał poruszających się na powierzchni planety, a jej kierunek zależy od prędkości ciała oraz szerokości geograficznej. Wyrażona jest wzorem Fcor=−2m(ω×v)F_{\text{cor}} = -2m (\omega \times v), gdzie mm to masa ciała, ω\omega to wektor prędkości kątowej Ziemi, a vv to prędkość ciała. Siła ta zależy od prędkości ruchu, co oznacza, że cząstki, które nie poruszają się względem powierzchni Ziemi, nie doświadczają efektu Coriolisa.

Z racji, że siła Coriolisa jest niewielka, jej wpływ na codzienne zjawiska jest trudny do dostrzegania. Na przykład piłka golfowa poruszająca się z prędkością 70 m/s na szerokości geograficznej 45°N odczuwa siłę Coriolisa wynoszącą jedynie 0,007 N, co w porównaniu z czasem jej lotu jest efektem bardzo małym. Jednak przy dużo większych prędkościach, jak w przypadku pocisków rakietowych, które mogą osiągać prędkości rzędu 7 km/s, siła ta może mieć zauważalny wpływ – dla rakiety wznoszącej się na takiej prędkości, siła Coriolisa wynosi około 0,7 N. Choć sama siła nie jest ogromna, to rakiety są dodatkowo korygowane przez systemy sterowania komputerowego, które uwzględniają wpływ warunków atmosferycznych oraz innych czynników zewnętrznych.

Kierunek siły Coriolisa jest określany przez termin −ω×v-\omega \times v. W Półkuli Północnej, gdy cząstka porusza się w kierunku równikowym, jej ruch zostaje odchylony w prawo względem kierunku prędkości. Na Półkuli Południowej siła ta powoduje odchylenie w lewo. Efekt ten ma istotne znaczenie dla krążenia powietrza w atmosferze Ziemi. W Półkuli Północnej, z powodu siły Coriolisa, wiatr jest odchylany w prawo, co prowadzi do powstawania wyżów atmosferycznych po prawej stronie kierunku wiatru, a niżów po lewej. Z kolei na Półkuli Południowej odchylenie w lewo skutkuje przeciwnym układem ciśnień i kierunków krążenia powietrza – wschodnia cyrkulacja na półkuli północnej jest odwrotna na południowej. Efekt ten jest również odpowiedzialny za powstawanie cyklonów i antycyklonów oraz innych zjawisk meteorologicznych.

Siła Coriolisa wpływa także na trajektorie pocisków i rakiet, szczególnie w przypadku ich długotrwałych lotów. W takich sytuacjach, choć sama siła jest niewielka, jej efekt może skumulować się w trakcie lotu, a jej oddziaływanie, szczególnie na dużych odległościach, jest jednym z czynników branych pod uwagę przy projektowaniu trajektorii rakiet. Choć rakiety mogą osiągać prędkości rzędu kilku kilometrów na sekundę, a siła Coriolisa na nie oddziałująca może wynosić setne części niutona, jej efekt staje się zauważalny w czasie lotu. Zatem podczas analizy trajektorii rakiet oraz innych obiektów poruszających się z dużymi prędkościami, należy uwzględnić nie tylko klasyczne siły, ale także te wynikające z ruchu obrotowego Ziemi.

Przykład obliczenia odchylenia ciała opadającego swobodnie na powierzchni Ziemi z wysokości 100 m, wykonany na szerokości geograficznej 45°N, ukazuje, jak małe może być odchylenie wywołane przez siłę Coriolisa. W obliczeniach przyjęto, że czas swobodnego spadku ciała wynosi t=2Hgt = \sqrt{\frac{2H}{g}}, gdzie HH to wysokość upadku, a gg to przyspieszenie ziemskie. Z obliczeń wynika, że ciało spadające z tej wysokości zostanie odchylone o około 1,55 cm w kierunku wschodnim. Choć ta wartość jest niewielka, dla bardziej precyzyjnych obliczeń, na przykład w badaniach balistycznych lub meteorologicznych, takie efekty muszą być uwzględniane.