Hvordan Beregne Observasjoner ved Null Temperatur med Feynman Diagrammer

Ved null temperatur kan den koherente tilstandsfunksjonen anvendes direkte i dette spesielle tilfellet ved å erstatte sporfunksjonen i partisjonsfunksjonen med forventningsverdien i en ikke-interagerende grunnstatus. Metodikken for å telle alle kontraksjoner med Feynman-diagrammer forblir uendret, og diagramreglene endres kun ved enkle justeringer i propagatorene og tilhørende faktorer.

For å begynne, uttrykkes fysiske observabler i termer av matriseelementer i den ikke-interagerende grunnstatusen, som er strengt analog med de tilsvarende termiske sporer i kapittel 2, og som deretter kan evalueres i perturbasjonsteori ved hjelp av Wick’s teorem. Som et preliminært steg evalueres propagatorene for null-temperaturutvidelsen først i null-partikkel vakuum, og resultatet anvendes deretter på et mange-Fermionsystem ved å transformere til partikkel- og hulloperatører definert relativt til den ikke-interagerende grunnstatusen.

Når vi ser på perturbasjonsteori for Fermioner, kan Bosoner behandles direkte ved å introdusere en formell spin-variabel med spin-degenerasjon lik antall partikler, slik at restriksjonen av den ikke-interagerende grunnstatusen til å være en antisymmetrisk singlet-tilstand i denne variabelen gjør den totale bølgefunksjonen symmetrisk i de fysiske variablene. I de påfølgende seksjonene vil tid-ordnet Goldstone-diagrammer bli introdusert, og grensen mot null temperatur vil bli diskutert.

Feynman-diagrammer for null temperatur kan forstås ved å benytte diagramutvidelsen for endelig temperatur, som ble oppnådd ved å uttrykke de aktuelle observablene i termer av termiske gjennomsnittsoperatører. Når disse operatørene inkludert de i diagrammene er tildelt et formelt tidssteg, kan den termiske gjennomsnittsverdien uttrykkes gjennom den ekvivalente funksjonelle integralformelen, og ved å ekspandere denne integralen i en serie av polynomer i partikkeltilstanden får vi en serie med Gaussiske integraler som produserer alle kontraksjonene som er representert av Feynman-diagrammer.

En grunnleggende idé her er å bruke komplekse konturer i t-planet for å gjøre det lettere å få de ønskede resultater for null-temperaturobservasjoner. Et kontur som roteres med en liten vinkel gir oss friheten til å behandle reelle tid-Green's funksjoner uten behov for eksplisitt analytisk fortsettelse. På den måten kan vi uttrykke observasjoner i et system som holder tidsepoker på en bestemt måte og kombinere dem med operatørene i et tid-ordnet format. Dette gjør det mulig å få til null-temperaturresultater uten å måtte analysere de termiske detaljene som ville vært nødvendige ved høyere temperaturer.

Det er viktig å merke seg at Feynman-diagrammer for null temperatur alltid representerer tidsforløpene til virtuelle eksitasjoner. Etter energi-tid usikkerhetsprinsippet kan disse eksitasjonene kun opprettholdes for begrensede tidsperioder. Dette betyr at tidsintegralene som dukker opp i diagrammene alltid er konvergerende og at hver av de sammenkoblede diagrammene er proporsjonal med 1/T for store T, hvor T er relatert til tidsfordelingen som gjelder for de forskjellige operatørene.

Zero-temperatur observasjoner kan derfor evalueres på samme måte som de for endelig temperatur, men det kreves spesifikke propagatorer som er tilpasset for null-temperaturtilfellene. Dette er et viktig skritt for å forstå hvordan vi får resultater som er relaterte til systemets grunnstatus uten å måtte ta hensyn til termiske effekter.

Hvordan Meissner-effekten og Symmetri Brytes i Fysikkmodeller

Anderson-Higgs-mekanismen oppstår i flere fysiske systemer, og eksempelet vi diskuterer her, gjelder et superledende materiale i et elektromagnetisk felt. Når et nøytralt superledende Fermigass blir ladet, omdannes de masseløse eksitasjonene av gassen til longitudinelle plasmamoduser med endelig masse. En viktig fysisk manifestasjon av denne massen er Meissner-effekten, der et påført eksternt magnetfelt kun kan trenge inn til en dybde som er omvendt proporsjonal med massen, inn i et superledermateriale. Denne effekten reflekterer hvordan feltet interagerer med materien på mikroskopisk nivå og understreker forbindelsen mellom masse og feltpenetrasjon.

Når det gjelder kritiske eksponenter og deres verdier i systemer som spin-modeller, er det vesentlig å merke seg at mean field-resultatene er nøyaktige når dimensjonen på systemet er større enn en viss kritisk verdi. I spin-modeller som den klassiske O(n)-modellen, oppstår viktige innsikter når man ser på endringer i systemets oppførsel nær faseoverganger. Det er også vesentlig å forstå hvordan tilstedeværelsen av høyere ordens termer i Landau-Ginzburg-funksjonalen kan endre faseovergangene i et system, og hvordan de kan beskrives på en matematisk presis måte.

I modeller som omhandler væske-gass faseoverganger, som beskriver et system av partikler som vekselvirker via en to-kroppspotensial, kan man analysere kritiske temperaturer og eksponenter for faseoverganger i et grand kanonisk ensemble. Dette gir oss en forståelse av hvordan et system kan gjennomgå en overgang fra en væskefase til en gassfase, avhengig av termiske forhold og partikkeltetthet.

