W kontekście teorii nieliniowych, kluczowym elementem analizy zachowania materiałów jest odpowiedni dobór mierników naprężeń i odkształceń, które będą wzajemnie koniugowane. Mówiąc "koniugowane", mamy na myśli, że miary naprężeń i odkształceń, wybrane w odniesieniu do określonej konfiguracji odniesienia, muszą spójnie reprezentować miarę energii materiału w bieżącej konfiguracji. W przeciwnym razie, takie wyrażenia dla naprężeń i odkształceń, które nie są odpowiednio koniugowane, tracą fizyczne uzasadnienie.

Właściwy dobór tych mierników jest niezbędny, by zapewnić spójność fizyczną modelu w kontekście analizy nieliniowej. Przykładem takiego podejścia może być zastosowanie zasady wirtualnych przemieszczeń, która pozwala na prawidłowe określenie napotkanych sił i odkształceń w układzie. W szczególności, w przypadku wyboru bieżącej zdeformowanej konfiguracji (C2) jako konfiguracji odniesienia, możliwe jest pokazanie, że tensor naprężeń Cauchy'ego τij\tau_{ij} i tensor odkształceń infinitesymalnych eije_{ij} tworzą parę koniugowaną.

W ramach różnych sformułowań analizy nieliniowej (TL, UL) można przyjąć różne pary tensorów naprężeń i odkształceń. Na przykład, w sformułowaniu TL, którego konfiguracja odniesienia to C0C_0, można wybrać tensor naprężeń Kirchhoffa SijS_{ij} oraz tensor odkształceń Green'a–Lagrange'a εij\varepsilon_{ij} jako parę koniugowaną. Z kolei w sformułowaniu UL, odnoszącym się do konfiguracji C1C_1, można wykorzystać zaktualizowany tensor naprężeń Kirchhoffa SijS_{ij} i zaktualizowany tensor odkształceń Green'a εij\varepsilon_{ij} jako parę koniugowaną.

Właściwy wybór odpowiednich mierników naprężeń i odkształceń jest również kluczowy przy wyprowadzaniu równań konstytutywnych dla materiałów w analizie nieliniowej. Jeśli materiały mają wykazywać się odpowiednią spójnością w ramach różnych konfiguracji, konieczne jest odpowiednie przekształcenie współczynników materiałowych, szczególnie w przypadku dużych odkształceń. W tym przypadku zastosowanie teorii macierzy przekształceń pozwala na konwersję współczynników materiałowych, tak aby były one zgodne zarówno w kontekście sformułowania TL, jak i UL.

Kiedy mówimy o prawach konstytutywnych, należy zauważyć, że w literaturze istnieje wiele różnorodnych podejść do opisania zależności między naprężeniami i odkształceniami w materiałach, od modeli elastycznych, przez viscoelastyczne, aż po plastyczne. Choć wybór odpowiednich zależności zależy od rodzaju problemu, w kontekście analizy nieliniowej i obliczeń numerycznych szczególną uwagę należy zwrócić na właściwe uwzględnienie zmienności tych zależności w czasie i przestrzeni.

Równania konstytutywne w sformułowaniu TL oraz UL mogą być zapisane za pomocą tensorów przyrostu naprężeń SijS_{ij} oraz tensorów przyrostu odkształceń εij\varepsilon_{ij}, które są powiązane z odpowiednimi macierzami konstytutywnymi. W zależności od wybranej konfiguracji odniesienia, materiały mogą wykazywać różne odpowiedzi w ramach tych samych kroków obciążeniowych, co jest szczególnie istotne w kontekście analiz postbucklingowych, gdzie odpowiedzi strukturalne są w dużym stopniu zależne od historii obciążenia oraz od charakterystyki materiału w kontekście dużych odkształceń.

