Hvordan Termiske og Disipative Effekter Påvirker Ferromagnetiske Materialer

I teorien om ferromagnetoelastiske materialer er det avgjørende å inkludere både termiske og dissipative effekter, som har betydelig innvirkning på de mekaniske og magnetiske egenskapene. Dette gjelder spesielt for materialer med både elastiske og magnetiske egenskaper, som i tilfeller med rigid ferromagnetisme og elastisk ferromagnetisme, der termiske effekter spiller en betydelig rolle. I denne delen undersøkes hvordan de termiske og dissipative prosessene kan modelleres og deres innvirkning på materialenes oppførsel.

I tillegg til energibalanseuttrykket må vi innføre de termodynamiske betingelsene som er nødvendige for å beskrive systemets oppførsel, for eksempel den andre loven i termodynamikk som sikrer at entropien aldri kan minke i et isolert system. Dette gir oss uttrykket for den termodynamiske uligevekten, som kan skrives som:

hvor $\eta$ er entropitet per enhet masse, og $\mathbf{q}$ er varmefluksen. Denne ulikheten sikrer at systemet følger de termodynamiske prinsippene om dissipasjon, som sier at energitap aldri kan være negativt.

De dissipative effektene, som representerer de irreversible prosessene i systemet, er viktige i beskrivelser av ferromagnetiske materialer under dynamiske forhold. Når dissipasjon er tilstede, vil materialet vise en dempende effekt på magnetiseringen. Denne dempingen kan beskrives ved hjelp av Landau-Lifshitz-Gilbert-ligningen, som tar hensyn til både precessjon og dissipasjon av magnetisering. Ligningen kan skrives som:

hvor $\gamma$ er gyromagnetisk forhold, $\mathbf{B}_{\text{eff}}$ er den effektive magnetiske induksjonen, og $\beta$ er en dempningskoeffisient som beskriver de dissipative effektene. Den siste termen i denne ligningen representerer den dissipative effekten som forårsaker at magnetiseringen sakte mister energi og tilpasser seg ytre felt.

Når dissipative effekter er tilstede, vil den magnetiske responsen på et ekstern felt være annerledes enn i et ideelt, ikke-dissipativt system. Dette kan føre til en langsommere dynamikk i systemet, der magnetiseringen ikke bare reagerer på feltet, men også opplever energitap som følge av friksjon i materialet. Denne effekten er spesielt relevant for ferromagnetiske materialer som brukes i teknologiske applikasjoner, som motorer og sensorer, der dissipasjon kan påvirke ytelsen over tid.

For å konkludere, er det avgjørende å inkludere både termiske og dissipative effekter i de teoretiske modellene for ferromagnetiske materialer. Ved å gjøre dette kan vi få en mer realistisk beskrivelse av hvordan materialene oppfører seg under dynamiske forhold, og vi kan forutsi ytelsen deres mer nøyaktig. Dette er spesielt viktig for anvendelser hvor både magnetisme og elastisitet er kritiske, som i sensorer, motorer og andre elektroniske komponenter.

Hvordan mekaniske laster påvirker ferromagnetoelastiske materialer i statiske problemstillinger

I studiet av ferromagnetoelastiske materialer er forståelsen av hvordan mekaniske laster påvirker de magnetoelastiske egenskapene avgjørende. Disse materialene viser en kompleks interaksjon mellom mekaniske og magnetiske felt, spesielt når de utsettes for ytre påkjenninger som forårsaker både mekanisk deformasjon og endringer i magnetiseringen. I denne konteksten ser vi på statiske problemer som involverer mekaniske laster på ferromagnetoelastiske plater, og hvordan disse lastene påvirker magnetiseringsfeltet, spesielt nær lastområdene.

Tenk deg en plate, for eksempel en yttrium-jern-garnet (YIG) plate, der en mekanisk last påføres et spesifikt område. Dette området kan beskrives ved et rektangulært område innenfor koordinatene 0 < x1 < a og 0 < x2 < b. Den mekaniske belastningen, f3, er konstant i et lite rektangulært område sentrert rundt punktet (x0, y0), og utenfor dette området er f3 = 0. Slike oppsett er representativt for praktiske anvendelser der lokale laster i form av trykk eller strekk på spesifikke områder kan føre til endringer i både mekanisk respons og magnetisering.

Når en mekanisk belastning påføres et ferromagnetoelastisk materiale som YIG, vil det føre til en endring i magnetiseringen, både i form av et skifte i magnetfeltet og en deformasjonsindusert magnetisering. For statiske problemer, som beskrevet i de relevante ligningene, reduseres systemet til flere koplede differensialligninger for forskyvningen, magnetisk potensial og magnetiseringens komponenter.

