Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
En *-algebra som også er en topologisk algebra, kalles en topologisk *-algebra hvis involusjonen er en kontinuerlig funksjon. Det kan ofte være praktisk å legge til en enhet i en algebra som ikke allerede har det. Denne utvidelsen skjer ved å konstruere den direkte summen , der er den opprinnelige algebraen. På denne lineære mengden defineres et produkt slik at , og identiteten blir . Dersom i utgangspunktet er en topologisk algebra, utstyres med direkte summetopologi, som gir en enhetlig topologisk algebra. En ulempe er at hvis allerede har en enhet, kan ikke denne identifiseres med i .
Det er vanlig å referere til topologiske algebraklasser etter typen topologisk vektorrom de tilhører, som for eksempel lokalt konvekse algebrer eller Banachalgebrer. Mange resultater gjelder både for topologiske algebrer og topologiske *-algebrer, og vi bruker derfor fellesbegrepet *-algebra. Homomorfier og isomorfier skilles mellom algebraiske og topologiske, der de topologiske også er kontinuerlige eller bikontinuerlige lineære avbildninger.
Innen algebra er det sentralt å forstå grunnleggende delstrukturer som venstre, høyre og tosidige idealer, samt delalgebrer. Innen topologiske algebrer har vi tilsvarende begreper for lukkede idealer og delalgebrer. En lukket delalgebra er både en delalgebra og et lukket lineært underrum. Lukningen av en delalgebra eller et ideal gir en lukket delalgebra eller lukket ideal. Det er viktig å merke at fullføring av en topologisk algebra ikke nødvendigvis er en algebra eller topologisk algebra, noe som for eksempel gjelder for polynomalgebrer under punktvis multiplikasjon.
I en *-algebra sier vi at et delsett er stabilt under involusjon eller *-symmetrisk hvis for alle også . En *-homomorfi er en homomorfi hvor kjernen er et *-ideal, og bildet arver naturlige topologiske egenskaper dersom homomorfien er kontinuerlig og åpen.
Et eksempel på en abelsk enhets *-algebra er funksjonsalgebraen for en vilkårlig ikke-tom mengde , med punktvise operasjoner og identitetsfunksjonen som konstant 1. Denne algebraen har imidlertid vanligvis ingen naturlig topologi, og derfor er det viktig å studere mer brukte delalgebrer som for eksempel LF-rommet av glatte funksjoner med kompakt støtte, som er en nukleær, ikke-metriserbar LF *-algebra. Denne topologiske strukturen er viktig i analyse, og benytter seg av en strengt induktiv grense av Fréchet-rom med kompakte støtter.
Den mest generelle klassen av topologiske *-algebraer som ofte studeres, er lokalt konvekse *-algebraer, der morfismene er kontinuerlige *-algebra-homomorfier. I denne kategorien bevares de grunnleggende algebraiske delstrukturene under topologisk lukning, og klassen er stabil under adjungering av en enhet. Selv om det ikke finnes en generell sammenheng mellom produktet og topologien i alle tilfeller, finnes flere viktige resultater. For eksempel er produktet i en barreld topologisk *-algebra hypokontinuerlig, hvilket betyr at for enhver begrenset mengde og kontinuerlig seminorm finnes en annen seminorm som kontrollerer produktet. Videre er produktet i Baire-metriserbare algebrer, som Fréchet-algebrer, sammenhengende kontinuerlig. Dersom produktet er sammenhengende kontinuerlig i en lokalt konveks algebra, beholder fullføringen denne egenskapen.
Et lukket fatset (barrel) som er absolutt konveks, lukket og absorberende, kan karakteriseres ved en seminorm som er submultiplikativ, og slike fatser er idempotente. Dette gir et verktøy for å analysere topologien på algebrer hvor produktet oppfører seg godt nok i forhold til topologien.
Generelt er produktet i topologiske algebrer som regel bare separat kontinuerlig, og ikke nødvendigvis sammenhengende kontinuerlig. Egenskapen å være barreld er derimot vanlig i praktiske anvendelser, og da får man hypokontinuitet. Likevel finnes det viktige unntak, som i algebraen for observabler i kvantemekanikk, der denne egenskapen ikke gjelder.
Det finnes mange interessante underklasser av lokalt konvekse algebrer, som kjennetegnes ved sterkere krav til produktets sammenhengende kontinuitet eller submultiplikative seminormer, og disse studeres for både matematiske og anvendte formål.
Det er essensielt å forstå at topologiske *-algebraer kombinerer algebraiske strukturer med topologiske egenskaper, og at kontinuitet og topologisk lukning påvirker hvordan delstrukturer oppfører seg. Samtidig er muligheten til å legge til en enhet sentral for å kunne arbeide med mange typer funksjoner og operasjoner. Kjennskap til kontinuitetsbegreper som separat og samlet kontinuitet, samt submultiplikative seminormer, er avgjørende for videre studie og anvendelse av slike algebraer innen funksjonalanalyse og kvantemekanikk.
