Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
I teorien for tre-dimensjonal plastisitet er det viktig å forstå hvordan forskjellige flytkriterier beskriver overgangen fra elastisk til plastisk oppførsel under påkjenning. Det finnes flere tilnærminger for å vurdere når et materiale vil begynne å plastisk deformeres, men Tresca, von Mises og Drucker-Prager kriteriene er blant de mest benyttede. Disse kriteriene bygger på analysen av spenningskomponenter, og hjelper ingeniører og forskere med å avgjøre om et materiale er i elastisk eller plastisk tilstand under belastning.
Von Mises kriterium
Von Mises kriterium er et av de mest kjente kriteriene for å vurdere plastisk flyt, spesielt i forhold til metaller. Dette kriteriet baserer seg på et ekvivalent spenningsmål som er uavhengig av den hydrostatiske spenningen (dvs. den volumetriske stressen) og kun tar hensyn til den deviatoriske stressen. Den generelle formelen for von Mises spenningskriterium er:
Her representerer den deviatoriske stressinvarianten, mens er materialets skjærstyrke. Von Mises kriterium kan visualiseres grafisk som en sirkel i spenningsrommet, og det er viktig å merke seg at den elastiske og plastiske overgangen ikke kan avgjøres utelukkende ved å se på individuelle spenningskomponenter. Bare ved å bruke ekvivalentspenningen, som er basert på et flytkriterium, kan man korrekt bestemme om et materiale er i elastisk eller plastisk tilstand, spesielt i tilfelle av fleraksiale spenningsforhold.
Tresca kriterium
Tresca flytkriterium, også kjent som teorien om maksimal skjærspenning, foreslår at plastisk deformasjon skjer når maksimal skjærspenning når et visst nivå. Dette kriteriet er spesielt nyttig for duktilmetaller. Tresca kriteriet kan uttrykkes ved hjelp av de primære spenningskomponentene som:
Der , og er hovedspenningene. Denne formelen gir et direkte mål for maksimal skjærspenning, som er et godt mål for når plastisitet begynner å utvikle seg. Når man visualiserer Tresca kriterium i spenningsrommet, får man et prisme med seks sider, hvor aksen langs hydrostatisk stress er parallel med materialets flytretning.
I tilfelle Tresca, finner vi at skjærspenningen ved plastisk flyt er relatert til den såkalte "shear yield stress", , ved en enkel geometrisk relasjon:
Drucker-Prager kriterium
Drucker-Prager flytkriterium er en utvidelse av von Mises kriterium, som også tar hensyn til den hydrostatiske stressen. Dette kriteriet er spesielt nyttig for materialer som jord, stein og betong, som ikke følger de samme plastiske deformasjonsmønstrene som metaller. Drucker-Prager kriterium kan uttrykkes som:
Her er den første invarianten av hydrostatisk stress, er en materialspesifikk faktor, og er den skjærstyrken. Når , går kriteriet tilbake til von Mises.
Dette kriteriet gir en litt mer kompleks visualisering. I spenningsrommet, spesielt i hovedspenningsrommet, dannes et høyresirkulært kjegleformet diagram, som viser hvordan flyt oppstår under både hydrostatisk og deviatorisk stress. Dette kjegleformede diagrammet blir en sirkel i tilfelle von Mises, der radiusen er en funksjon av den hydrostatiske stressen.
Viktige betraktninger ved anvendelse av flytkriterier
I praksis er det viktig å huske på at flytkriteriene gir forskjellige resultater avhengig av materialtypen og spenningsforholdene. Von Mises kriterium er egnet for metaller som deformeres plastisk uten stor avhengighet av den hydrostatiske stressen, mens Tresca er enklere å bruke i tilfeller hvor maksimal skjærspenning er et nøkkelelement i plastisk deformasjon. Drucker-Prager derimot, er mer egnet for materialer som har større følsomhet for både volumetrisk stress og deviatorisk stress, som i tilfelle av betong eller jord.
Når man anvender disse kriteriene, er det viktig å forstå hvordan materialene reagerer på forskjellige typer belastninger. For eksempel kan Tresca kriterium være for konservativt i tilfeller der spenningsdifferensene mellom aksene ikke er så stor, og dermed kan føre til en unødvendig stram vurdering av plastisk flyt. På den annen side kan von Mises gi en mer realistisk vurdering i situasjoner med isotrop plastisitet, men vil være mindre presis for materialer som lider av betydelig volumetrisk stress.
Ekstra betraktninger
Når flytkriterier anvendes på konkrete strukturer eller materialer, er det også viktig å vurdere effekten av temperatur, skjærhastighet og andre faktorer som kan påvirke materialets oppførsel under belastning. For eksempel kan Tresca kriterium gi nøyaktige resultater ved romtemperatur, men kan avvike ved høye temperaturer hvor materialets styrke og flyteegenskaper endrer seg.
