Hvordan Bestemme Strekking og Deformasjon i Bjelker: En Analyse av Elastoplastisk Bøying og Tøyning

Bøying av bjelker og elastoplastisk deformasjon er viktige aspekter ved strukturell analyse, spesielt når man jobber med materialer som kan gjennomgå plastisk deformasjon under belastning. I dette kapittelet skal vi utforske den matematiske beskrivelsen av bøyning i bjelker, inkludert både elastiske og elastoplastiske områder. Analysen benytter seg av tre grunnleggende mekanikklover: kinematiske forhold, konstitutiv lov og likevektslikninger, for å derivere de partielle differensiallikningene som beskriver problemet. Teoriene som behandles er blant annet Euler-Bernoulli, Timoshenko og høyereordens bjelketeorier.

Bjelken er en lang, prismatisk kropp, som i figur 4.1a er vist med et sett av grensetilstander og pålagte krefter. Når man utfører analysen, er det visse forenklinger som blir gjort: bjelken er rett, ingen forlengelse langs x-aksen skjer, ingen vridning rundt x-aksen, deformasjoner skjer i ett plan (symmetrisk bøyning), og små deformasjoner antas. Eksterne laster som vurderes i dette kapittelet inkluderer enslige krefter Fy, enslige moment Mz, fordelte laster qy(x), og fordelte momenter mz(x).

I klassiske bjelkebøyningsteorier skilles det mellom skjærstive og skjærfleksible modeller. En skjærstiv bjelke, også kjent som en Bernoulli-bjelke, neglisjerer skjærdeformasjonen som følge av skjærkrefter. Denne teorien antar at et tverrsnitt, som før deformasjon er vinkelrett på bjelkens akse, forblir vinkelrett i den deformerte tilstanden. Denne antakelsen, kjent som Bernoullis hypotese, innebærer at tverrsnittsplanet er stivt festet til bjelkens midtlinje, slik at enhver endring i midtlinjen påvirker hele deformasjonen. Geometriske dimensjoner av tverrsnittet forblir uendret. For en skjærfleksibel bjelke, også kalt Timoshenko-bjelke, tas skjærdeformasjonen med i beregningen, og tverrsnittsplanene roteres med en vinkel γ i forhold til den opprinnelige posisjonen.

Når det gjelder stressfordelinger i bjelken, vil en Bernoulli-bjelke under rent bøyningsmomentbelastning oppleve en lineær normalspenning fordelt over tverrsnittet. Dette fører til en maksimal strekk på den nederste flaten og en maksimal kompresjon på den øverste flaten, som vist i figur 4.3a. Skjærspenningen på et rektangulært tverrsnitt er parabolsk fordelt, hvor maksimum verdien oppstår på den nøytrale aksen og er null på både den øverste og nederste overflaten, som vist i figur 4.3b.

Videre er det viktig å merke seg at teoriene for bjelkebøyning også har motparter i todimensjonale plater. For eksempel tilsvarer Bernoulli-bjelken den skjærstive Kirchhoff-platen, mens Timoshenko-bjelken tilsvarer den skjærfleksible Reissner-Mindlin-platen. Denne analogien gjør det mulig å bruke bjelketeorier for å analysere plater og andre strukturelle elementer, og gir en mer omfattende forståelse av de underliggende prinsippene.

Når man deriverer kinematikken for bjelkebøyning, vurderer man bjelken som et element som utsettes for et konstant moment, Mz(x) = konstant, som i tilfelle med rent bøyning. Dette fører til en deformasjonsforandring langs bjelkens lengde, som kan beskrives ved hjelp av et koordinatsystem hvor punktets vertikale posisjon, før belastning, er beskrevet av y-koordinaten. Når y = 0, indikerer uy den vertikale forskyvningen som skjer under påvirkning av den eksterne belastningen. Den deformerede midtlinjen beskrives av summen av disse punktene med y = 0, og kalles bøyningslinjen uy(x).

I tilfelle deformasjoner som skjer under rent bøyningsmoment, kan det utledes en differensiallikning som relaterer deformasjonen til den påførte belastningen, som kan brukes til å beregne forlengelse og tøydeffekter langs bjelken.

I elastoplastiske områder, der materialet kan oppleve både elastiske og plastiske deformasjoner, blir analysen mer kompleks. Her kreves det en detaljert forståelse av hvordan materialet reagerer på stress og strain i både elastiske og plastiske områder. Dette innebærer at man må ta høyde for både den elastiske modulen og den plastiske flytegrensen i analysen, og vurdere hvordan disse egenskapene påvirker bjelkens respons på belastning.

Det er også viktig å forstå at elastoplastisk analyse ofte krever iterasjoner og numeriske metoder for å finne løsninger som ikke nødvendigvis kan løses analytisk. Dette gjelder spesielt når man har å gjøre med ikke-lineære materialmodeller og komplekse lastfordelinger.