For eksempel, i tilfellet av en plate, kan forskyvningen u3 uttrykkes gjennom en differensialligning som involverer både mekaniske og magnetiske krefter. I tillegg vil magnetfeltet hL og magnetiseringens komponenter m1 og m2 påvirkes av den mekaniske påkjenningen, og de to effektene vil samhandle på en måte som er karakteristisk for ferromagnetoelastiske materialer. Dette fører til en spesifikk fordeling av magnetiseringen som er avhengig av plasseringen av lasten.

Distribusjonen av magnetiseringen m1 og m2 vil være stor nær det lastede området og avta med avstanden fra midten. Dette mønsteret er viktig for å forstå hvordan materialet reagerer på mekaniske belastninger og hvordan magnetiske felter distribueres i strukturen. Dette fenomenet er relatert til skjærspenningene i materialet, og de nødvendige ligningene kan brukes til å modellere hvordan disse spenningene påvirker de magnetoelastiske egenskapene i materialet.

Videre er det essensielt å merke seg at materialets magnetostriktive egenskaper spiller en avgjørende rolle i hvordan det reagerer på mekaniske laster. Selv om YIG i sin naturlige tilstand er ikke-piezomagnetisk, gjør de magnetostriktive egenskapene som bestemmes av konstanten b44 at YIG oppfører seg som et piezomagnetisk materiale under et magnetisk felt. Dette gjør det mulig for materialet å endre sin magnetisering i respons på mekaniske deformasjoner, noe som er avgjørende for forståelsen av både de mekaniske og magnetiske fenomenene som oppstår i slike materialer.

Men det er ikke bare de mekaniske og magnetiske effektene som spiller en rolle. For å virkelig forstå materialenes oppførsel, er det nødvendig å inkludere de elektriske og magnetiske interaksjonene på mikroskopisk nivå. Dette gir innsikt i hvordan små endringer i materialets struktur kan føre til store endringer i dets samlede magnetoelastiske respons.

For videre forståelse er det viktig å merke seg at ferromagnetoelastiske materialer også reagerer på variasjoner i temperatur og eksterne magnetiske felt, noe som kan endre både deres mekaniske og magnetiske egenskaper. For eksempel kan temperaturforandringer føre til endringer i magnetiseringsmønstrene, og ekstern magnetisering kan forsterke eller svekke den induserte magnetiseringen i materialet, avhengig av materialets orientering og strukturelle sammensetning.

Hva er betydningen av høyere ordens elastisitet i materialer med svak ikke-linearitet?

I teorien for høyere ordens elastisitet, særlig tredjeordens teori, tas effekten av alle ledd som involverer opp til tredje grad av forskyvningsgradienter med i betraktningen. Dette innebærer at de constitutive relasjonene ikke lenger bare avhenger av første ordens gradienter, men også av produkter av gradientene og høyere ordens termer. En vanlig representasjon av intern energitetthet (ε) for ikke-lineære elastiske materialer inkluderer flere termer som er ansvarlige for materialets respons på ekstern påkjenning.

Formelen for den interne energitettheten inkluderer materialkonstanter som beskriver den lineære oppførselen (c²ABCD) samt høyere ordens termer som beskriver den ikke-lineære oppførselen. For eksempel, i tredjeordens teori blir termer som c³ABCDEF og c⁴ABCDEFGH viktige for å forstå hvordan materialet vil deformeres under større belastninger. Disse høyere ordens materialkonstantene er særlig relevante når materialet opplever store deformasjoner, eller når belastningen på materialet ikke kan beskrives tilstrekkelig med kun lineære begreper.

Når vi arbeider med slike materialer, kan vi ikke lenger anta at responsen er proporsjonal med påkjenningen (som i lineær elastisitet). I stedet må vi bruke modeller som tar hensyn til de ikke-lineære effektene, for eksempel i form av endringer i elastisitetens koeffisienter som følge av materialets deformasjon.

Videre må vi også forstå hvordan disse elastiske egenskapene varierer avhengig av materialets symmetri. For eksempel, en isotropisk materiale vil ha en annen oppførsel sammenlignet med et anisotropisk materiale, som for eksempel en krystall med trigonal symmetri. I sistnevnte tilfelle kan materialets elastiske egenskaper være mer komplekse og kreve en mer detaljerte analyse.