Disse vurderingene er essensielle for å forstå hvordan materialer oppfører seg under komplekse belastninger og for å sikre at konstruksjoner forblir innenfor deres elastiske område eller begynner å deformeres plastisk på en kontrollert og forventet måte.
Hvordan integrere elastoplastiske materialmodeller i finite element-metoden
Elastoplastiske simuleringer ved hjelp av finite element-metoden (FEM) utgjør et viktig verktøy for å forstå og analysere materialer som undergår plastisk deformasjon. Denne prosessen krever en nøye tilnærming, ettersom den fysiske oppførselen til materialene ikke kan beskrives med en enkel lineær elastisk modell. Fremfor å bruke en direkte tilknytning mellom spennings- og deformasjonstilstandene, er det nødvendig med en iterativ tilnærming som tar hensyn til både elastiske og plastiske effekter gjennom hvert lastetrinn. I denne sammenheng benyttes ofte prediktor-korrektor-metoder for å integrere materialligninger, og disse behandles i detalj i denne teksten.
For enkle, én-dimensjonale problemer blir materialligningen først integrert på et trinn for å beregne belastningen ved hvert individuelt steg i analysen. Når en plastisk deformasjon er involvert, finnes det ikke lenger en direkte sammenheng mellom spennings- og deformasjonskomponentene, som vi finner i rent elastiske tilfeller. Dette betyr at den klassiske finite element-beregningen ikke kan fullføres i ett steg, og i stedet må det benyttes en inkrementell prosess der et ikke-lineært system av ligninger løses i hvert trinn, som for eksempel med Newton-Raphson-metoden. Dette gjør det mulig å løse for de ukjente nodene i den globale stivhetsmatrisen og de eksterne kreftene som påføres systemet.
I en elastoplastisk simulering blir hver tilstand beregnet trinnvis, hvor for hver integrasjonspunkt i simuleringen (ofte referert til som Gauss-punkter) må både spennings- og deformasjonsvariablene kalkuleres. Den numeriske integreringen kan dermed bli en kompleks prosess som krever presis håndtering av både elastiske og plastiske komponenter i materialmodellen. Når prediktor-korrektor-metoden benyttes, starter prosessen med å beregne en prøve-spenningstilstand, som deretter korrigeres basert på den faktiske plastiske responsen av materialet.
Den første fasen i prediktor-korrektor-metoden innebærer å anta at materialet oppfører seg elastisk i det aktuelle trinnet, og spenningsendringen beregnes ved hjelp av en elastisk prediktor. Dette innebærer at man antar en lineær sammenheng mellom stress og strain, hvor stressen i neste trinn (σ_trial) beregnes ved hjelp av den elastiske modulen og den siste strain-økningen. Hardheten i materialet forblir uendret i denne testen, og det antas at belastningen på materialet skjer uten plastisk deformasjon.
Deretter, basert på prøvespenningstilstanden, kan man bestemme om systemet forblir innenfor den elastiske regionen eller om det går ut over denne, og dermed utløser plastisk deformasjon. Hvis prøvespenningene ikke overskrider grensen for elastisk deformasjon (det vil si at de er innenfor yield-flaten), kan man bruke denne prøvespenningstilstanden som den faktiske spennings- og hardhetstilstanden for neste trinn. Men hvis prøvespenningene overskrider yield-flaten, indikerer dette plastisk deformasjon, og en plastisk korreksjon må gjøres for å bringe systemet tilbake til den gyldige spennings- og hardhetstilstanden som er på yield-flaten.
Denne tilbakeprojekteringen, eller "return mapping", er en viktig del av den iterative prosessen, der plastisk deformasjon korrigeres for å oppnå en gyldig spennings-tilstand på yield-flaten. Dette sikrer at simuleringen forblir realistisk og fysisk korrekt gjennom hele prosessen.
En nøkkelutfordring i elastoplastiske simuleringer er nøyaktigheten til integrasjonene som utføres på hvert trinn. De mest enkle numeriske metodene, som Euler-metoden, er ofte ustabile for plastisk deformasjon, ettersom de kan akkumulere globale feil. Derfor benyttes mer stabile metoder som prediktor-korrektor for å sikre at simuleringen gir pålitelige resultater uten unødig feilakkumulering.
Videre er det viktig å merke seg at elastoplastiske analyser ikke kun er begrenset til én-dimensjonale problemer, men kan generaliseres til mer komplekse multaksiale stress-tilstander. Selv om det i denne teksten er fokus på én-dimensjonale systemer, er de samme prinsippene anvendelige i multidimensjonale sammenhenger, hvor stress og strain involverer flere komponenter.