Aby zapewnić spójność fizyczną w obliczeniach, niezbędne jest również odpowiednie przekształcenie współczynników materiałowych, co pozwala na uniknięcie niezgodności między różnymi sformułowaniami. Z tego względu, zmiany w konfiguracjach odniesienia muszą być zawsze uwzględniane w sposób spójny, a współczynniki materiałowe powinny być transformowane za pomocą odpowiednich wzorców matematycznych.

W procesie tworzenia równań konstytutywnych dla materiałów w ramach nieliniowej analizy, kluczową rolę odgrywa dobór odpowiednich funkcji, które opisują zależność między naprężeniami i odkształceniami w kontekście ich aktualnych zmian. Tego typu funkcje są najczęściej określane na podstawie danych eksperymentalnych lub hipotez teoretycznych, co pozwala na dalsze rozwijanie modeli materiałowych.

W każdym przypadku, niezbędne jest uwzględnienie w obliczeniach numerycznych takich zmiennych jak gradienty odkształceń, co pozwala na wyliczenie naprężeń w odpowiednich punktach i uwzględnienie ich w kolejnych etapach analizy. Ważnym krokiem w procesie obliczeniowym jest również uwzględnienie zmian geometrii materiału w wyniku przekształceń deformacyjnych, co ma bezpośredni wpływ na wyniki analizy.

Jak obliczyć krytyczne obciążenie kolumny skręconej?

Zjawisko wyboczenia kolumny pod obciążeniem skręcającym jest jednym z kluczowych zagadnień w analizie stabilności konstrukcji. Kolumna, która znajduje się pod wpływem momentu skręcającego, przechodzi przez proces od początkowego stanu równowagi do fazy wyboczenia, w której zaczyna się deformować w sposób nieliniowy. Celem tego rozdziału jest przedstawienie metod obliczeniowych oraz analizy warunków brzegowych, które pozwalają wyznaczyć krytyczne obciążenie skręcone, w którym zachodzi wyboczenie.

Kiedy kolumna jest obciążona momentem skręcającym, a jej geometria jest jednoosiowa, wówczas mogą występować dwie podstawowe deformacje: obroty i przemieszczenia wzdłuż osi y i z. Po obliczeniu odpowiednich równań różniczkowych, które uwzględniają skręcanie, można rozwiązać układ równań dla funkcji przemieszczeń w kierunku y i z. Wyrazem tej analizy są układy równań, takie jak te w równaniach (5.167) oraz (5.168), które prowadzą do określenia zależności między różnymi momentami działającymi na kolumnę.

W trakcie wyboczenia momenty indukowane przez skręcanie mają charakter semitangencjalny, co oznacza, że momenty ΔMz i ΔMy, które pojawiają się w wyniku obrotów kolumny, wpływają na zachowanie struktury. Dwa momenty, ΔMz i ΔMy, są zatem zależne od funkcji ugięcia w kierunku z i y, co wpływa na kształtowanie naturalnych warunków brzegowych dla swobodnego końca kolumny. Na przykład, dla momentu działającego wzdłuż osi z, moment ΔMz będzie równy (1/2)Tw', a dla momentu działającego wzdłuż osi y, moment ΔMy będzie wynosił (1/2)Tv’.

Podstawowe warunki równowagi momentów, które muszą być spełnione w stanie wyboczenia, stanowią klucz do określenia krytycznego obciążenia, przy którym kolumna traci stabilność. Przeprowadzając szczegółową analizę tych warunków, można wyznaczyć charakterystyczne równania, których rozwiązaniem jest krytyczne obciążenie Tcr. To obciążenie, wyrażone w równaniu (5.189), pozwala na określenie maksymalnego momentu skręcającego, który kolumna jest w stanie wytrzymać, zanim dojdzie do wyboczenia.

W przypadku szczególnym, dla kolumny o przekroju okrągłym (gdzie Iy = Iz = I), rozwiązanie to upraszcza się do formy podanej przez Zieglera (1977). Otrzymane wyrażenie Tcr = ±πEI/L wskazuje na zależność między momentem krytycznym, momentem bezwładności przekroju oraz długością kolumny.

