Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
Bjelker som utsettes for både skjærkrefter og bøyning, kan demonstrere et komplekst samspill mellom elastiske og plastiske deformasjonsområder. Når man analyserer slike strukturer, er det viktig å forstå både de elastiske og plastiske områdene av bjelkens respons, spesielt i områder hvor skjærspenningene nærmer seg de plastiske grensene. La oss undersøke hvordan man kan bestemme de relevante krefter og spenninger i en bjelke som er utsatt for skjærbelastninger og bøyning.
I det elastisk-plastiske området av en bjelke, antas det at skjærspenningen τ ikke overskrider den skjæryieldspenningen i det rene elastiske området, det vil si at τ for x i intervallet ς ≤ x ≤ L, er mindre enn den plastiske skjæryieldspenningen. Dette kan uttrykkes som τ ≤ √kt, hvor kt er den skjæryieldspenningen for materialet. Det følger at den totale kraften F må være mindre enn en kritisk verdi som er relatert til geometrien til bjelken og materialets styrke.
Når skjærspenningen overstiger denne elastiske grensen, går bjelken over i et plastisk område, og det er her vi finner de høyeste skjærkreftene. Den plastiske skjærkraften, Qpl, lim, representerer en grense for skjærkraften som kan føre til full plastisk deformasjon i tverrsnittet av bjelken. Denne grensen er definert som Qpl lim = √k × bh, hvor b er bredden på tverrsnittet, h er høyden, og k er en konstant avhengig av materialets egenskaper. Ved å analysere spenningene og kreftene som virker i bjelken, kan man finne at den kritiske skjærkraften for plastisk deformasjon er relatert til den plastiske skjærmomentet Mpl s, lim.
For å finne skjærspenningene og de normale spenningene i plastiske områder, bruker man de relevante uttrykkene for stresskomponentene, som kan beregnes for et tverrsnitt på forskjellige posisjoner langs bjelken. For eksempel, i området 0 ≤ x ≤ ς, kan den normale spenningen i x-retning være lineært fordelt over høyden av tverrsnittet. Dette gjør det mulig å beregne både skjærspenningen og de normale spenningene for ethvert punkt på bjelken.
Når det gjelder de plastiske regionene, kan det vises at den mest kritiske seksjonen er den nærmest fastpunktene i bjelken, dvs. hvor skjærspenningen når sitt maksimale nivå. Den plastiske grensemomentet for bjelken kan da beregnes ut fra forholdet mellom skjærkraften og den totale bøyningsmomenteffekten. Dette gir et bilde av hvordan materialet oppfører seg under ekstreme belastninger, og hvilke deler av bjelken som er mest utsatt for plastisk deformasjon.
Videre kan analysen utvides til å omfatte høyereordens bjelketeorier som tar hensyn til mer komplekse deformasjoner, for eksempel ved ikke-lineære materialmodeller. Disse teoriene er spesielt viktige for svært tynne eller lange bjelker hvor effekten av skjærdeformasjoner ikke kan neglisjeres, og for strukturer som opplever betydelig plastisk deformasjon. Ved å bruke høyereordens teorier kan man mer nøyaktig forutsi hvordan bjelken vil oppføre seg under ulike typer belastninger, inkludert både elastiske og plastiske responser.
En viktig parameter i slike analyser er skjærstivheten til bjelken, som er direkte relatert til materialets skjærmodul og geometriske egenskaper. Dette påvirker hvordan skjærspenningene distribueres langs bjelken og hvordan de interagerer med de normale spenningene.
Det er viktig å merke seg at når man går fra elastiske til plastiske forhold, må vi også vurdere hvordan plastisk deformasjon sprer seg i tverrsnittet. For eksempel, i en bjelke som er utsatt for betydelige skjærkrefter, vil plastisk deformasjon vanligvis begynne ved bjelkens støttepunkter og deretter utvide seg i lengderetningen. I dette tilfellet kan vi anta at skjærspenningen i midten av bjelken når den plastiske skjæryieldspenningen ved fastpunktet, og at plastsonen deretter strekker seg innover langs bjelken.
