Order parametere er sentrale begreper i teorien om faseoverganger og kritiske fenomener. De gir en kvantitativ måte å beskrive systemer som gjennomgår overgang fra en fase til en annen. En orden parameter defineres som et mål på symmetribrudd i systemet, og dens verdi bestemmer hvilken tilstand systemet befinner seg i. I mange tilfeller kan partitionfunksjonen uttrykkes som et integral Z=∫dϕe−L(ϕ)Z = \int d\phi e^{ -L(\phi)}, der den stasjonære punkten av integralet korresponderer til den termiske gjennomsnittlige verdien av en mikroskopisk observabel, og dermed tilfredsstiller Landau-definisjonen av en orden parameter.

I det uendelige rekkevidde Ising-modellen er den globale orden parameteren m=⟨∑iSi⟩m = \langle \sum_i S_i \rangle, som beskriver den totale magnetiseringen til systemet. Magnetiseringen mm er null over kritisk temperatur TcT_c og ikke-null under TcT_c, noe som indikerer en førsteordens faseovergang. For å formulere en partitionfunksjon i denne sammenhengen, kan vi benytte den relevante integralen for ZZ som involverer en global orden parameter. Men i tillegg til de globale parameterne som beskriver systemets totale egenskaper, kan det være nyttig å introdusere lokale orden parametere som beskriver egenskapene til systemet på spesifikke steder. For eksempel, i magnetiske systemer, vil den lokale orden parameteren være nq=⟨Si⟩n_q = \langle S_i \rangle for et gitt punkt, mens den globale magnetiseringen mm vil være summen over alle punktene i systemet.

Landau-energien L(p,H)L(p, H), som opptrer i integralet for partitionfunksjonen, tilfredsstiller definisjonen av Landau-funksjonen, og minimumet av denne funksjonen dominerer Z i stasjonær faseapproximering. Dette minimumet indikerer systemets tilstand ved lav temperatur, og den relevante fysikken kan beskrives gjennom en analyse av minimumet av Landau-energien.

Ved førsteordens faseoverganger vil orden parameteren endre seg diskontinuerlig, mens ved andreordens faseoverganger skjer denne endringen kontinuerlig. I det uendelige rekkevidde Ising-modellen vil mm endre seg diskontinuerlig når det påføres en ekstern magnetisk felt HH som krysser null under temperatur TcT_c, noe som resulterer i en førsteordens faseovergang. Når temperaturen er nær kritisk temperatur TcT_c, vil systemets respons på HH være mer kompleks, og de kritiske eksponentene vil være viktige for å forstå oppførselen.

Kritiske eksponenter er kvantiteter som beskriver hvordan fysiske observabler som order parameteren, magnetisering, eller spesifikk varmekapasitet endrer seg nær en faseovergang. Disse eksponentene, som β\beta, γ\gamma, og δ\delta, kan gi innsikt i hvordan systemet oppfører seg i nærheten av kritiske punkter, og hvordan de fysiske egenskapene divergerer ved en andreordens faseovergang. Spesielt, for en andreordens overgang, vil susceptibiliteten (responsen på et infinitesimalt magnetisk felt) divergere, og de relevante kritiske eksponentene kan beskrives av formelen χ∼∣T−Tc∣−γ\chi \sim |T - T_c|^{ -\gamma}.

En annen viktig parameter i analysen av faseoverganger er den konjugerte feltet, som er et felt som kobles lineært til den mikroskopiske variabelen som utgjør orden parameteren. For eksempel, i Ising-modellen er det eksterne magnetiske feltet HH det konjugerte feltet, fordi det bryter degenerasjonen i systemet og driver overgangene fra en fase til en annen. Når HH blir null ved kritisk temperatur TcT_c, vil oppførselen til orden parameteren kunne beskrives av et kritisk eksponent δ\delta, som avhenger av hvordan mm endrer seg i forhold til HH.

Universelle fenomener i fysikk antyder at forskjellige systemer som tilhører samme universelle klasse kan ha identiske kritiske eksponenter, til tross for at de kan være fysiske sett forskjellige. For eksempel, både ferromagnetiske og antiferromagnetiske materialer kan tilhøre samme universelle klasse, fordi de er begge karakterisert av en spin-lignende orden parameter. Andre systemer, som flytende-gassoverganger og ulike legeringer, kan også vise universelle egenskaper, og de samme kritiske eksponentene kan beskrive deres oppførsel ved faseoverganger.

Symmetribrudd er en viktig mekanisme i mange faseoverganger. For eksempel, i det magnetiske systemet, hvor spins er ordnet på en måte som bryter symmetrien til systemet (som ved magnetisering), er dette et eksempel på symmetribrudd. Dette bruddet kan skje ved et kritisk punkt, der systemet går fra en høy-symmetrisk tilstand til en lav-symmetrisk tilstand, som manifesterer seg i et ikke-null verdi for orden parameteren. I mange tilfeller vil symmetribrudd styres av den konjugerte feltet, som bryter degenerasjonen av de forskjellige tilstandene i systemet.