Zastosowanie tej metody obliczeniowej jest znacznie szersze niż tylko do pojedynczych kolumn obciążonych skręcaniem. Metody te można zastosować również do analizy konstrukcji przestrzennych, takich jak ramy przestrzenne, w których człony muszą wykazywać zdolność do deformacji w różnych kierunkach. Złożoność układów równań dla tych przypadków jest wyższa, ale zasada rozwiązywania takich problemów jest w istocie podobna – polega na wyznaczeniu odpowiednich warunków równowagi oraz uzyskaniu ogólnych rozwiązań dla deformacji i sił wewnętrznych.

Obliczenia krytycznego obciążenia skręconych kolumn mogą być rozszerzane na przypadki z różnymi warunkami brzegowymi, co jest szczególnie istotne w praktyce inżynierskiej. Różne rodzaje obciążeń, takie jak momenty skręcające działające w innych osiach lub obciążenia pionowe, mogą wymagać modyfikacji procedur obliczeniowych. Warto także zauważyć, że krytyczne obciążenie zależy od geometrii przekroju poprzecznego kolumny, a także od rodzaju materiału, z którego jest wykonana.

W analizie wyboczenia kolumn i przestrzennych ram ważnym aspektem jest uwzględnienie wszystkich czynników wpływających na stabilność konstrukcji, w tym nieliniowych deformacji, które mogą wystąpić w wyniku dużych przemieszczeń. Zastosowanie teorii nieliniowych, takich jak teoria małych odkształceń z uwzględnieniem dużych przemieszczeń, pozwala na dokładniejsze odwzorowanie rzeczywistego zachowania struktur pod wpływem obciążeń.

Jak rozwiązywać nieliniowe równania strukturalne metodą przyrostową-iteracyjną?

Równania nieliniowe struktury mogą być zapisywane w formie ogólnej dla j-tej iteracji w i-tej fazie przyrostu w sposób, który jest użyteczny w fazie predykcji. Dla struktury w i-tym przyroście, {ΔUᵢʲ} oznacza przyrosty przemieszczeń dla j-tej iteracji, a sztywność styczna [Kᵢʲ₋₁] oraz wewnętrzne siły {Fᵢʲ₋₁} są obliczane na podstawie wyników poprzedniej (j-1) iteracji. Zgodnie z notacją w poprzednich rozdziałach, sztywność styczna [Kᵢʲ₋₁] składa się z sztywności sprężystej [Kₑ] i sztywności geometrycznej [Kᵍ] dla ram płaskich, plus sztywność momentu w węźle [Kⱼ] dla ram przestrzennych oraz z macierzy sztywności [Kₑ], [Kᵍ], [S₁], [S₂] i [S₃] dla kratownic, jak wcześniej przedstawiono dla C1.

Aplikowane obciążenia {Pᵢʲ} mogą zmieniać się w trakcie iteracji, co stanowi poprawę względem metody Newtona-Raphsona, w której obciążenia są stałe w trakcie iteracji, co rozwiązuje problem rozbieżności w pobliżu punktu granicznego. Odpowiednie warunki początkowe dla równania (7.14) to:

  • [Kᵢ₀] ≡ [Kᵢ₋₁ˡ],

  • [Fᵢ₀] ≡ [Fᵢ₋₁ˡ],

  • [Uᵢ₀] ≡ [Uᵢ₋₁ˡ],

gdzie indeks l oznacza ostatnią iterację poprzedniego (i-1) przyrostu. Obciążenia zewnętrzne {Pᵢʲ} mogą zostać rozłożone na wektor odniesienia {P̂} według zależności:

  • {Pᵢʲ} = {Pᵢʲ₋₁} + {ΔPᵢʲ},

co może być zapisane również jako:

  • {Pᵢʲ} = {Pᵢʲ₋₁} + λᵢʲ{P̂},

gdzie {Pᵢ₀} ≡ {Pᵢ₋₁ˡ}, uwzględniając obciążenia skumulowane z poprzedniej iteracji. Korzystając z funkcji obciążenia w równaniu (7.17), współczynnik przyrostu obciążenia λᵢʲ dla j-tej iteracji i-tego przyrostu może być traktowany jako nieznany parametr, oprócz N nieznanych {ΔUᵢʲ}, w teorii N+1, która będzie omówiona w rozdziale 7.6.