I eksemplene vi har analysert, er den plastiske grensen for skjærkraften i bjelken bestemt ved at den maksimale skjærspenningen i midten av bjelken når den skjæryieldspenningen som er karakteristisk for materialet. Dette fører til en distribusjon av skjærspenninger som kan beregnes ved hjelp av de relevante ligningene for normal- og skjærspenningene.
I tillegg til å analysere de plastiske og elastiske regionene, er det også viktig å forstå hvordan forskjellige lasttyper, som for eksempel punktlaster eller distribuerte laster, påvirker bjelkens oppførsel. Spenningene i tverrsnittet kan variere sterkt avhengig av hvordan lasten påføres bjelken, og dette kan ha stor betydning for hvor og hvordan plastisk deformasjon oppstår. Videre kan det vises at den plastiske momentgrensen som følge av skjærbelastningen avhenger sterkt av geometri og materialegenskaper.
Endelig, ved hjelp av høyereordens teorier og numeriske metoder, kan man mer presist forutsi responsen til bjelken under ulike belastninger, noe som gjør det mulig å designe bjelker som er mer motstandsdyktige mot plastisk deformasjon under skjærbelastninger. Dette gir en dypere forståelse av hvordan bjelker oppfører seg under forskjellige typer påkjenninger, og hvordan man kan forutsi deres oppførsel på en mer nøyaktig måte.
Hvordan den kvadratiske stangelementformuleringen påvirker nøyaktigheten i finitt element-analyse
Formuleringen av den kvadratiske stangelementet ligner på uttrykket for det lineære stangelementet i Eq. (5.92). Likevel inneholder høyre side her, i tillegg, bidraget fra lasten fra den midtre belastningen, og det bør ikke glemmes at fordelingen av forskyvningen innen elementet har en kvadratisk form. Verdiene av de ekvivalente nodallastene, det vil si evalueringen av integralet i Eq. (5.99), er gitt for noen standardtilfeller i Tabell 5.5. Leseren bør her merke seg at disse ekvivalente nodallastene er forskjellige fra tilfellet med det lineære stangelementet, jf. Tabell 5.3.
Det er viktig å påpeke at nøyaktigheten av det kvadratiske stangelementet, som kan ses i Tabell 5.6, for de undersøkte tilfellene, i det minste er på nivå med det lineære elementet når vi sammenligner de generelle uttalelsene uten å undersøke spesifikke numeriske verdier. For en konstant distribuert last reproduserer det kvadratiske elementet ikke bare ved nodene, men også mellom nodene den analytiske løsningen. Likevel må det fremheves at disse resultatene er elementspesifikke og at den endelige elementmetoden generelt gir—selv ved nodene—kun tilnærmede løsninger. Kommentarene i Tabell 5.6 kan imidlertid være nyttige i spesielle tilfeller hvor en finere meshing ikke vil øke nøyaktigheten, men derimot kan øke beregningstiden og størrelsen på resultatfilene. Hvis problemet er slik at den eksakte løsningen oppnås ved nodene, er en finere meshing sannsynligvis ikke nødvendig i dette tilfellet.
Den kvadratiske stangens nøyaktighet er spesielt viktig å forstå i konteksten av hvordan forskjellige typer last, som konstant eller lineært distribuert last, påvirker løsningen. Når elementet er under konstant belastning, kan man forvente at løsningen blir nøyaktig ikke bare ved nodene, men også mellom dem. Dette betyr at i mange praktiske tilfeller kan det kvadratiske elementet være en mer nøyaktig tilnærming enn det lineære, uten at det kreves finere meshing eller ekstra beregningstid.
En annen viktig faktor å forstå er hvordan den kvadratiske stangelementets formulering er avhengig av elementets spesifikasjoner og lastekraften som påføres. For elementer som er utsatt for varierende belastninger, kan det være nødvendig å vurdere detaljert hvordan belastningens natur påvirker resultatene. Dette vil bidra til å velge riktig type element (lineært eller kvadratisk) for spesifikke typer strukturelle analyser.
