Hvordan kvasi-integrable Hamiltoniske systemer reagerer på eksterne og interne resonanser under støyeksitasjon

$$\int Q_i U_i(Q_i) = g_i(x)dx,$$

$$Q_i(t) = A_i \cos \varphi_i(t) + B_i, \quad P_i(t) = -A_i \nu_i(A_i, \varphi_i) \sin \varphi_i(t), \quad \varphi_i(t) = \varphi_i(t) + \epsilon_i(t),$$

$$U_i(A_i + B_i) = U_i(A_i - B_i) = H_i.$$

$$\nu_i(A_i, \varphi_i) = \sqrt{\frac{d}{dt}\left[U_i(A_i + B_i) - U_i(A_i \cos \varphi_i + B_i)\right]}.$$

Det er viktig å merke seg at frekvensene for hvert subsystem $i$ kan anses som en funksjon av $A_i$ og $\varphi_i$. For å forenkle videre analyse, definerer vi den gjennomsnittlige frekvensen $\omega_i(A_i)$ av subsystemet som

Ved å bruke denne definisjonen kan vi gjøre en approksimasjon av $\varphi_i(t)$ som

Transformasjonen $Q_i, P_i \rightarrow A_i, \varphi_i$ fører til et nytt sett av differensialligninger som beskriver systemets dynamikk. For de n subsystemene, etter transformasjonen, får vi:

hvor $\xi_k(t)$ representerer støyprosesser som påvirker systemet. Dette kan også skrives for de andre koordinatene som beskriver systemets tidavhengige bevegelse:

Denne formuleringen tar hensyn til både interne og eksterne resonanser i systemet, som oppstår når subsystems naturlige frekvenser $\omega_i(A_i)$ og de harmoniske eksitasjonsfrekvensene $\omega_r$ er i resonans. For resonans tilstander kan vi anta at forholdene mellom de forskjellige frekvensene for systemet tilfredsstiller relasjonene:

hvor $E_u^r$ og $I_u^i$ er hele tall, og $\epsilon \chi_u$ er en liten avkoblingsparameter. Hvis denne resonansen er til stede, fører det til en ny sett av bevegelsesligninger for de resulterende vinklene $\psi_u$, som er en lineær kombinasjon av de originale vinkelvariablene.

Denne dynamikken kan videre beskrives som

der $V_i(A, \varphi)$ representerer den deterministiske drivkomponenten og $\sigma_i^{(1)}(A)$ er diffusjonskoeffisientene som relaterer støyprosessen til systemets bevegelser.

For systemer som involverer flere subsystems og støyprosesser, som for eksempel i eksempelet med to koblede Duffing-oscillatorer, kan man bruke ligningene for akselerasjonene og de harmoniske forstyrrelsene:

der $\xi_k(t)$ representerer bredbåndsstøyen som påvirker systemet. Den transformerte beskrivelsen gjør det mulig å finne en effektiv numerisk tilnærming for løsningen av slike komplekse systemer, og videre kan man bruke den stochastiske gjennomsnittsmetoden for å få en forståelse av hvordan systemet reagerer på eksterne støyeksitasjoner og resonanser.

Hvordan kan man utlede optimal kontroll i stokastiske kvasi-Hamiltonske systemer?

I analysen av kvasi-Hamiltonske systemer utsatt for stokastiske forstyrrelser er målet ofte å finne en optimal kontrollstrategi som minimerer en kostnadsfunksjonal innenfor en gitt tidsramme. Systemets dynamikk beskrives av Itô-ligninger, og kontrollstrategien u(2) påvirker både systemets bane og kostnaden assosiert med kontrollen. I dette rammeverket formuleres kontrollproblemet som en variasjonsoppgave hvor den totale kostnaden – bestående av en løpende kostnadsfunksjon f og en sluttkostnad g – skal minimeres.

Verdi­funksjonen V(h, t) representerer den forventede kostnaden fra et gitt tidspunkt t og til sluttidspunktet tf, betinget på at systemet befinner seg i tilstand h ved tid t. Dynamisk programmering gir da en parabolsk partiell differensialligning, hvor den optimale kontrollen fremkommer ved å minimere høyresiden av ligningen med hensyn til kontrollen u(2). Den nødvendige betingelsen for optimalitet leder til et uttrykk der kontrollkraften uttrykkes eksplisitt i form av den partielle deriverte av verdifunksjonen. Dette gir en negativ, ikke-lineær tilbakekoblingslov som i hovedsak virker dempende når ∂V/∂h > 0.

Et viktig særtilfelle oppstår når kostnadsfunksjonen har kvadratisk form i kontrollvariabelen, f(h, u(2)) = f1(h) + u(2)^T R u(2), der R er en positivt definit symmetrisk matrise. Da får man et lukket uttrykk for optimal kontrollkraft:
u(2)* = −(1/2) R⁻¹ ∂V/∂h ∂h/∂p.
Denne kontrollen er proporsjonal med den generaliserte hastigheten og avledet av verdifunksjonens gradient, noe som gjør den egnet til implementering i fysiske systemer.

Når kontrollkraften er underlagt en grense, |u_i| ≤ b_i, fører dette til en annen type optimal styring – kjent som bang-bang-kontroll. Her er kontrollkraften konstant i størrelse, men skifter retning avhengig av fortegnet på den generaliserte hastigheten. Uten behov for løsning av en differensialligning, følger styringsloven direkte:
u(2)* = −b_i · sgn(Q̇_i).
Denne typen kontroll er særlig nyttig når fysisk implementering krever enkle, binære kontrollhandlinger, for eksempel i mekaniske systemer med tørre friksjonselementer.

For asymptotisk analyse over uendelig horisont vurderes ergodisk optimal kontroll, der kostnadsfunksjonen representerer et tidsgjennomsnitt. Her brukes en annen verdi­funksjon som tilfredsstiller en ikke-homogen ordinær differensialligning med konstant γ, som representerer den minimale gjennomsnittlige kostnaden. Ligningen inneholder fortsatt bidrag fra kontrollvariabelen og løses analogt, hvor optimal kontrollkraft igjen uttrykkes som en funksjon av verdi­funksjonens gradient.

Ved å substituere de optimale kontrollene tilbake i den stokastiske Itô-ligningen, får man en ny, gjennomsnittlig dynamikk for systemets Hamilton-funksjon. Den resulterende ligningen:
dH = m(H)dt + σ(H)dB(t),
beskriver utviklingen av systemets energi under optimal kontroll. Her inngår kontrollkraftens virkning i driftleddet m(H), og støyens effekt opprettholdes i diffusionsleddet σ(H).

For eksempel i et kontrollert Duffing-oscillatorsystem – hvor kontrollen deles i to komponenter, en for å linearisere stivheten (u(1)) og en for å styre responsen (u(2)) – viser det seg at implementering av optimal kontroll reduserer variabiliteten og stabiliserer systemet selv under påvirkning av hvit Gaussisk støy.

Det er viktig å merke seg at ved implementering av optimal kontroll i praksis, må man forholde seg til systemets fysiske begrensninger, nøyaktigheten i modellene og tilgangen på sanntidsinformasjon om systemets tilstand. Dessuten forutsetter hele rammeverket at stokastiske størrelser som inngår i modellen kan estimeres presist, noe som i mange anvendelser krever en solid forståelse av både systemets fysikk og statistisk signalbehandling.