Når man arbeider med FEM for elastoplastiske materialer, er det derfor essensielt å ha en dyp forståelse av både materialegenskaper og de numeriske metodene som brukes for å løse de tilknyttede ligningene. De prediktor-korrektor metodene gir et balansert og stabilt verktøy for å håndtere kompleksiteten i plastiske materialmodeller, og gir muligheten til å gjennomføre nøyaktige simuleringer av materialers oppførsel under forskjellige lastbetingelser.
Det er avgjørende å forstå at elastoplastiske simuleringer ikke bare handler om å løse for spennings- og deformasjonsverdier, men også om å finne den riktige balansen mellom numerisk presisjon og stabilitet. I tillegg til den grundige behandlingen av prediktor-korrektor-metodene, bør leseren også være oppmerksom på valg av passende numeriske metoder for hver type materiale og last. Dette inkluderer vurdering av forskjellige integrasjonsteknikker og hvordan feil kan håndteres gjennom hele prosessen. For avanserte simuleringer er det også viktig å være klar over de fysiske begrensningene som kan påvirke resultater, som materialtjenestemoduler, temperaturavhengighet, og tidseffekter på plastisk deformasjon.
Hvordan forstå lastens retning, reversibel last og syklisk last i plastisitetsteori?
I de tidligere seksjonene har vi behandlet kun monotone påkjenninger i enten strekk- eller kompresjonsområder. Nå skal vi kort gjennomgå tilfellene der påkjenningens retning kan endres. I Figur 2.5a ser vi på lastingen i elastisk område (0 → 1) og elastoplastisk område (1 → 2), fulgt av elastisk avlastning (2 → 3) og elastisk reloading (3 → 2). I tilfelle av Figur 2.5b, blir elastisk avlastning (2 → 3) fulgt av reversibel last (3 → 4). En viktig egenskap som bør fremheves her, er at avlastningsfasen (2 → 3) kan beskrives med hjelp av Hookes lov, jf. Eq. (1.9).
Når vi ser på syklisk last, der et materiale utsettes for varierende belastninger F(t), får vi noen karakteristiske stresskvantiteter som vises i Figur 2.6b. Stressområdet Δσ er forskjellen mellom maksimum og minimum spenning, Δσ = σ_max − σ_min. Spenningsamplituden σ_a er halvparten av stressområdet: σ_a = Δσ / 2. Den såkalte spenningsforholdet R brukes ofte for å karakterisere spenningsnivået i sykliske tester. Formelen er gitt som R = σ_min / σ_max, hvor R = −1 karakteriserer en fullt reversert lastsyklus, R = 1 står for statisk lasting, og R = 0 refererer til tilfeller der den gjennomsnittlige stressen er positiv og lik spenningsamplituden.
Sykliske tester er viktige i materialtesting for å bestemme komponentenes og strukturenes utmattingsliv. Ved å påføre materialet vekslende påkjenninger kan vi studere hvordan det reagerer på belastninger som oppstår over tid, spesielt når materialet gjennomgår mange sykluser med belastning og avlastning. Dette gir et viktig grunnlag for å forstå materialers utmattingsbestandighet, som er essensielt i designen av komponenter som utsettes for gjentatte påkjenninger.
Viktige referanser i denne sammenhengen inkluderer bøker og artikler som omhandler kontinuitetsmekanikk og plastisitetsteori, som de av Altenbach og Öchsner (2020), Simo og Hughes (1998), samt Betten (2001). For ytterligere detaljer om syklisk last og materialers respons, kan man konsultere spesifikke studier om utmattingsliv, som for eksempel Schijve (2001) og Pook (2007).
Det er også viktig å merke seg at i syklisk lasttesting kan de materielle egenskapene endres med antallet sykluser og belastningens karakter. Etter flere sykluser kan et materiale utvikle mikrosprekker som svekker det strukturelle integriteten, selv om det fortsatt ser ut til å ha tilstrekkelig styrke ved enkel testing. Dette fenomenet er spesielt viktig å forstå i forbindelse med strukturell design, der sikkerheten ikke bare avhenger av materialets initiale styrke, men også av hvordan det reagerer på langvarig og repetitiv belastning.
Syklisk belastning kan også føre til plastisk deformasjon, og i mange tilfeller vil materialet gjennomgå både elastiske og plastiske deformasjoner avhengig av hvor stor last det er utsatt for. Dette krever at man i modeller for plastisitet tar hensyn til både elastisk og plastisk oppførsel under slike lastforhold.
I materialtesting for utmattingsbestandighet er det vanlig å utføre spesifikke tester som R=0 for å simulere belastninger med positiv gjennomsnittlig stress og R=−1 for å teste materialets reaksjon under fullt reverserte sykluser. Disse testene gir oss informasjon om hvordan materialet responderer til varierende belastning over tid og hjelper oss å forutsi komponentens levetid under normale driftsforhold.