For leseren som arbeider med finitt elementanalyse, er det essensielt å forstå at alle elementene, selv de som gir analytiske løsninger ved nodene, er tilnærmede løsninger. Dette er en grunnleggende innsikt i metoden, og det kan ikke alltid forventes at en numerisk løsning vil være helt identisk med den eksakte løsningen på tvers av hele elementets lengde. Dermed, mens det kvadratiske elementet gir en god tilnærming for mange praktiske tilfeller, vil det alltid være et element av usikkerhet, spesielt når vi håndterer komplekse geometrier eller varierende belastninger.
Videre bør man alltid vurdere balansen mellom beregningskostnadene og ønsket nøyaktighet. Det er tilfeller hvor et mer detaljert mesh ikke nødvendigvis vil gi bedre resultater, og i slike tilfeller kan det være fornuftig å velge en modell med lavere oppløsning, som det kvadratiske elementet, for å oppnå en tilstrekkelig løsning på kortere tid.
Endelig, når man benytter den endelige elementmetoden i praktiske applikasjoner, er det viktig å forstå at den nøyaktige løsningen kan være svært følsom for både valg av elementtype og meshing. Selv små endringer i forutsetningene kan ha stor innvirkning på de endelige resultatene. Det er derfor viktig å gjøre en grundig vurdering av hvordan modellen skal bygges og hvilke elementer som skal brukes, basert på problemet som skal løses.
Hvordan forstå flyt- og flytegrensetilstander i et to-komponent spenningstilstand
I tillegg til den vanlige normspenningen (σ), virker en skjærspenning (τ). Denne to-komponent spenningstilstanden oppstår for eksempel i generelle bjelkeframstillinger, som beskrevet i seksjonene 4.3 og 4.4. To klassiske representasjoner av flytegrensebetingelser for solide materialer finnes i formene til Tresca og von Mises. Begge disse modellene spiller en viktig rolle i beskrivelsen av materialets respons på belastning og kan vises grafisk i det to-komponent σ-τ-rommet.
Tresca-betingelsen baserer seg på antakelsen om at plastisk deformasjon begynner når den maksimale skjærspenningen når et visst nivå. Dette kan uttrykkes matematisk som:
Her er forholdet mellom skjærspenning (k_s) og strekkflytegrensen (k_t) gitt ved . På den annen side baserer von Mises-betingelsen seg på det at plastisk deformasjon starter når den elastiske energien av deformasjonen når en kritisk verdi. Den matematiske formuleringen for von Mises er:
Her er forholdet mellom skjærspenning og strekkflytegrense gitt ved . Begge disse flytegrensebetingelsene kan skrives mer generelt som:
Der er stresskomponentene. Den grafiske fremstillingen av begge flytegrensebetingelsene gir ellipser, der aksene til ellipsene er parallelt med stressaksene i koordinatsystemet. En sammenligning av de to geometriene viser at Tresca-betingelsen gir et mer konservativt prediksjon av flytegrensen, ettersom minoraksen er mindre enn for von Mises-betingelsen.
En to-dimensjonal spenningstilstand kan for eksempel inkludere de tre komponentene og . For begge flytegrensebetingelsene vil formelen for en en-aksial stressstilstand, der kun en normalspenning virker, gi den samme formelen som uttrykt i flytegrensebetingelsen.
Flytregel
Flytregelen gir en matematisk beskrivelse av utviklingen av plastiske deformasjoner gjennom belastningshistorikken til et materiale. I sin mest generelle form kan flytregelen settes opp som:
Her er en konsistensparameter (med ) og er en funksjon som beskriver flytretningen. Når , gir dette . Flytregelen kan også uttrykkes ved å bruke den såkalte normale flytregelen, som er relatert til den partisjonerte energien i materialet.