Po rozwiązaniu przyrostów przemieszczeń {ΔUᵢʲ} dla j-tej iteracji, całkowite przemieszczenia {Uᵢʲ} struktury można uzyskać poprzez ich akumulację:

  • {Uᵢʲ} = {ΔUᵢʲ₋₁} + {ΔUᵢʲ}.

Zwyczajowo, różnicę pomiędzy zewnętrznymi obciążeniami {Pᵢʲ₋₁} a wewnętrznymi siłami {Fᵢʲ₋₁} (sumowanymi dla wszystkich elementów) struktury, wynikającą z poprzedniej (j-1) iteracji, nazywa się siłami niezrównoważonymi {Rᵢʲ₋₁}, to znaczy:

  • {Rᵢʲ₋₁} = {Pᵢʲ₋₁} − {Fᵢʲ₋₁}.

Korzystając z równania (7.17), równanie nadrzędne w (7.14) może zostać przekształcone do formy:

  • [Kᵢʲ₋₁]{ΔUᵢʲ} = λᵢʲ{P̂} + {Rᵢʲ₋₁}.

Składa się ono z N + 1 nieznanych, tj. λᵢʲ i {ΔUᵢʲ}. W celu uproszczenia, można dalej rozbić powyższe równanie na dwie oddzielne równości:

  • [Kᵢʲ₋₁]{ΔÛʲ} = {P̂},

  • [Kᵢᵲ₋₁]{ΔŪʲ} = {Rᵢʲ₋₁}.

W ten sposób, związane z nimi przyrosty przemieszczeń {ΔUᵢʲ} mogą zostać rozłożone na dwie części:

  • {ΔUᵢʲ} = λᵢʲ{ΔÛʲ} + {ΔŪʲ}.

Zaletą tego rozkładu równania (7.20) na dwa równania jest możliwość ich rozwiązania jednocześnie za pomocą jednej operacji rozwiązania równań, traktując {P̂} i {Rᵢʲ₋₁} jako równoległe obciążenia. Kolejną korzyścią jest to, że współczynnik przyrostu obciążenia λᵢʲ może być traktowany jako niezależne nieznane, oprócz N nieznanych zawartych w wektorze przemieszczeń {ΔUᵢʲ}. Zwyczajowo, w celu określenia współczynnika λᵢʲ konieczne jest wprowadzenie dodatkowego ograniczenia, na podstawie którego zaproponowano różne metody rozwiązania.

Tak dotychczas przedstawione manipulacje odnoszą się do fazy predykcji dotyczącej rozwiązania przemieszczeń strukturalnych {ΔUᵢʲ}, przy zadanych obciążeniach lub siłach niezrównoważonych {Pᵢʲ} − {Fᵢʲ₋₁}. Należy jednak uzupełnić to o wymaganą fazę korekcji. Po rozwiązaniu przemieszczeń strukturalnych {ΔUᵢʲ}, przemieszczenia elementów {Δuᵢʲ} mogą być bezpośrednio uzyskane. Następnie geometria struktury (jak wskazano w punkcie d na Rys. 7.1) może zostać zaktualizowana, a siły w elementach odzyskane przy użyciu {fᵢ} = {fᵢ₋₁} + {Δf} (jak pokazano na odcinku c − d − e w Rys. 7.1). Postępując zgodnie z procedurami w rozdziałach 7.3.2 i 7.3.3, można obliczyć całkowite siły w elementach, a także całkowite siły wewnętrzne i siły niezrównoważone struktury, które stanowią podstawę do kolejnej iteracji.

