Hvordan analysere varmestrøm med variable kilder og tidsavhengige rammebetingelser?

Varmetransportmodeller, som varmelikningen, beskriver temperaturutviklingen i et medium over tid, og kan inkludere både interne varmekilder og rammebetingelser som varierer med tid. En typisk tilnærming til slike problemer innebærer bruk av Fourierserier for å finne løsninger som kan håndtere både de romlige og tidsmessige avhengighetene i systemet.

For et system beskrevet ved varmelikningen:

med tidsavhengige rammebetingelser:

og initialbetingelsen:

modellerer denne formelen temperaturen $u(x, t)$ i et ett-dimensjonalt medium, hvor $k$ er termisk diffusivitet og $Q(x, t)$ representerer varmegenerering som kan være avhengig av både posisjon og tid. De tidsavhengige rammebetingelsene spesifiserer at temperaturene ved endepunktene på det ene dimensjonale mediet er gitt ved $A(t)$ og $B(t)$, snarere enn faste verdier.

En løsning til dette problemet begynner med å finne en funksjon $p(x, t)$ som tilfredsstiller de tidsavhengige rammebetingelsene. Den enkleste løsningen for $p(x, t)$ er en lineær interpolasjon mellom endepunktene:

Deretter transformerer vi det opprinnelige problemet til et nytt problem med homogene rammebetingelser ved å definere en ny funksjon $v(x, t) = u(x, t) - p(x, t)$. Dermed får vi den forenklede varmelikningen for $v(x, t)$:

Med homogene rammebetingelser:

og initialbetingelsen for $v(x, 0)$:

Dette gir et system som kan løses ved hjelp av egenfunksjonsutvidelse. Egenfunksjonene $\phi_n(x)$ til den homogene varmelikningen $v_t = k v_{xx}$, med homogene rammebetingelser, utgjør et passende basissett for å representere løsningen $v(x, t)$. Løsningen for $v(x, t)$ uttrykkes som en Fourier-serie:

Der $a_n(t)$ er tidsavhengige koeffisienter som må bestemmes. For $Q(x, t)$, som er den romlige og tidsavhengige varmekilden, kan den også representeres som en Fourier-serie:

Hvor de tidsavhengige koeffisientene $q_n(t)$ finnes ved å bruke integralet:

Deretter setter vi disse inn i den differensierte formen av varmelikningen for $v(x, t)$:

Ved å sammenligne koeffisientene for hver $\phi_n(x)$, får vi det nødvendige systemet:

Dette er et førsteordens differensialligningssystem for hver $a_n(t)$, som kan løses ved hjelp av variasjon av parametere, og gir en generell løsning for $a_n(t)$.

Når de tidsavhengige koeffisientene $a_n(t)$ er funnet, kan den totale løsningen for $v(x, t)$ skrives som:

Den endelige løsningen for det opprinnelige problemet, $u(x, t)$, finnes ved å legge til $p(x, t)$:

En annen interessant tilfelle er når varmekilden er uavhengig av posisjon, dvs. $Q(x, t) = q(t)$, og rammebetingelsene er homogene, $A(t) = B(t) = 0$. I dette tilfellet forenkles løsningen betydelig, og problemstillingen kan håndteres ved direkte bruk av Fourier-serier, som i eksemplet for et kildeproblem med $Q(x, t) = q(t)$.

For mer spesifikke situasjoner kan det være nødvendig å utføre numeriske beregninger for å finne løsningen, spesielt når kildetermen $Q(x, t)$ er kompleks eller rammebetingelsene $A(t)$ og $B(t)$ er svært uregelmessige.

For å forstå denne prosessen fullt ut, er det viktig å kjenne til hvordan Fourier-serier og egenfunksjonsutvidelser fungerer, samt ha en god forståelse av hvordan differensialligninger kan løses ved hjelp av variasjon av parametere. Det er også viktig å merke seg at de spesifikke løsningene som finnes, avhenger sterkt av de valgte rammebetingelsene og den eksakte formen på varmekilden $Q(x, t)$.

Hvordan bruke Fourier-transformasjon i løsningene av diffusions- og bølgelikninger

Fourier-transformasjon er et kraftig verktøy som tillater oss å løse mange typer partielle differensialligninger. I denne delen skal vi fokusere på ulike anvendelser av Fourier-transformasjon for å løse diffusjonslikninger, Schrodinger-likningen, Laplace-likningen og bølgelikningen. Vi vil bruke Fourier-integraler for å uttrykke løsninger, og undersøke hvordan spesifikke betingelser påvirker disse løsningene.