I noen mer kompliserte tilfeller, som med granulære materialer, kan det være nødvendig å bruke en alternativ funksjon, kalt plastisk potensial , for å bedre beskrive stressgradienten. Dette fører til en ikke-assosiert flytregel:
Den assosierte flytregelen kan i visse tilfeller forenkles ved å bruke en enklere flytegrensebetingelse for , som muliggjør en lettere bestemmelse av gradienten. En enkel anvendelse av den assosierte flytregelen for Tresca- og von Mises-betingelsene gir de matematiske uttrykkene:
Der er signumfunksjonen, som tar verdien -1 for , 0 for , og +1 for . For den to-komponent σ-τ-spenningstilstanden kan den assosierte flytregelen skrives som:
Denne formelen kan spesifiseres for Tresca- og von Mises-modellene som:
og
Disse uttrykkene kan generelt skrives på samme måte som den første flytregelen:
Hardeingregel
Hardeningregelen beskriver materialets respons på plastiske deformasjoner og gjør det mulig å inkludere effekten av materialhardeing i flytegrensebetingelsen og flytregelen. For isotrop hardening er flytegrensen uttrykt som en funksjon av et indre parameter :
Dersom den ekvivalente plastiske deformasjonen benyttes som hardeningsvariabel (), omtales dette som plastisk hardeing. Alternativt kan hardening beskrives som en funksjon av det spesifikke plastiske arbeidet , og dette kalles arbeidshardening.
Kombinerer man hardeningens avhengighet av med flytregelen, får man en evolusjonsligning for den isotropiske hardeningsvariabelen:
Dette kan illustreres grafisk som flytkurven som viser hvordan flytegrensen varierer med hardeningsvariabelen for ulike hardeingslover.
Viktige tilleggsperspektiver
En viktig detalj som ofte overses i den teoretiske beskrivelsen er at den faktiske responsen til materialet kan variere betydelig avhengig av flere faktorer som temperatur, belastningshastighet og mikrostruktur. I praksis kan materialer vise seg å ha en mer kompleks flyt- og hardeingatferd enn de enkle modellene som Tresca og von Mises representerer. For eksempel kan isotrop hardening og kinematisk hardening kombinere seg på en måte som endrer materialets plastiske respons på en uforutsett måte, særlig ved høyere belastninger eller ved operasjonelle forhold som nærmer seg materialets bruddpunkt.
Hva er hardeningsmekanismer i materialer og hvordan påvirker de plastisk deformasjon?
Når man studerer plastisk deformasjon av materialer, er det viktig å forstå de grunnleggende mekanismene som styrer hardening, altså prosessen der materialets motstand mot videre deformasjon øker etter hvert som det utsettes for belastning. Det finnes to hovedtyper av hardening: isotrop hardening og kinematisk hardening. Disse to mekanismene beskriver hvordan materialer reagerer på spenninger under plastisk deformasjon, men de oppfører seg forskjellig avhengig av materialets tilstand og belastningens natur.
Isotrop hardening skjer når materialets styrke øker på en jevn måte, uavhengig av retningen på de påførte kreftene. I denne prosessen blir yieldflaten, som representerer det maksimale stresset materialet kan tåle før plastisk deformasjon inntreffer, gradvis utvidet. Dette fører til at materialet blir sterkere og mer motstandsdyktig mot ytterligere deformasjon når det er blitt plastisk deformatert. Det matematiske uttrykket for isotrop hardening kan beskrives ved en enkel funksjon hvor den interne variabelen κ endres som en funksjon av belastningen.
På den annen side har kinematisk hardening en annen dynamikk. Her skjer endringen i materialets respons på belastning på en måte som reflekterer en "hukommelse" i materialet. Når et materiale gjennomgår plastisk deformasjon og deretter blir utsatt for en reversert belastning (som i tilfelle av en omvendt trekke- eller kompresjonstest), oppstår et fenomen kjent som Bauschinger-effekten. Dette innebærer at materialet, etter å ha blitt plastisk deformatert i en retning, vil begynne å deformeres plastisk i den motsatte retningen ved lavere spenninger enn det opprinnelige flytespennet. Denne effekten kan uttrykkes med en ligning som beskriver hvordan den interne variabelen α (representerer kinematisk hardening) utvikler seg i forhold til den plastiske deformasjonsenheten εpl.