Hvordan beskrives Timoshenko-bjelkens deformasjon?

Timoshenko-bjelken tar hensyn til både bøyning og skjærdeformasjoner, og gir et mer nøyaktig bilde av bjelkebehov i tilfeller der skjærdeformasjonene er betydelige, som for tykke eller korte bjelker. For en klassisk Euler-Bernoulli-bjelke antas det at tversnittet forblir uforandret under bøyning, og at skjærdeformasjonene er neglisjerbare. Timoshenko-bjelken, derimot, tar hensyn til disse skjærdeformasjonene, noe som gjør teorien mer realistisk, særlig i tilfeller med store skjærspenninger.

I Timoshenko-bjelketeori beskrives bjelkens deformasjon gjennom et system av koblede andreordens differensialligninger. De to ukjente funksjonene i dette systemet er tversnittets defleksjon $u_y(x)$ og rotasjonen av tversnittet $\varphi_z(x)$. Ved å bruke passende randbetingelser for begge funksjonene kan man løse systemet for et spesifikt problem. De viktigste differensialligningene som beskriver Timoshenko-bjelken er som følger:

Differensiering av disse ligningene under hensyntagen til likevektsbetingelser og kinematiske relasjoner gir frem til slutt den skjærdifferensielle ligningen:

En viktig utledning som kan gjøres fra Timoshenko-bjelketeorien, er hvordan maksimal defleksjon kan beregnes. Denne er en sum av de klassiske Bernoulli-defleksjonene og en ekstra komponent som kommer fra skjærdeformasjonene. Når forholdet mellom bjelkens høyde og lengde er stort, blir forskjellen mellom Bernoulli- og Timoshenko-løsningene mindre signifikant. Imidlertid blir forskjellen mer merkbar for bjelker med lavere lengde-høyde-forhold.

I tilfeller der material- og geometriske egenskaper er konstante, kan man gjøre noen forenklinger og bruke ett- og tredobbelt differensierte ligninger som gir løsninger for skjærbare Timoshenko-bjelker. I slike tilfeller, der skjærmodulen $k_s$ er veldig stor, går løsningen mot den klassiske Bernoulli-bjelken, og vi får den enkle bøyningsformelen som er kjent fra eldre teorier.

Det er viktig å merke seg at den analytiske løsningen for defleksjonen kan uttrykkes som en funksjon av tversnittsgeometrien og de ytre belastningene. For eksempel kan defleksjonen $u_y(x)$ i en bjelke med konstant last $q_y$ uttrykkes som en polynomfunksjon av $x$, og løsningen inneholder flere integrasjonskonstanter som bestemmes ut fra randbetingelsene. Gjennom tilpasning av disse konstante verdiene kan man finne spesifikke løsninger for bjelkens oppførsel under forskjellige lastforhold.

Timoshenko-bjelken gir derfor en mer realistisk beskrivelse av bjelkens deformasjoner under et bredt spekter av forhold, spesielt når skjærdeformasjoner er viktige, som i tilfeller med korte eller tykke bjelker. Gjennom den detaljerte formuleringen av differensialligningene og de relevante parametrene kan ingeniører og forskere lage mer presise modeller som reflekterer virkelige forhold mer nøyaktig enn tidligere teorier som Bernoulli-modellen.

Hvordan den Fullstendig Implicit Backward-Euler Algoritmen for Isotrop Hardening Blir Utledet

Backwards-Euler-algoritmen er et viktig verktøy i numerisk simulering av plastiske materialers oppførsel under forskjellige lastbetingelser. Denne metoden benyttes spesielt når man skal løse problemer som involverer plastisk deformasjon, og den er kjent for sin stabilitet, spesielt når det gjelder store tidssteg i simuleringene. Algoritmen er en del av en klasse av "implicit" metoder, som er preget av at både nåværende og tidligere tidsskritt er involvert i beregningene, noe som gir numerisk stabilitet selv i de vanskeligste problemene.

I forbindelse med isotrop hardening, som er en materialmodell hvor hardheten øker likt i alle retninger, gir Backward-Euler-algoritmen en effektiv tilnærming til å beregne materialets respons. Når isotrop hardening er til stede, vil materialet oppleve en jevn økning i dets flytspenning over tid, uavhengig av den spesifikke retningen på lastene som påføres. Denne jevne økningen er et resultat av mikroskopiske plastiske deformasjoner, som akkumuleres i materialet.

Metodens utledning begynner med de grunnleggende forutsetningene for plastisk deformasjon og materialets flytkurve, som beskriver forholdet mellom spenning og plastisk strain. I isotrop hardening-modellen representeres flytspenningen som en funksjon av en hardeningparameter, som endres gjennom belastningen. Modellen for isotrop hardening er matematisk uttrykt som en kombinasjon av elastiske og plastiske komponenter i materialets respons.