Det er viktig å merke seg at i visse tilfeller kan orden parameteren være en ikke-målbar størrelse eller ha en svært kompleks natur, som i tilfeller med spin-glass systemer, hvor de mikroskopiske egenskapene er forbundet med uavhengige og tilfeldige variasjoner i systemets tilstand.

Hvordan analysere ustabilitet i uniform gass: RPA-respons og dens implikasjoner

I Problem 1.0 ble det vist at en uniform gass bestående av fermioner som interagerer med repulsive δ-funksjonskrefter i én dimensjon har en bindingenergi per partikkel som er omtrent 10 % høyere enn en samling av klynger bestående av (2S + 1) fermioner i grunnstaten. Dette indikerer at gassen er ustabil mot fluktuasjoner. Det er viktig å merke seg at perturbasjonsteorien for grunnstateenergien ikke avslører slike instabiliteter, og derfor er det mer hensiktsmessig å undersøke responsfunksjonen. Når alle RPA-modusene (Random Phase Approximation) har positive frekvenser, er systemet stabilt i forhold til alle infinitesimale fluktuasjoner. Hvis det på et bestemt bølgetall qq finnes en mode med ω=0\omega = 0, er denne modusen selvopprettholdende – det koster ingen energi å skape den. I områder av qq hvor ω\omega er kompleks, vil modusen vokse eksponentielt, og systemet blir ustabilt.

En viktig oppgave er å beregne RPA-responsfunksjonen for å undersøke instabilitetene ved alle bølgetall og partikkeldensiteter. Dette kan relateres til resultatene som allerede er oppnådd i Problem 1.7 og Problem 1.9d, hvor langsom bølgelengde stabilitet ble analysert.

Videre er det nødvendig å bestemme området av qq der densiteten i likevekt blir ustabil. Det er også interessant å sammenligne bølgelengden til instabilitetene med størrelsen på en grunnstateklynge av (2S + 1) partikler og forklare dette resultatet fysisk. Dette gir en dypere forståelse av de mikroskopiske prosessene som driver ustabiliteten i systemet.

En annen viktig tilnærming som kan brukes til å analysere slike systemer er å bruke den klassiske plasmaoscillasjonen i RPA. Ved å vise at RPA-modusen i en elektron-gass tilsvarer plasmafrekvensen som er avledet klassisk, kan man få innsikt i dynamikken av densitetsfluktuasjoner. Ved å kombinere kontinuitetsekvationen med bevegelsesligningen for densitetsfluktuasjonen Δp=p−p0\Delta p = p - p_0 og hastigheten, og bruke Maxwell-ligningen, kan man finne en frekvens ω=m\omega = m som beskriver systemets kollektivbevegelse på en mikroskopisk skala.

I tilfelle av tidavhengige Hartree-Fock approksimasjoner (TDHF) kan man bruke ligningen for G(r⃗,t)G(\vec{r}, t) til å utvikle en uendelig rekke av ligninger som beskriver utviklingen av fluktuasjoner i systemet. Ved å anta at partiklene utvikler seg uavhengig, kan man finne en løsning som gir en tilnærming til RPA.

RPA, som er et viktig verktøy i studiet av kvantemekaniske fluktuasjoner i mange- og partikelsystemer, er nært relatert til kvantemekaniske eksitasjoner i systemer nær Fermi-sfæren. Selv om det ikke nødvendigvis gir nøyaktige prediksjoner for sterke interaksjoner i grunnstaten, er det svært nyttig for å beskrive responser og små avvik fra grunnstaten i systemer som opplever svake interaksjoner.

Det er også relevant å nevne at Green's funksjoner, som brukes til å beskrive eksitasjonene i systemer som ikke er i deres laveste energi tilstand, spiller en sentral rolle i å analysere RPA-modusene og deres egenskaper. Disse funksjonene kan brukes til å finne ut hvilke diagrammer som bidrar til de fysiske observablene som energisummen og andre relevante kvantiteter. Ved å bruke Green's funksjoner kan man finne frem til hvilke eksitasjoner som er til stede i systemet og analysere deres stabilitet.

Det er også viktig å merke seg at i mange situasjoner, spesielt for fermioner, vil tilnærmingen som brukes i teorier som Martin-Schwinger og TDHF gi et mer eksakt bilde av systemets respons, som igjen gir verdifull informasjon om hvilke fluktuasjoner som kan forårsake instabilitet i systemet.