Metoda Newtona-Raphsona jest jedną z najstarszych metod iteracyjnych, która jest nadal szeroko stosowana. Większość schematów iteracyjnych przy rozwiązywaniu równań nieliniowych można uznać za warianty tej metody. W tradycyjnej metodzie Newtona-Raphsona obciążenia zewnętrzne zwiększane są o stałą wartość dla pierwszej iteracji, tj. dla j = 1, w każdym kroku przyrostu. Dla pozostałych iteracji w tym samym kroku, tj. dla j ≥ 2, przyrost obciążenia jest równy zeru, co oznacza, że obciążenia zewnętrzne są stałe w trakcie iteracji. Z tego powodu metoda Newtona-Raphsona bywa nazywana metodą sterowania obciążeniem. W metodzie tej występuje warunek ograniczenia dla współczynnika przyrostu obciążenia λᵢʲ, który wyraża się następująco:

  • λᵢʲ = 1 dla j = 1,

  • λᵢʲ = 0 dla j ≥ 2.

Metoda ta ma swoje ograniczenia, zwłaszcza w kontekście rozwiązywania problemów w pobliżu punktów granicznych. W przypadku przekroczenia punktu granicznego, metoda Newtona-Raphsona nie jest w stanie znaleźć punkt

Jak momenty zewnętrzne wpływają na krytyczne obciążenie w ramach przestrzennych?

Równanie 2φ cot φ = −(λ− φ) sin 2α (9.79), które można wyprowadzić z równania (9.70) przez podstawienie kąta α′(= α−90°) zamiast a (patrz Rysunki 9.8(a) i (b)), jest podstawą do analizy wpływu momentów zewnętrznych na obciążenie krytyczne. Zgodnie z wynikami przedstawionymi na Rysunku 9.9, obciążenie krytyczne M0,cr uzyskane z tego równania ukazuje wyraźny wpływ mechanizmów momentów zewnętrznych na obciążenie wyboczeniowe.

W przypadku 2 – Równe sztywności dla skręcania i zginania: Dla tego przypadku można uzyskać wyniki identyczne z tymi zaprezentowanymi w równaniu (9.73).

W przypadku 3 – Taka sama długość dla członów 1 i 2: Dla tego przypadku (β = 1) równanie (9.78) redukuje się do postaci:

λ − φ [( μ) ( μ) ] 2 cot2 φ+ sin 2α cotφ− 1 + + 1− cos 2α = 0 φ λ λ λ (9.80).

Porównanie obciążeń krytycznych M0,cr uzyskanych dla momentów QT-1 i QT-2 na Rysunku 9.10 ujawnia, że są one bardzo wrażliwe na sposób, w jaki momenty zewnętrzne są stosowane. Spośród trzech mechanizmów momentów, moment ST wykazuje najwyższą odporność na wyboczenie ramy.

Moment półtangencjalny (ST)

Moment półtangencjalny M0 z Rysunku 9.6(c) wywoła moment o wielkości −1/2(M0v ′ 2) wokół osi x2 oraz moment o wielkości −1/2(M0θx2) wokół osi z2 w pozycji wyboczenia. Z warunków równowagi dla węzła C z Rysunku 9.7(c) (uwzględniając różnicę między momentami wewnętrznymi i zewnętrznymi), możemy zapisać naturalne warunki brzegowe dla węzła z równań (5.111), (5.113) i (5.109) w następujący sposób:

GJ(θ′x2)x2=βL − 1 M0(v ′ 2)x2=βL = 0 (9.81)
2 1 EIz(v ′′ 2 )x2=βL + M0(θx2) (9.82)
EIz(v ′′′ 2 )x2=βL +M0(θ ′ x2)x2=βL = 0 (9.83).

Stosując tę samą procedurę rozwiązywania problemów brzegowych, uzyskujemy równanie charakterystyczne:

[ ( ) ] 2 + 2 cosφ cos βφ− μ λ 2 cos2 α+ + sin2 α sinφ sin βφ (9.84).