En viktig del av analysen i slike materialer er den varianten av bevegelseslikningene som blir relevante når høyere ordens elastisitetsteorier tas i bruk. Dette innebærer at det er nødvendig å inkludere nye vilkår for de elastiske komponentene som tar hensyn til de høyere ordens deformasjonene. For slike materialer kan vi ikke lenger bruke de vanlige, forenklede bevegelseslikningene som gjelder for lineære materialer. I stedet må vi implementere en tilnærming der variasjonene i energi, påkjenning og deformasjon inkluderes på en mer omfattende måte.

Materialet som beskrives her kan vise seg å være særlig viktig i bruksområder som involverer svært små eller svært store deformasjoner, som for eksempel i ferromagnetoelastiske materialer, hvor både magnetiske og elastiske egenskaper spiller inn. Når disse materialene kombinerer både elastiske og magnetiske effekter, får man en kompleks vekselvirkning mellom de to, som krever en dypere forståelse av hvordan de ikke-lineære effektene påvirker materialets respons under forskjellige forhold.

For å konvertere til lineær elastisitet, antar man at de elastiske gradientene er små, og at man kan neglisjere høyere ordens effekter. Dette kan være tilstrekkelig i situasjoner med små deformasjoner, som i de fleste praktiske ingeniørapplikasjoner. Men når deformasjonene blir større eller når materialet er utsatt for ekstreme påkjenninger, blir ikke-lineære effekter viktige. For eksempel, i høyere ordens teori blir materialkonstantene som representerer de mekaniske responsene på store påkjenninger vesentlig viktigere, og en detaljert forståelse av disse er nødvendig for korrekt modellering.

Det er viktig å merke seg at for isotrope materialer med kun to uavhengige materialkonstanter, kan man redusere det elastiske forholdet til en enklere form. Når det gjelder anisotrope materialer, spesielt de som kan representeres ved krystallinske strukturer som for eksempel en trigonal krystallklasse, vil det være nødvendig med en mer omfattende beskrivelse av elastiske stivheter, inkludert et 6x6-matriseforhold som representerer materialets respons på belastninger langs forskjellige aksiale retninger.

I dette sammenheng er det viktig å ha en grundig forståelse av både de lineære og ikke-lineære teoriene for elastisitet. For praktiske anvendelser, der materialer utsettes for store deformasjonsforhold, kan det å bruke høyere ordens teorier være avgjørende for å oppnå nøyaktige prediksjoner av materialets oppførsel under belastning.

Hvordan analysere elastiske materialer og электромагнитизм i cylindriske koordinater

I sylindriske koordinater har vi følgende relasjoner for belastning og forskyvning:

Bevegelseslikningene får følgende form:

Gradienten av et skalarfelt $\psi$ er gitt ved:

Divergensen av et vektorfelt $B$ er:

Laplace-operatoren på et skalarfelt $\psi$ er:

Elektromagnetisme

Dette kapitlet presenterer grunnleggende konsepter innen klassisk elektrisitet og magnetisme, med vekt på elektromagnetiske felt i vakuum eller stasjonære og stive materialer uten deformasjon. Vi bruker det internasjonale systemet (SI) for enheter.

Elektrostatikk i vakuum

I henhold til Coulombs lov mellom to punktladninger, $Q$ og $Q'$, er kraften $F$ og det elektriske feltet $E$ på $Q'$ ved en posisjon $r$ fra $Q$ gitt ved:

Divergensen av det elektriske feltet $E$ er relatert til ladningstettheten $\rho_t$ som følger:

Ved hjelp av superposisjon kan vi uttrykke det elektriske feltet som:

Dielektriske materialer

Den makroskopiske polariseringen kan beskrives ved vektoren $\mathbf{P}$, og vi kan definere den elektriske displasjonsvektoren $D$ som:

For et lineært dielektrikum vil polariseringen være proporsjonal med det elektriske feltet:

Ledende materialer

I ledere finnes det både bundne ladninger som er festet til gitteret og frie elektroner som kan bevege seg fritt gjennom gitteret. Når en leder utsettes for et elektrisk felt, vil de frie elektronene bevege seg og danne strømmer og ladningsfordelinger.

For ledende materialer er det elektriske feltet relatert til potensialet ved:

Strømforholdet i en leder beskrives ved Ohms lov:

hvor $\sigma$ er lederens elektriske konduktivitet. Kontinuitetsligningen for ladning blir:

Viktige tilleggspunkt

For å forstå de forskjellige elektromagnetiske fenomenene bedre, er det essensielt å merke seg at elektromagnetismen bygger på forholdet mellom elektriske og magnetiske felt, og at disse feltene kan påvirke og bli påvirket av ladninger og strømmer. Videre er det viktig å være oppmerksom på hvordan ulike materialers egenskaper (dielectrisitet, konduktivitet, magnetisme) kan endre feltstrukturen og dermed påvirke systemets oppførsel.