Maxwell-Boltzmann-fordelingen gir et presist bilde av hastigheten til gassmolekyler i et system, og den kan brukes til å beregne både den mest sannsynlige hastigheten og den gjennomsnittlige hastigheten til molekylene. Imidlertid er det viktig å merke seg at disse to verdiene ikke er like, ettersom fordelingen ikke er symmetrisk. Den mest sannsynlige hastigheten er den verdien som ligger på toppen av distribusjonsfunksjonen, som kan uttrykkes som:

umax=2kBTm(5.40)u_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2k_B T}{m}} \tag{5.40}

Der kBk_B er Boltzmanns konstant, TT er temperaturen i kelvin, og mm er massen til molekylet. Derimot, den gjennomsnittlige hastigheten ⟨u⟩\langle u \rangle beregnes ved å bruke den matematiske definisjonen av et kontinuerlig fordelingsforventet verdi:

⟨u⟩=8kBTπm(5.41)\langle u \rangle = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}} \tag{5.41}

Fordi Maxwell-Boltzmann-fordelingen avtar gradvis ved store hastigheter, er den gjennomsnittlige hastigheten alltid litt høyere enn den mest sannsynlige hastigheten. Videre øker den gjennomsnittlige hastigheten når temperaturen stiger, men økningen reduseres noe av kvadratroten i formlene (5.40) og (5.41). For å doble den gjennomsnittlige hastigheten må temperaturen (i Kelvin) økes med en faktor på fire.

Som et konkret eksempel, la oss vurdere hastigheten til oksygenmolekyler ved romtemperatur (300 K). Den mest sannsynlige hastigheten kan beregnes ved å sette verdiene T=300 KT = 300 \, K og m=32×(1.66×10−27) kgm = 32 \times (1.66 \times 10^{ -27}) \, \text{kg} inn i formelen (5.40):

umax=2×(1.38×10−23)×30032×(1.66×10−27)=395 m/su_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2 \times (1.38 \times 10^{ -23}) \times 300}{32 \times (1.66 \times 10^{ -27})}} = 395 \, \text{m/s}

Den gjennomsnittlige hastigheten blir beregnet på lignende måte ved å bruke formelen (5.41):

⟨u⟩=8×(1.38×10−23)×300π×32×(1.66×10−27)=445 m/s\langle u \rangle = \sqrt{\frac{8 \times (1.38 \times 10^{ -23}) \times 300}{\pi \times 32 \times (1.66 \times 10^{ -27})}} = 445 \, \text{m/s}

Videre kan hastigheten til molekylene også estimeres ved praktiske målinger, for eksempel ved bruk av en svært nøyaktig vekt. En slik måling er basert på den kontinuerlige fordampingen av en væske, der hastigheten til molekylene som forlater overflaten kan bestemmes ved å analysere vektreduksjonen som oppstår.

I tilfelle av luft, som er en blanding av forskjellige gasser, er det også viktig å forstå hvordan molekylene i gassene er fordelt og hvordan de interagerer med hverandre. Luft består hovedsakelig av to gasser, oksygen (O₂) og nitrogen (N₂), der hver molekyltype består av to atomer. Diameteren til et atom er rundt 10−1010^{ -10} meter, og avstanden mellom atomene i et molekyl er den samme. Dette gir oss en grov idé om størrelsen på molekylene, som er på størrelsesorden 10−1010^{ -10} meter.

Hvordan beregner man så den gjennomsnittlige avstanden mellom molekylene i luften? Ved å bruke den ideelle gassloven og antakelsen om at en mol av gass ved atmosfærisk trykk og 0 °C opptar et volum på 22,4 liter, kan man anslå avstanden mellom molekylene. Ved å anta at molekylene er ordnet i et kubisk mønster, kan vi estimere avstanden mellom to nabomolekyler til:

a=Lk=0.28 m84×106=3×10−10 ma = \frac{L}{k} = \frac{0.28 \, \text{m}}{84 \times 10^6} = 3 \times 10^{ -10} \, \text{m}

Dette viser at avstanden mellom to luftmolekyler er omtrent 30 ganger molekylets diameter, og mellom molekylene er det i praksis tomrom – bare tomt rom.

Når man diskuterer blandinger av gasser, er det viktig å nevne Daltons lov, som sier at det totale trykket i en gassblanding er summen av de delvise trykkene til hver gasskomponent. Dette kan utledes fra den mikroskopiske definisjonen av trykk, hvor trykket for hver komponent i blandingen kan beregnes som:

pi=Nim⟨u2⟩i3V(5.47)p_i = \frac{N_i m \langle u^2 \rangle_i}{3V} \tag{5.47}

Her representerer NiN_i antallet molekyler i gasskomponenten, mm er molekylmassen, og ⟨u2⟩i\langle u^2 \rangle_i er den gjennomsnittlige kvadrerte hastigheten til molekylene i den aktuelle gasskomponenten. Etter å ha summert trykkene for alle komponentene, får vi Daltons lov:

p=∑pip = \sum p_i

Dette bekrefter at den ideelle gassloven også gjelder for gassblandinger, så lenge de respektive komponentene kan anses som ideelle gasser.

En annen viktig egenskap ved gassmolekyler er den gjennomsnittlige fri vei, som beskriver avstanden et molekyl kan tilbakelegge før det kolliderer med et annet molekyl. Dette er en viktig parameter når man studerer molekylers bevegelser og reaksjoner i gassform.