La oss begynne med den klassiske diffusjonslikningen, som beskriver hvordan en temperatur (eller en annen fysisk størrelse som sprer seg) utvikler seg over tid. Den er gitt som:

med initialbetingelsen $u(x, 0) = f(x)$, der $f(x)$ er en kjent funksjon som beskriver initialtilstanden ved $t = 0$.

Ved å bruke Fourier-transformasjon på denne ligningen, antar vi at $U(k, t)$ er Fourier-transformasjonen av $u(x, t)$. Fourier-transformasjonen konverterer den opprinnelige differensialligningen til en enklere algebraisk form. Etter å ha utført Fourier-transformasjonen på systemet, får vi den forenklede ligningen:

Den generelle løsningen til denne ligningen er:

Ved å bruke initialbetingelsen $U(k, 0) = F(k)$, der $F(k)$ er Fourier-transformasjonen av den initiale tilstanden $f(x)$, finner vi at $C = F(k)$, og derfor blir løsningen til systemet:

Vi kan nå rekonstruere $u(x, t)$ ved å bruke inverse Fourier-transformasjonen:

Denne løsningen representerer hvordan systemets tilstand utvikler seg over tid, og kan brukes til å analysere forskjellige typer diffusjonsproblemer. For eksempel, ved å bruke convolusjonsteoremet kan løsningen skrives på en annen måte, og med ρ = 1, får vi:

Her er $e^{ -\frac{(x−ξ)^2}{4t}}$ Green’s funksjon for diffusjonsligningen, som beskriver hvordan informasjon spres fra et punkt til et annet i systemet.

En annen viktig anvendelse av Fourier-transformasjon er Schrodinger-likningen, som er en grunnleggende ligning i kvantemekanikken. Den beskriver hvordan kvantetilstanden til et system utvikler seg over tid. Den generelle Schrodinger-likningen kan skrives som:

med initialbetingelsen $u(x, 0) = f(x)$. Etter Fourier-transformasjon får vi den modifiserte ligningen:

og løsningen til denne ligningen blir:

Ved å bruke inverse Fourier-transformasjon, får vi løsningen:

Denne løsningen er et viktig verktøy i kvantemekanikk, da den lar oss analysere hvordan bølger i et kvantemekanisk system utvikler seg over tid.

Når vi går videre til Laplace-likningen, som beskriver hvordan et fysisk system i en halvplan utvikler seg under steady-state forhold, får vi et annet eksempel på hvordan Fourier-transformasjon kan brukes til å løse problemer med randbetingelser. Laplace-likningen i en halvplan $y > 0$ er:

med randbetingelsen $u(x, 0) = f(x)$, der $f(x)$ er en kjent funksjon. Fourier-transformasjon i $x$-retningen gir en enklere differensialligning:

med den transformerte randbetingelsen $U(k, 0) = F(k)$. Løsningen på denne ligningen er:

Den inverse Fourier-transformasjonen gir løsningen for $u(x, y)$:

Dette gir en løsning på Dirichlet-problemet i halvplanet, som kan være nyttig i mange praktiske anvendelser, som for eksempel i elektrostatikk og varmeledning.

I tilfeller der vi har Robin-betingelser, kan løsningen fortsatt finnes ved en modifisert tilnærming. For eksempel, ved å bruke Fourier-transformasjon på Laplace-likningen med Robin-betingelser, kan løsningen fås som:

Slike løsninger er viktige i både matematisk fysikk og ingeniørvitenskap, spesielt når det gjelder problemstillinger relatert til varmeflyt, elektriske potensialer og mer.

Når vi ser på bølgelikningen, som beskriver vibrasjoner i en streng eller bølger på en overflate, får vi en ligning av formen:

med initialbetingelsene $u(x, 0) = f(x)$ og $u_t(x, 0) = g(x)$. Ved å bruke Fourier-transformasjon på denne ligningen i $x$-retningen, får vi et system som kan løses ved hjelp av kjente metoder fra Fourier-analyse.

Den generelle løsningen til bølgelikningen kan skrives som:

Denne løsningen representerer vibrasjonene i en streng, og Fourier-transformasjonen gjør det mulig å analysere hvordan bølgen utvikler seg over tid i et kontinuerlig medium.

For en bedre forståelse er det viktig å merke seg at Fourier-transformasjon kan brukes til å løse forskjellige typer partielle differensialligninger med ulike randbetingelser og initialforhold. De spesifikke løsningene som oppnås, avhenger sterkt av de fysiske og matematiske forutsetningene som er involvert i det aktuelle problemet.

Hvordan omdanner vi en PDE til en ODE ved hjelp av karakteristiske koordinater?