Hva innebærer en kvantemåling og hvordan forstås sammenbruddet av kvantetilstander?
Måling i kvantemekanikk representerer en unik prosess hvor vi observerer variable egenskaper ved et system, slik som posisjon, momentum eller energi. Disse egenskapene måles uavhengig av andre parametere som er faste på forhånd, for eksempel masse eller ladning. Måleinstrumentet, som gjennomfører selve målingen, må tilfredsstille visse krav for at prosessen skal være i samsvar med vår grunnleggende forståelse av hva en måling er. For det første må instrumentet kunne registrere resultatet permanent, som for eksempel en fremkalt fotografi av et partikkelspor. For det andre må instrumentet ha en makroskopisk størrelse; en kollisjon mellom to partikler er et fysisk hendelsesforløp, men ikke i seg selv en måling. Det er først når en slik hendelse blir registrert via et instrument, som en fotografi, at vi har en måling.
Instrumentet må altså omforme kvantemekaniske tilstander til klassiske observasjoner, noe som ofte modelleres ved at instrumentet har en tilstand som fungerer som en klassisk peker, og dette krever en kompleks og omfattende beskrivelse. Flere modeller av slike instrumenter er utviklet, blant annet von Neumanns idealinstrument, hvor instrumentet beskrives som en kvanteoperator på et Hilbert-rom, og Hepps modell, som viser hvordan instrumentets makroskopiske natur, gjennom et uendelig antall frihetsgrader, kan gi opphav til klassisk oppførsel utledet fra kvantemekanikken.
I denne sammenhengen kalles systemet under observasjon sammen med instrumentet for "universet," og utviklingen av dette universet skjer ifølge en enhetsgruppe bestemt av en universell Hamilton-operator. Det interessante ligger i projeksjonen av denne utviklingen ned på subsystemene — systemet og instrumentet hver for seg. Den klassiske oppfatningen er at en måling innebærer en plutselig og irreversibel overgang fra en enhetsutviklet kvantetilstand til en klassisk-lignende tilstand for instrumentet, og til en egen tilstand (egenvektor) for systemet. Denne overgangen kalles kollaps av tilstanden, og er selve kjernen i kontroversen rundt kvantemåling: Hva er mekanismen bak denne brå og uforutsigbare overgangen? Mens dette spørsmålet fortsatt er åpent, har Hepps arbeid bidratt med en viktig innsikt: Denne reduksjonen fra kvantemekanisk sannsynlighetslov til klassisk sannsynlighet kan skje uten at bevissthet eller et ytre fenomen er involvert.
Når en individuell måling utføres, fungerer instrumentet som et filter for observabelens egenprojeksjoner, og den målte verdien er en av instrumentets egenverdier. Utfallet av en måling er iboende usikkert, og det er ikke mulig på forhånd å forutsi hvilken egenverdi som vil registreres. Dette elementet av prediksjonsusikkerhet har vært et viktig tema i debatten om kvantemekanikkens fullstendighet, hvor blant annet Einstein uttrykte skepsis.
Antagelsen om at det finnes ideelle instrumenter, som gir eksakte egenverdilese og sender ut uforstyrrede egenfunksjoner, innebærer at hvis man umiddelbart gjentar målingen, vil samme resultat og samme tilstand oppstå. Denne egenskapen kalles streng repeterbarhet. Den har også en praktisk konsekvens, kalt tilstandspreparasjon: Ved å måle gjentatte ganger med et instrument designet for en gitt egenvektor, kan man "forberede" et system i en ønsket ren kvantetilstand.
Ved statistiske målinger, hvor mange individuelle målinger analyseres samlet, opptrer sannsynlighetene for overganger fra den opprinnelige tilstanden til de målte egenstatene, som det eneste aspektet hvor den opprinnelige tilstanden spiller en rolle. I mer avanserte algebraiske modeller av kvantemåling viser det seg imidlertid at for de fleste observabler finnes ikke ideelle instrumenter, og dermed er ikke streng repeterbarhet alltid mulig. Det er ofte bare delvis spektralinformasjon tilgjengelig fra statistiske målinger.
Viktige aspekter ved kvantemåling inkluderer derfor instrumentets rolle som en bro mellom kvante- og klassisk beskrivelse, usikkerheten i utfallet av en måling, og de fundamentale begrensningene i hva slags informasjon som kan innhentes om et kvantesystem. Måleinstrumentets makroskopiske natur og interaksjonen med systemet er nøkkelen til forståelsen av hvorfor og hvordan kollapsen oppstår, selv om årsaken til overgangen fra enhetsutvikling til kollaps forblir uløst. Kvantemekanikkens formaliserte tilnærming til måling beskriver prosessen matematisk, men åpner samtidig for videre utforskning av det grenselandet mellom det kvantemekaniske og det klassiske som fortsatt byr på utfordringer og paradokser.