Hvordan Entropi Reflekterer Kvaliteten av Energi i Ukomprimerbare Stoffer

Når vi diskuterer ubrukbar energi, refererer begrepet ikke til at energien på magisk vis har "forsvunnet" eller blitt "usynlig". Faktisk kan vi bruke den totale energien U(TA) - U(TL) til å varme opp omgivelsene, men kun en del av den interne energien kan brukes til arbeid. Dette skillet mellom energiens mengde og kvalitet blir tydelig når vi begynner å vurdere entropi i termodynamiske prosesser, spesielt for ukomprimerbare stoffer som væsker og faste stoffer.

Modellen for ukomprimerbare stoffer, som ble introdusert i seksjon 6.12.1, har en kalorisk tilstandsligning U(T) = c m T, hvor c er den spesifikke varmekapasiteten og m er massen. Denne modellen gir en tilnærmet beskrivelse av væsker og faste stoffer, som oppvarmet vann, og lar oss analysere termodynamikkens grunnleggende konsepter som entropi.

Entropi kan defineres som et mål på energikvaliteten i en termodynamisk tilstand, hvor kvalitet her forstås som tilgjengelighet for arbeid. For å skille mellom mengden av energi (som er relatert til den første loven) og dens kvalitet, må vi gjøre noen viktige presiseringer. Anta at vi har to beholdere med varmt vann som inneholder samme mengde væske, men som har forskjellige temperaturer. Dersom vi spør en operatør av en varmeapparat hvilken av de to beholderne som er mest nyttig, vil han naturligvis velge den med høyere temperatur. Dette valget er basert på energimengden, ikke kvaliteten, og avslører et viktig poeng: spørsmålet vårt var for overfladisk.

For å virkelig forstå energikvaliteten, må vi sammenligne systemer med samme totale energi, Etot. Dette innebærer at vi kun vurderer to former for energi: intern energi og potensiell energi (som i form av en løftet vekt). Hvis system A har lavere temperatur, og derfor mindre intern energi, men mer potensiell energi enn system B, skal den totale energien for begge systemene være den samme. Dette gjør at vi kan sammenligne kvaliteten på energien i de to systemene.

For å gjøre sammenligningen av energikvalitet mulig, setter vi begge systemene i samme omgivelse med temperatur TL. Her kan den potensielle energien utnyttes direkte for å utføre arbeid, mens kun den delen av den interne energien som kan beregnes med formelen kan brukes til arbeid. Dette fører til et uttrykk for det maksimale arbeidet som kan gjøres av system A, og et tilsvarende uttrykk for system B. En viktig observasjon er at forskjellen mellom Wmax(A) og Wmax(B) ikke avhenger av omgivelsens temperatur eller den totale energiens størrelse. Denne forskjellen er kun bestemt av tilstandene til de to systemene og kan derfor benyttes som et mål på kvaliteten av energien i disse tilstandene.

Entropi for et ukomprimerbart stoff kan dermed defineres som forskjellen i entropi mellom to tilstander, SA og SB, for systemene med temperaturene TA og TB. Denne forskjellen er gitt ved formelen:

SB−SA=c⋅m∫TATBdTTS_B - S_A = c \cdot m \int_{T_A}^{T_B} \frac{dT}{T}

Entropi uttrykkes her i enheten J/K, og vi kan konkludere med at høyere temperatur (som for system B) korresponderer med høyere entropi, og derfor en lavere kvalitet på energien til tross for at systemet inneholder mer energi.

I tillegg til at entropi gir oss innsikt i energikvalitet, er det også viktig å forstå at termodynamiske prosesser ikke alltid kan beskrives på samme måte for alle typer stoffer. For gasser, som har variabelt volum, er denne tilnærmingen ikke helt tilstrekkelig, ettersom volumforandringer fører til ekstra arbeid som må tas med i betraktningen. Her kreves en mer komplisert prosessbeskrivelse, og derfor brukes spesifikke tilnærminger for ulike stoffer.

Det er også viktig å merke seg at i termodynamikkens verden er det generelt umulig å beregne de absolutte verdiene for entropi for en gitt tilstand. Vi kan kun beregne entropiforskjeller mellom to tilstander. For å kunne tildele konkrete verdier for entropi, som i tabellene i appendiksene, må en referansetilstand defineres for hvert stoff.

Når det gjelder ukomprimerbare stoffer, gir entropi oss et mål på kvaliteten på energien i en tilstand. For at energien skal være nyttig, er det ikke nok å bare ha mye energi. Kvaliteten på energien – dens tilgjengelighet for arbeid – er det som virkelig bestemmer dens verdi, og entropi fungerer som et mål for denne tilgjengeligheten. I motsetning til en ekstern størrelse som energiens totale mengde, er entropi en intensiv størrelse som gir en mer presis beskrivelse av hvordan energi kan utnyttes i praksis. Jo høyere entropi, desto mindre nyttig er energien for utføring av arbeid.

Hvordan Timoshenko-bjelker og rammestrukturer kan modelleres ved hjelp av endelige elementer
Hvordan integrere funksjonell kommunikasjon og moderne design i kjøkken og bad?
Hvordan landbruket forandret verden: Fra begynnelsen til moderne tid
Hvordan gjenopprette og male gammel møbel med et slitt, karakteristisk utseende