Hvordan fordeles skjærspenninger i tynnveggede sirkulære tverrsnitt og hvor befinner skjæringssenteret seg?

Ved analyse av bjelker med tynnveggede sirkulære ringtverrsnitt er det avgjørende å forstå hvordan skjærspenningene τₓ𝓏(ϕ) fordeles som funksjon av vinkelen ϕ langs periferien av tverrsnittet, under påvirkning av en skjærkraft Q𝓏. I en slik geometri med gjennomsnittlig radius R og konstant veggtykkelse t (t ≪ R), kan det forutsettes at skjærspenningene kun virker tangensielt i snittets plan, altså i skjærretningen τₓ𝓏, uten vesentlig normalspenning gjennom veggtykkelsen.

I tilfeller hvor det sirkulære ringtverrsnittet har et langsgående spor (slotted section), brytes symmetrien. Sporet gjør at tverrsnittet ikke lenger kan motstå lukket skjærtorsjon uten deformasjon, og det oppstår en konsentrert forstyrrelse i skjærspenningsfeltet nær åpningen. I slike konfigurasjoner må man ta hensyn til frie kanter hvor skjærspenningen nødvendigvis er null, og fordelingen tilpasses deretter. Her vil en betydelig del av skjærkraften bli overført via områdene nær sporets kanter, hvor konsentrasjoner av spenning og deformasjon kan oppstå. Dette fører til en sterkt asymmetrisk fordeling av τₓ𝓏(ϕ), som i praksis ofte behandles numerisk, f.eks. med finitte elementmetoder.

Ved betrakting av en fritt opplagt bjelke med konsentrert last i enden (kragarm med punktlast F𝓏), forårsaker den vertikale kraften et skjærspenningsfelt som, for ringtverrsnittet, kan analyseres ved hjelp av klassisk bjelketeori utvidet for tynnveggede, lukket- eller åpnede profiler. I beregningen må det tas hensyn til både direkte skjærkraft og eventuell torsjon som følge av lastens plassering utenfor skjæringssenteret.

Skjærspenningene i slike tverrsnitt er knyttet til skjærdeformasjon gjennom Hookes lov for skjær: γ = τ / G, der γ er skjærvinkelen og G skjærmodulen. I rene skjærtilfeller vil tverrsnittet deformeres slik at opprinnelige rette vinkler mellom akser endres, noe som resulterer i en rhombisk form lokalt. Denne endringen er beskrevet analytisk i Timoshenko-bjelketeorien, som til forskjell fra klassisk Euler–Bernoulli-teori tar hensyn til skjærdeformasjoner i tillegg til bøyning.

Det er viktig å merke seg at skjærspenningsfordelingen ikke er konstant over tverrsnittet, men følger en bestemt funksjonsform – ofte parabolsk for massive tverrsnitt og mer kompleks for tynnveggede profiler. Det innebærer at både maksimalspenninger og s

Hvordan beskrives bøyeteori i høyere ordens bjelketeorier?

I studiet av bjelkers oppførsel under belastning har flere teoretiske tilnærminger blitt utviklet for å beskrive deformasjon og spenninger nøyaktig, særlig i tverrplanene til bjelken. Den klassiske Euler–Bernoulli-teorien forutsetter at tverrsnitt som er normale på den nøytrale fiberen før bøyning, forblir plane og normale etter deformasjon. Dette betyr at skjærdeformasjonene ignoreres, noe som gir en forenklet modell egnet for tynne og lange bjelker, men som ikke alltid gir presise resultater for kortere eller tykkere bjelker.

Timoshenko-teorien introduserer derimot effekten av skjærdeformasjon ved å anta at tverrsnittene ikke nødvendigvis forblir normale til den nøytrale fiberen etter deformasjon. Her forblir tverrsnittet fortsatt plan, men det roteres slik at skjærkraftenes innvirkning på tverrsnittets rotasjon inkluderes. Dette gir et mer realistisk bilde av bjelkens oppførsel, spesielt når skjærspenninger er betydelige.

Videre utvides modellen i høyere ordens teorier ved å inkludere flere ledd i beskrivelsen av tverrsnittets deformasjon. For eksempel introduserer andreordens skjærdeformasjonsteori (Second-order Shear Deformation Theory, SSDT) kvadratiske termer i forskyvningsfeltet, noe som gjør at det deformerte tverrsnittet ikke lenger er helt plant eller vinkelrett på den nøytrale fiberen. Funksjonene som beskriver rotasjon og krumning, slik som φ(x) og ψ(x), fanger opp denne mer komplekse geometrien.

Den tredjeordens skjærdeformasjonsteorien (Third-order Shear Deformation Theory, TSDT) bygger videre på dette ved å inkludere kubiske termer i uttrykkene for forskyvning, noe som muliggjør en enda mer detaljert beskrivelse av tverrsnittets deformasjon. En klassisk formulering innenfor denne teorien er Levinsons modell, hvor forskyvningene i planet uttrykkes som en kombinasjon av lineære, kvadratiske og kubiske funksjoner av den tverrgående koordinaten.

Konstitutive relasjoner knytter spenning og strain gjennom materialets elastisitetsmoduler, hvor den normale spenningen σ_x relateres til normaldeformasjonen ε_x via Youngs modul E, og skjærspenningen τ_xy til skjærdeformasjonen γ_xy via skjærmodulen G. Ved å integrere disse uttrykkene over tverrsnittet oppnås relasjoner for det indre bøyemomentet M_z og skjærkraften Q_y. Disse kobles videre sammen i partielle differensialligninger som styrer bjelkens oppførsel.

Equilibrium-betingelsene som sikrer likevekt mellom krefter og momenter er bevart i høyere ordens teorier, men kompleksiteten øker da forskyvningene og rotasjonene ikke lenger kan beskrives ved enkle lineære uttrykk. Systemet av differensialligninger som oppstår, inneholder flere ukjente funksjoner, og krever avanserte matematiske metoder for løsning.

Disse høyere ordens bjelketeoriene gir dermed en langt mer nyansert og presis forståelse av bjelkers mekaniske respons under belastning, spesielt i situasjoner hvor skjærkrefter og tverrsnittets deformasjon spiller en kritisk rolle.

Det er viktig å forstå at mens klassiske teorier gir nyttige forenklinger for mange praktiske tilfeller, krever analyser med høyere orden nøyaktighet i beskrivelser av skjær- og bøyemekanismer, særlig for tykkere og kortere bjelker, eller når material- og geometrieffekter gjør skjærdeformasjon betydelig. Leseren bør være oppmerksom på at disse teoriene ikke bare utvider uttrykkene for forskyvning, men også endrer grunnleggende forutsetninger om bjelkens tverrsnitt og hvordan det deformeres, noe som kan påvirke både design og analyse av bjelkekonstruksjoner i praksis.