Den generelle formuleringen for Backward-Euler-algoritmen involverer en iterativ prosess hvor de plastiske deformasjonsverdiene i hver tidssteg oppdateres basert på den tidligere spenningen, plastisk flyt, og hardeningparameteren. For å løse det ikke-lineære systemet som beskriver plastisk deformasjon, brukes Newton-Raphsons metode for å finne løsningen på de algebraiske ligningene som dannes.

I denne algoritmen er det også viktig å merke seg at man har å gjøre med en konsekvent tangentstivhet som tilpasses etter hver iterasjon, som gjør at løsningen raskt konvergerer. Den fullstendig implisitte naturen av metoden betyr at det er mulig å benytte større tidssteg uten å miste stabiliteten i beregningene. Dette er en betydelig fordel ved simuleringer som krever langvarig eller høy belastning, hvor andre metoder kan feile.

En kritisk komponent i disse beregningene er evalueringen av den plastiske strømfunksjonen, som bestemmer om materialet har nådd et plastisk flytpunkt. Denne funksjonen er tett koblet til hvordan isotrop hardening utvikles, ettersom det er denne prosessen som gjør at materialet motstår ytterligere plastisk deformasjon etter en viss belastning.

Når det gjelder simuleringer med isotrop hardening, er det essensielt å sikre at numeriske problemer som kan oppstå ved store deformasjoner, som for eksempel unøyaktig stressredistribusjon, håndteres på riktig måte. Dette kan kreve finere meshing eller spesialtilpassede algoritmer som tar høyde for ikke-lineære materialegenskaper. Det er derfor viktig at den som bruker algoritmen har en grundig forståelse av både materialmekanikk og numeriske metoder, for å sikre at resultatene er realistiske og pålitelige.

For å oppsummere, Backward-Euler-algoritmen for isotrop hardening gir et kraftig verktøy for simulering av plastisk deformasjon i materialer. Algoritmens implisitte natur gjør den godt egnet for utfordrende problemstillinger med store tidssteg og komplekse materialmodeller. Samtidig krever metoden grundig tilpasning av parametre og numeriske teknikker for å håndtere de spesifikke utfordringene som kan oppstå ved simulering av materialer under plastiske belastninger.

Hvordan Diskretisering og Integrering Påvirker Beregningen av Timoshenko Strålelementer

Timoshenko-strålelementer benyttes ofte i numeriske simuleringer for å modellere både bøyning og skjærdeformasjoner av en balk. Denne metoden benytter to ulike typer interpolasjon: en for forskyvning (defleksjon) og en annen for rotasjon. Det er viktig å merke seg at interpolasjonen mellom nodene under bruk av (5.445) skjer med kvadratiske funksjoner, noe som betyr at den bruker høyere ordens polynomer for å fange opp mer detaljerte deformasjoner, spesielt i områder med høyere skjærpåvirkning.

I de typiske eksemplene som følger, vises hvordan diskretisering av en balk ved bruk av fem lineære Timoshenko-elementer med skjærbidrag påvirker resultatene. Først diskuteres det analytiske og deretter numeriske integreringsalternativene for stivhetsmatrisen, og hvordan de påvirker resultatene av beregningene. Ved å bruke den analytiske tilnærmingen kan stivhetsmatrisen beregnes for hvert enkelt element, og ved å invertere den samlede stivhetsmatrisen, kan det resulterende systemet av ligninger løses.

For et system bestående av fem lineære elementer, kan man forvente en 12x12 matrise som kan reduseres til en 10x10 matrise ved å ta hensyn til at venstre støtte er fast (u1y = 0, φ1z = 0). Når denne matrisen inverteres, gir det et system av ligninger som kan løses for forskyvningene. Eksemplet viser at et beregnet utslag i lastpunktet kan uttrykkes som en funksjon av spennvidderatioen (forholdet mellom lengden på balken og dens høyde) og Poissons forhold. Den grafiske illustrasjonen viser hvordan forskyvningen endrer seg i henhold til forholdet mellom slankhet og tversnittets egenskaper.

Den numeriske integreringen, spesielt med kun ett integrasjonspunkt, gir også en løsning. Denne tilnærmingen reduserer dimensjonen til systemet, og i motsetning til analytisk integrering, kan man forvente en noe grovere presisjon i resultatene. Likevel kan man observere at mesh-refinering forbedrer nøyaktigheten betraktelig, spesielt i områder med lav slankhet. Dette er et viktig poeng for ingeniører som arbeider med beregninger for store konstruksjoner, hvor nøyaktigheten av elementene kan være avgjørende for resultatene.