I studiet av førsteordens lineære partielle differensiallikninger (PDE), er en av de mest effektive metodene for å finne løsninger å bruke en transformasjon av koordinater som reduserer PDE til en ordinær differensiallikning (ODE). Når vi har en PDE på formen

  A(x, y)·ux + B(x, y)·uy + C(x, y)·u = G(x, y),

kan vi forsøke å finne nye variabler ξ(x, y) og η(x, y) slik at likningen uttrykt i disse koordinatene tar en enklere form, helst en separabel ODE.

Transformasjonen av koordinater gis ved

  ξ = c₁₁x + c₁₂y,
  η = c₂₁x + c₂₂y,

der konstantene c₁₁, c₁₂, c₂₁, c₂₂ velges slik at PDE-en forenkles. Ved å bruke kjerneregelen får vi de partielle derivertene uttrykt i de nye koordinatene:

  ux = uξ·ξx + uη·ηx = c₁₁·uξ + c₂₁·uη,
  uy = uξ·ξy + uη·ηy = c₁₂·uξ + c₂₂·uη.

Ved å sette dette inn i PDE-en og gruppere leddene, får vi:

  (A·c₁₁ + B·c₁₂)·uξ + (A·c₂₁ + B·c₂₂)·uη + C·u = 0.

Vi kan nå velge koeffisientene slik at det ene leddet elimineres. For eksempel, antar vi at A ≠ 0, og setter:

  c₁₁ = 1, c₁₂ = 0, c₂₁ = B, c₂₂ = −A.

Dette gir ξ = x og η = Bx − Ay. Med denne transformasjonen reduseres PDE-en til

  A·uξ + C·u = 0,

som er en separabel ODE. Ved å separere variablene og løse, får vi:

  (1/u)·du = −(C/A)·dξ
  ⇒ ln|u| = −(C/A)·ξ + g(η)
  ⇒ u(ξ, η) = e^(−(C/A)·ξ)·f(η),

der f er en kontinuerlig deriverbar funksjon. Går vi tilbake til de opprinnelige variablene, får vi den homogene løsningen:

  uh(x, y) = e^(−(C/A)·x)·f(Bx − Ay).

Dersom B ≠ 0, kan dette alternativt skrives som:

  uh(x, y) = e^(−(C/B)·y)·f(Bx − Ay).

Hvis man har en partikulær løsning up til den inhomogene likningen, er den generelle løsningen:

  u(x, y) = uh(x, y) + up(x, y).

I en konkret situasjon, som i likningen ux + uy + u = x + y, med initialbetingelsen u(0, y) = y², kan man først løse den homogene delen og så finne en partikulær løsning. Velger man den homogene løsningen:

  uh(x, y) = e^(−y)·f(x − y),

og antar en partikulær løsning av typen up = a + bx + cy, får man etter innsats:

  a = −2, b = 1, c = 1
  ⇒ up(x, y) = x + y − 2.

Dermed blir den generelle løsningen:

  u(x, y) = e^(−y)·f(x − y) + x + y − 2.

Initialbetingelsen gir oss videre:

  y² = e^(−y)·f(−y) + y − 2
  ⇒ f(−y) = e^y(y² − y + 2)
  ⇒ f(k) = e^(−k)(k² + k + 2)
  ⇒ f(x − y) = e^(y−x)((x − y)² + (x − y) + 2),

og til slutt:

  u(x, y) = e^(−x)((x − y)² + (x − y) + 2) + x + y − 2.

I det spesielle tilfellet der C = 0 i den opprinnelige likningen, blir løsningen:

  u(x, y) = f(Bx − Ay),

altså konstant langs de karakteristiske linjene gitt ved Bx − Ay = K, der K er konstant. Dette kan geometrisk tolkes som at løsningen er konstant i retning av vektoren ⟨A, B⟩. De tilhørende linjene, ortogonale til ⟨B, −A⟩, danner et karakteristisk nett hvor løsningen er konstant langs hver linje.

Dette gir et fundamentalt prinsipp i løsning av førsteordens lineære PDE-er: ved å identifisere karakteristiske linjer, og utføre en koordinattransformasjon som følger disse linjene, kan problemet reduseres til en ordinær differensiallikning som er lettere å håndtere analytisk.

Dette krever at transformasjonen er inverterbar, noe som sikres ved at Jacobian-determinanten til overgangen mellom koordinater er ulik null. Man må også sikre at A og B ikke simultant er null i definisjonsområdet. Løsningen oppstår da som et produkt av en kjent funksjon Ψ(ξ, η), som er bestemt av integrasjonen av ODE-en,