Kinematisk hardening er spesielt viktig for materialer som er utsatt for gjentatte sykluser med belastning og avlastning, som kan forekomme i mange industrielle prosesser. Den kinematiske hardening-modellen kan være lineær, som beskrevet av Prager’s hardeningregel, eller mer kompleks, som i Ziegler’s hardeningregel, hvor hardeningmodulen kan være en funksjon av spenning og plastisk strain.
En kombinasjon av disse to mekanismene, isotrop og kinematisk hardening, kan også forekomme, og dette kalles kombinert hardening. I dette tilfellet påvirker både den isotrope og den kinematiske hardeningprosessen materialets plastiske respons, og man kan bruke en kombinasjon av de relevante ligningene for å beskrive materialets oppførsel under belastning.
For å beregne materialets respons på belastning under disse forholdene, er det nødvendig å bruke de riktige flowreglene, som bestemmer hvordan plastisk strain utvikler seg over tid i respons til endringer i stress. Disse reglene kan kombineres på forskjellige måter avhengig av materialets oppførsel og de påførte kreftene.
En viktig del av å forstå hardeningmekanismene er å vurdere hvordan disse mekanismene påvirker materialets evne til å motstå brudd eller skade under langvarig belastning. For eksempel, når et materiale gjennomgår gjentatte plastiske deformasjonsprosesser, kan mikroskader utvikle seg på grunn av akkumulering av plastisk strain, noe som fører til materialtretthet. Dette er spesielt relevant i strukturelle materialer som utsettes for sykliske belastninger, som i bilindustri, flyindustri eller konstruksjonsmaterialer.
I tillegg til det rent mekaniske aspektet ved hardening, er det også viktig å vurdere hvordan temperatur, materialets sammensetning og andre eksterne faktorer påvirker disse prosessene. For eksempel, ved høye temperaturer kan materialets evne til å hardne endres betydelig, noe som kan føre til forskjellig plastisk oppførsel enn ved lavere temperaturer.
Gjennom å forstå og modellere hardeningmekanismene på en presis måte, kan ingeniører og forskere utvikle mer effektive materialer som er bedre egnet for spesifikke applikasjoner. Dette inkluderer materialer som er mer motstandsdyktige mot slitasje, korrosjon, og tretthet, samt materialer som kan motstå ekstreme miljøforhold.
Hvordan håndtere Timoshenko-bjelker med elastisk og plastisk materialoppførsel
Når man arbeider med bjelketeori, er en av de sentrale utfordringene å beskrive strukturelles respons på ytre krefter på en presis måte. Dette gjelder spesielt for Timoshenko-bjelker, som tar hensyn til både bøyning og skjærdeformasjoner. Ved å bruke metoder som den endelige differansemetoden (FDM), kan man analysere bjelkenes oppførsel i både elastiske og plastiske områder, og dette gir innsikt i hvordan materialer oppfører seg under belastning. I denne sammenhengen er det spesielt viktig å forstå hvordan noder og differanser kan benyttes for å finne løsninger som tilnærmer seg den virkelige responsen til bjelken.
For Timoshenko-bjelker, som involverer både bøyning og skjærdeformasjoner, viser beregningene at antallet noder spiller en avgjørende rolle for nøyaktigheten til resultatene. Når et større antall noder benyttes, reduseres den relative feilen, som vist i tilfellene hvor 15 noder ble brukt, og den relative feilen ble redusert til -66,348 %. Dette viser at for å oppnå en akseptabel feilkategori i Timoshenko-bjelker, er det nødvendig å benytte et betydelig antall noder.
For tilfeller som involverer enkeltkrefter, kan den tilhørende systemligningen for slike belastninger oppnås ved å multiplisere de opprinnelige ligningene med passende faktorer som tar hensyn til ekvivalent nodal kraft. For eksempel, når kun enkel kraft er til stede, vil den andre ligningen i systemet multipliseres, og resultatet er en ny lineær systemligning. Denne tilnærmingen gir oss muligheten til å beregne den vertikale forskyvningen under et enkelt belastningstilfelle, og som for de tidligere tilfellene, vil flere noder bidra til å minske feilene, og dermed øke nøyaktigheten på resultatene.