Hvordan funksjonelle integraler kan gi nye perspektiver på utviklingsoperatorer i fysikk

Funksjonelle integraler har vist seg å være et kraftig verktøy for å finne både effektive og elegante løsninger på fysiske problemer som ellers kunne vært løst med andre teknikker. Dette kapittelet, og de neste, adresserer en rekke problemer hvor funksjonelle integraler gir unike innsikter og tilnærminger. I den første delen vil vi vise hvordan man kan generere ulike representasjoner av utviklingsoperatoren, som gir opphav til forskjellige fysiske tilnærminger i stasjonær-fase-approksimasjonen. I neste seksjon diskuterer vi hvordan man kan utføre en generell saddle point-approksimasjon rundt en statisk mean-field-løsning og utlede en ekspansjon i termer av de fundamentale kvasi-partiklene i systemet.

Funksjonelle integraler kan brukes til å formulere alternative representasjoner for utviklingsoperatoren, og disse representasjonene kan gi ulike fysiske tilnærminger avhengig av hvordan de anvendes i stasjonær fase. Et klassisk eksempel er Feynman-stienintegral, som man får ved å sette inn komplette sett av koordinattilstander. Dette gir de klassiske bevegelseslikningene. På den andre siden, hvis man bruker boson-kohærente tilstander i funksjonelle integraler, får man frem den såkalte Hartree-ligningen for bølgefunksjonen til Bose-kondensatet. Denne friheten i formuleringen av funksjonelle integraler åpner for en rekke alternative tilnærminger, og denne friheten kan utnyttes for å gjøre fysiske tilnærminger som er mer hensiktsmessige for bestemte systemer. I denne sammenhengen vil vi fokusere på fermionsystemer, ettersom modifikasjonene for bosoner er relativt enkle å tilpasse.

For et fermionsystem kan Hamiltonianen uttrykkes som en sum av en én-partikkel operator og en to-partikkel interaksjon. Det er nyttig å omstrukturere Hamiltonianen for å lettere kunne håndtere den i videre analyser. Ved å bruke en transformasjon introdusert av Stratonovich (1957) og Hubbard (1958), kan man skrive utviklingsoperatoren som et integral over én-partikkel utviklingsoperatorer. Denne transformasjonen er i essens en operatormessig form av den kjente Gauss-identiteten. Ikke-kommutativiteten i de to termene i Hamiltonianen håndteres ved å dele opp integralet i små skiver, og i den stasjonære faseapproksimasjonen kan man få frem et mer håndterbart uttrykk for systemets utvikling.

Etter å ha gjort de nødvendige transformasjonene, kan utviklingsoperatoren skrives som et integral over et hjelpefelt, hvor tidsindeksen kan gå kontinuerlig fra et initialt til et sluttidspunkt. Dette gjør det mulig å bruke det som et verktøy for å utføre ulike fysiske beregninger, som å beregne overgangs-amplituder mellom bestemte tilstander, approximere kvante-eigenstater, studere barrieretrengning og spontan fisjon, samt evaluere asymptotisk atferd ved høye ordener i perturbasjonsteori.

Det finnes mye fleksibilitet i valget av hvordan man representerer Hamiltonianen gjennom hjelpefelt. For eksempel, dersom man velger å uttrykke Hamiltonianen på en annen måte, kan man få alternative funksjonelle integraler som fører til Hartree-Fock eller pairing mean-field-løsninger i stasjonær fase. Denne fleksibiliteten i formuleringen av hjelpefelt gir en bredere verktøykasse for å tilpasse tilnærminger til de spesifikke fysikk-problemene man jobber med. I praksis er valget av hvilken representasjon man bruker for hjelpefeltet avhengig av systemet man studerer, og de fysiske egenskapene til problemet.

Funksjonelle integraler kan også benyttes til å kombinere ulike tilnærminger for å oppnå en mer nøyaktig beskrivelse av systemet. For eksempel, ved å kombinere Hartree- og Fock-tilnærmingene kan man utvikle en Hartree-Fock-Bogoljubov mean-field, som er nyttig i tilfeller hvor man studerer superledere eller andre systemer hvor paringseffekter spiller en rolle.

En annen viktig egenskap ved disse tilnærmingene er at de gir god kontroll over perturbasjonsteori. Selv om de funksjonelle integrale representasjonene som presenteres her, på overflaten ser ut til å være forskjellige, gir de samme fysiske observablene når man tar stasjonær-fase-approksimasjonen. Dette betyr at valget av hvilken representasjon man bruker, ikke nødvendigvis påvirker de fysiske resultatene, men kan gjøre beregningene enklere eller mer praktiske i ulike sammenhenger.

Det er essensielt å merke seg at metodene beskrevet her gjelder spesifikke typer systemer, som fermioniske systemer, og at tilpasningene for bosoniske systemer, mens de er mer direkte, kan kreve andre tilnærminger for å oppnå optimale resultater. Likevel gir disse funksjonelle integralene et kraftig rammeverk som kan brukes til å løse et bredt spekter av problemer i kvantefysikk og statistisk mekanikk.

Hvordan handle i de tradisjonelle arabiske basarene: en kulturell guide
Hvordan optimalisere ytelsen til bølgekraftenheter i et array?
Hvordan bruke Maxima for å analysere trusse- og rammestrukturer med finitte elementer