Videre blir også Timoshenko-stråleelementer med kvadratiske formfunksjoner undersøkt, som tar høyde for både defleksjon og rotasjon. Denne metoden benytter en mer kompleks interpolasjon mellom tre noder, og formfunksjonene for defleksjon og rotasjon blir spesifisert ved hjelp av Lagrange-polynomer. Ved analytisk integrering gir dette et stivhetsmatriseuttrykk, som deretter benyttes til å formulere det prinsipielle finite elementet ligningen. Denne metoden gir en grundigere tilnærming enn den lineære varianten, spesielt når det gjelder elementer med høyere kompleksitet i deformerende krefter.

For å oppnå nøyaktige resultater med kvadratiske formfunksjoner er det avgjørende å bruke en tilstrekkelig mengde integrasjonspunkter. En to-punkts integrasjon kan være tilstrekkelig for elementer med lineære formfunksjoner, men for elementer med kvadratiske funksjoner vil den ikke være tilstrekkelig. Dette er fordi integrasjonsmetoden i dette tilfellet ikke kan fange opp alle detaljene i en kubisk funksjon som er nødvendig for nøyaktige beregninger.

Et viktig aspekt å merke seg er fenomenet kjent som skjærlåsing (shear locking), som fortsatt kan oppstå i tilfelle av veldig slanke elementer med høye slankhetstall, hvor effekten av skjærpåvirkningen blir urealistisk stor. Dette skjer spesielt når L/h → 0, som kan føre til at forskyvningene ved høyere ordens elementer ikke lenger er presise. Dette kan derfor være en begrensning i praksis som må tas hensyn til ved valg av elementtyper og integrasjonsmetoder.

Den viktigste innsikten for leseren er at nøyaktigheten i en Timoshenko-elementberegning sterkt avhenger av valg av diskretisering og integrasjonsmetode. Mesh-refinering kan øke nøyaktigheten, men kan også kreve mer beregningskraft. Samtidig må skjærlåsing vurderes når man arbeider med slanke elementer, da dette kan føre til feilaktige resultater. Generelt er det en balanse mellom beregningskostnader og nøyaktighet som må vurderes ved utførelsen av slike simuleringer.

Hvordan bestemme bøyningsmomentet og spenningsfordelingen i elastiske-plastiske bjelker?

Når man arbeider med bjelker som er utsatt for bøyning, er det essensielt å forstå hvordan både bøyningsmomentet og spenningsfordelingen utvikler seg under påvirkning av ytre krefter og belastninger. For små forskyvninger kan krumningsradiusen, $R$, beregnes som følger:

Denne ligningen viser hvordan krumningsradiusen er relatert til defleksjonen, $u_z$, og dens andrederiverte. Videre, i tilfelle små defleksjoner, kan vi uttrykke krumningen, $\kappa$, som:

Deretter, for å bestemme strekkforholdet, kan man bruke den generelle uttrykket for strekk i en bøyd bjelke:

Der $z$ er den vertikale avstanden fra nøytralaksen i bjelken. Dette gir en tilnærming til strekkforholdet:

Som forenkles til:

Bøyningen skaper spenninger i bjelken, som kan beskrives ved normalspenningene $\sigma_x(x, z)$ og skjærspenningen $\tau_{xy}(x, y)$. Dette kan videre relateres til bjelkens indre moment og skjærkraft ved hjelp av de relevante likningene for statisk likevekt. For eksempel, ved å analysere den vertikale kraftbalansen i en liten del av bjelken, finner vi at:

Ved bruk av en Taylor-utvikling får vi en differensiallikning for skjærkraften:

Og ved å bruke ligningen for skjærkraften, kan vi skrive den andre deriverte av momentet som:

For å relatere spenningsfordelingen til de geometriske og elastiske egenskapene til bjelken, kan vi bruke Hooke's lov for elastisitet:

Videre, for å uttrykke momentet som et resultat av spenningsfordelingen, bruker vi formelen:

Der $I_y$ er det andre momentet av arealet. Den indre momentet kan dermed uttrykkes som:

Dette viser hvordan spenningsfordelingen i bjelken kan brukes til å beregne bøyningsmomentet, og gir en viktig forståelse for hvordan elastiske og plastiske deformasjonsprosesser virker sammen.

Videre, i tilfelle av et elastisk-plastisk materiale, skjer en interessant utvikling når plastiske soner dannes på overflaten av bjelken. Disse sonene vil ha en spenningsfordeling der normalspenningen $\sigma_x$ er konstant, mens skjærspenningen $\tau_{xy}$ blir null. Dette skjer fordi, ifølge von Mises' flytregel, er skjærspenningen i de plastiske sonene ubetydelig. Derimot, i det elastiske området vil spenningsfordelingen følge de vanlige teoriene for elastisitet.

Det er viktig å merke seg at de presenterte derivatene og analysene for bjelkens oppførsel er avhengige av antagelsen om konstant bøyningsstivhet, $E I_y$, og gjelder kun for små deformasjonsområder hvor elastisk oppførsel dominerer.