Når det gjelder Timoshenko-bjelker under elastisk materialoppførsel, vil den elastiske modulen og skjærmodulen sammen danne grunnlaget for beregningene. I elastisk område, vil materialet oppføre seg lineært, og man kan anta en konstant modulus for hele bjelken. Imidlertid, når materialet begynner å nå sitt plastiske område, endrer oppførselen seg betydelig, og nye metoder må benyttes for å modellere disse endringene.
I det plastiske området blir bjelkens oppførsel mer kompleks, og materialet kan ikke lenger beskrives som lineært elastisk. For å håndtere plastisk materialoppførsel, benyttes ofte en tilnærming som kalles det lagdelte tilnærmingen. Denne tilnærmingen deler tverrsnittet av bjelken i flere lag, der hvert lag har sine egne materialegenskaper og oppfører seg uavhengig i henhold til om det er i elastisk eller plastisk tilstand. Det er viktig å merke seg at for hver lastetilstand vil plastifiseringen i materialet begynne fra lagene nærmest nederste eller øverste del av tverrsnittet, og med økende last vil plastifiseringen bevege seg innover mot sentrum av bjelken.
For å bestemme om et gitt lag er i elastisk eller plastisk tilstand, benyttes en grunnleggende antakelse om at spenningsfordelingen i tverrsnittet er lineær. Dette gjør det mulig å beregne hvordan hvert lag reagerer på belastningen og deretter bruke denne informasjonen til å avgjøre hvilke lag som må behandles som plastiske. Når et lag når sitt plastiske område, vil dets modulus settes til null, mens lag i det elastiske området fortsatt har en positiv modulus.
Når man undersøker et lagdelt system for Timoshenko-bjelker, kan det antas at stressene distribueres over høyden av bjelken, og at plastifisering skjer gradvis i hvert lag. Dette krever en detaljert analyse for å vurdere hvilke lag som er plastiske og hvilke som fortsatt er elastiske. Dette gjøres ved å bruke de klassiske antagelsene om lineær spenningsfordeling over tverrsnittet og er avgjørende for korrekt å modellere bjelkens respons i det plastiske området.
I tilfeller med konstant bøyningsmoment, som ofte oppstår i praksis, er det viktig å bruke en tilnærming der lastene påføres trinnvis. Denne trinnvise belastningen gjør det lettere å analysere materialets respons under økende belastning. I en elastoplastisk analyse er det viktig å merke seg at selve materialets oppførsel kan være avhengig av belastningens utvikling over tid, og dette krever ofte en iterativ beregningsprosess for å sikre at de riktige modifikasjonene blir gjort for hvert trinn.
Når man bruker lagdelt tilnærming, blir tverrsnittet til bjelken delt opp i et passende antall lag, og hvert lag behandles individuelt for å bestemme om det er i et elastisk eller plastisk område. Ved å bruke denne metoden kan man oppnå mer realistiske og nøyaktige beregninger for bjelkens respons på komplekse lastforhold. Tatt i betraktning at en rekke faktorer påvirker plastifiseringen av materialet, er det viktig å kontinuerlig oppdatere analysen etter hvert som lastene øker.
For å oppsummere, håndtering av Timoshenko-bjelker under både elastisk og plastisk oppførsel krever en grundig forståelse av hvordan materialets egenskaper endrer seg med økende last. Bruken av flere noder og lagdelte tilnærminger er essensiell for å oppnå nøyaktige resultater, spesielt når materialet er i det plastiske området. Ved å bruke passende tilnærminger for å modellere hvert lag individuelt, og ved å vurdere stress- og strainfordeling over tverrsnittet, kan man oppnå pålitelige beregninger for bjelkens oppførsel under ulike lastforhold.