Trzy przypadki specjalne będą badane poniżej.

Przypadek 1 – Człon 2 ma długość równą zeru: Dla tego przypadku β = 0 i równanie charakterystyczne redukuje się do postaci:

cosφ = −1 (9.85), z czego wynika obciążenie krytyczne:

√ M0,cr = ± EIzGJ π (9.86) L.

Z Rysunku 9.9 widać, że obciążenie krytyczne M0,cr dla momentu ST, niezależnie od kąta nachylenia α (między dwoma członami), jest około dwa razy większe niż te przewidywane dla momentów QT-1 i QT-2.

Przypadek 2 – Równe sztywności dla skręcania i zginania: Dla tego przypadku (λ = μ), równanie (9.84) redukuje się do:

cos[(1 + β)φ] = −1 (9.87), z czego wynika obciążenie krytyczne:

√ M0,cr = ± EIzGJ π (9.88) (1 + β)L.

Jest to dwa razy większe niż wynik podany w równaniu (9.73).

Przypadek 3 – Taka sama długość dla członów 1 i 2: Zakładając, że człony 1 i 2 mają tę samą długość, czyli β = 1, obciążenia krytyczne wynoszą:

√ M0,cr = ± EIzGJ π{ sin−1 L } × [ 1 ] ( 1 + (GJ/EIz + EIz/GJ − 2) sin2 9.89).

Jak widać na Rysunku 9.10, w przypadku momentu ST, rama ulega wyboczeniu przy obciążeniu krytycznym wyraźnie wyższym niż te dla momentów QT-1 i QT-2 dla ramy o tym samym kącie nachylenia α.

Analiza trzeciej ramy na Rysunku 9.6 wykazuje, że obciążenie krytyczne dla ramy poddanej wyboczeniu bocznemu zależy w dużym stopniu od sposobu, w jaki momenty są przyłożone. Oznacza to, że dla ram poddanych obciążeniom typu moment, należy szczególnie uwzględnić sposób przyłożenia momentów przy obliczaniu obciążeń krytycznych.

Kluczowym etapem analizy wyboczenia bocznego ram płaskich jest ustalenie wszystkich zależności kinematycznych i statycznych w konfiguracji wyboczeniowej, w tym szczególnie warunków równowagi dla węzłów konstrukcyjnych, naturalnych warunków brzegowych oraz równań różniczkowych rządzących. Podczas tego procesu należy również odpowiednio uwzględnić właściwości momentów węzłowych i momentów skręcających przechodzących przez trzy wymiary obrotu.

Ważne jest, aby zrozumieć, że przy analizie obciążeń krytycznych ram płaskich, należy uwzględnić nie tylko same obciążenia zewnętrzne, ale również właściwości materiału oraz kinematyczne aspekty skręcania i zginania. Każdy szczegół, taki jak długość członów, różnice w sztywnościach czy kąt nachylenia, ma ogromny wpływ na wyniki analizy. Również zastosowanie różnych typów momentów (np. ST, QT-1, QT-2) wymaga staranności w doborze metod analitycznych i rozwiązań równań, aby uzyskać precyzyjne prognozy zachowań strukturalnych w praktyce.

Jak obliczać obrót naturalny w ramach przestrzennych przy uwzględnieniu obrotów skończonych?

W kontekście obliczeń struktur przestrzennych, szczególnie przy uwzględnianiu obrotów skończonych, kluczowe znaczenie mają odpowiednie definicje i wyrażenia pozwalające na dokładne modelowanie geometrii i jej zmian w wyniku obciążeń. Jednym z istotniejszych zagadnień jest obliczanie długości elementów przestrzennych, która jest wyrażona jako:

1L=(1X2b−21X1a)+(1YbYa)\sqrt{1L} = (1X_2 b - 2 1X_1 a) + (1Yb Ya)