Hva karakteriserer strukturen til en tellelig Hilbert-romfamilie og deres normer?
Innen funksjonalanalyse, spesielt i studiet av tellelige Hilbert-rom, spiller normer en sentral rolle for å forstå rommenes struktur og sammenhenger. En subfamilie av like-indekserte normer definerer et system der hver norm i familien kan domineres av en norm med et jevnt indeks, og omvendt. Denne vekselvise dominansen følger direkte fra grunnleggende likninger som etablerer normenes relative styrke.
Den sentrale struktursatsen for slike rom viser at de utgjør tellelige Hilbert-rom bestemt av en nummeroperator . Dette innebærer at rommet kan fullføres med hensyn til , hvor hvert fullførte rom er et Hilbert-rom, og hele familien danner et topologisk system kjent som et tellelig Hilbert-rom i Gelfand-Vilenkin’s forstand. Denne struktur gjør at man kan benytte metoder og teorier fra både Hilbert-rom og topologiske vektorrom samtidig.
Innen algebraisk struktur arbeides det med *-algebraen av polynomer med komplekse koeffisienter i frie hermittiske variable. Ved å formelt erstatte variable med operatorer på et Hilbert-rom, dannes en algebra av operatorpolynomer. Vektorer som ligger i domenet til alle slike polynomer, betegnes som «glatte» vektorer i forhold til familieoperatorene. Disse er stabile under operatorpolynomer, noe som gir en robust struktur til funksjonsrommet .
En viktig egenskap ved denne familien er at standardinjeksjonen mellom rommene er kjerneoperatorer, noe som gjør at topologien i familien har en kjerne-nukleær struktur, som igjen sikrer gode kompakthetsegenskaper. Disse trekkene lar en også etablere riggede Hilbert-rom (tripler) hvor det indre rommet er tett og kontinuerlig innskrevet i et større Hilbert-rom.
Karakteriseringen av begrensede mengder i disse rommene er nøye utforsket. En mengde er begrenset hvis det finnes en indeksavhengig konstant som begrenser normene for alle elementer i mengden. Spesielt finnes en total familie av begrensede mengder som dekker alle andre begrensede mengder. Denne familien konstrueres ved hjelp av positive sekvenser med en bestemt ordning, der størrelsen på hvert element i sekvensen har kontrollert vekst i forhold til indekseringen. Denne eksplisitte beskrivelsen forenkler håndtering og analyse av begrensede mengder betydelig, selv om ordningsproblemer kan oppstå når systemer kombineres.
Ved å studere disse rommene og normene i sammenheng med kontinuerlige representasjoner av kanoniske kommutasjonsrelasjoner (CCR), blir det tydelig at slike strukturer ikke bare er veldefinerte, men også unike i en presis matematisk forstand. Representasjonene som bæres av de fullførte rommene og deres utvidelser, fremstår som minimale eller maksimale i forhold til deres topologiske og algebraiske egenskaper.
Det er vesentlig å forstå at strukturen til tellelige Hilbert-rom og deres normfamilier ikke bare er en abstrakt matematisk konstruksjon, men også har dyp betydning i kvantemekanikk og operatorteori. Nummeroperatoren , som definerer rommets struktur, gir et naturlig rammeverk for å betrakte kvantetilstander og observabler, og de nukleære injeksjonene sikrer ønskede analytiske egenskaper som gjør det mulig å behandle uendelig-dimensjonale problemstillinger på en kontrollerbar måte.
Videre innebærer begrepet «glatte» vektorer at man kan operere med et algebraisk rikt sett av elementer som oppfyller høye grad av regularitet, noe som er avgjørende for både teoretiske utledninger og praktiske beregninger. Begrensede mengder og deres totale familie er ikke bare tekniske detaljer, men gir et konkret redskap for å forstå hvordan ulike delmengder i rommet oppfører seg og relaterer til hverandre.
Det er også viktig å være bevisst på at selv om enkelte egenskaper kan fremstå som abstrakte, som ordningen på multi-indekser, vil slike detaljer spille en betydelig rolle i mer komplekse systemer, særlig når man kombinerer flere uavhengige operatorfamilier eller dimensjoner.
Endelig gir disse resultatene et fundament for videre studier i kvantemekanikkens matematikk, spesielt i forståelsen av uendelig-dimensjonale Hilbert-rom, representasjonsteori for operatoralgebraer, og strukturen til kvantetilstander. Det styrker innsikten i hvordan komplekse algebraiske og topologiske egenskaper samvirker i moderne matematisk fysikk.