En annen viktig observasjon er hvordan symmetri i et system kan føre til massefrie Goldstone-modes, som i sin tur påvirker hvordan systemets faser og symmetrier brytes. Disse modene kan behandles ved hjelp av spesifikke matematiske teknikker som tar hensyn til både longitudinelle og transversale fluktuasjoner i feltet.

Så, når man tar i betraktning de avanserte matematiske modellene som beskriver fysiske systemer med symmetribryting og faseoverganger, er det viktig å forstå hvordan eksitasjoner i systemet (som masseløse Goldstone-modes) kan påvirkes av forskjellige dynamikker, og hvordan dette reflekterer på mikroskopisk nivå. Dette kan ikke bare gi forståelse av spesifikke systemer som superledere, men også generelle innsikter i hvordan fysikken avhenger av symmetri og brudd på disse symmetrene på et dypt nivå.

Hvordan Temperaturpåvirkning Endrer Fysikalske Egenskaper i Normale Fermi-Væsker

Såkalte "tunge Fermion-systemer" som CeCuAsSi2, UPt3 og U2ZnIr, har effektive masser $m^*/m$ av orden $10^{12} - 10^{19}$. Denne informasjonen gir innsikt i hvordan den effektive massen kan måles eksperimentelt, og hvordan man kan relatere denne til kvasi-partikkelenes interaksjoner $f(k, k')$ i forskjellige referansesystemer. Hvis vi antar at ligningene (6.5-6.6) gjelder i et Galileisk system, vil de relative bidragene fra energien $E_i$ og interaksjonen $f(k, k')$ i forskjellige rammer gi restriksjoner som kan relateres til $m^*$. Dette forholdet, som eksplisitt er vist i Problem 6.2, kan forklare hvordan den effektive massen er knyttet til kvasi-partikkelenes interaksjon.

Når man ser på kompresibilitet og lydhastighet i et slikt system, gir disse egenskapene oss nyttige verktøy for eksperimentelt å måle egenskapene til væsken. Kompresibiliteten $X$ beskriver hvordan trykket endres med volumet i et system, og kan beregnes ut fra endringer i temperaturen og densiteten. Lydhastigheten i systemet $c_l$ gir et praktisk eksperimentelt middel for å måle $X$. Fra teorien om termodynamisk lyd kan vi forstå at både kompresibiliteten og lydhastigheten avhenger av den sferiske gjennomsnittlige kvasi-partikkelen interaksjonen $f(k, k')$, og dermed av Landau-parametrene. Det er viktig å merke seg at kompresibiliteten kan bli uendelig ved et kritisk punkt, noe som indikerer systemets ustabilitet mot densitetsfluktuasjoner.

Det er viktig å forstå at de fysiske egenskapene som er nevnt, som spesifikk varme, kompresibilitet, lydhastighet og magnetisk susceptibilitet, alle er dypt knyttet til den mikroskopiske interaksjonen mellom kvasi-partikler i Fermi-væsken. Denne interaksjonen kan manipuleres gjennom ekstern påvirkning, som temperaturendringer eller magnetiske felt, og kan gi innsikt i den underliggende strukturen og dynamikken i systemet.

Hva er betydningen av stasjonære løsninger i kvantemekaniske systemer?

I kvantemekaniske systemer kan man analysere tilstander ved hjelp av egenvektorer og egenverdier knyttet til operatører som beskriver systemets dynamikk. For et system som beskrives av en enhetlig operatør $U$, kan tilstandene representeres som Slater-determinanter, som er en matematisk konstruksjon brukt til å beskrive systemer av fermioner. I et system med $N$ partikler, kan en tilstand $| \psi \rangle$ i et slikt rom skrives som en lineær kombinasjon av single-particle egenvektorer, hvor de individuelle partikkeltilstandene er beskrevet av egenverdier som oppfyller $h_i$.

Når vi ser på statiske løsninger i et kvantemekanisk system, kan vi anvende den stasjonære fase-tilnærmingen på funksjonelle integraler. Dette er en tilnærming som brukes for å approximere løsninger av komplekse kvantemekaniske ligninger ved å anta at løsningen er tid-uavhengig. I den enkleste tilnærmingen antas en stasjonær tilstand $\phi_k$, som er en egenvektor til Hamiltonoperatoren $h$, og som oppfyller en egenverdiligning. Ved å derivere denne ligningen i forhold til en parameter $Q_0$, kan vi oppnå et uttrykk som viser at systemet tilfredsstiller selvkonsistente ligninger for single-particle bølgefunksjoner.

I en selvkonsistent løsning, som beskriver et system i sin grunntilstand, er det mulig å beregne totalenergien ved å bruke de self-consistent Hartree-ligningene. Disse ligningene er et uttrykk for en type mean-field-tilnærming, der interaksjonene mellom partikler i systemet er representert som en gjennomsnittlig potensialfelt. Denne tilnærmingen gir en god beskrivelse av systemets grunnstilstand, og den kan brukes til å beregne de makroskopiske egenskapene til systemet, for eksempel den totale energien og partikkeltettheten.

Hartree-approximering kan også brukes til å forstå de kollektive eksitasjonene av systemet. Når man inkluderer kvadratiske fluktuasjoner rundt denne mean-field løsningen, kan man få en mer presis beskrivelse av systemets dynamikk. Denne beskrivelsen gir innsikt i hvordan kollektive eksitasjoner som dipol- eller kvadrupolvibrasjoner kan beskrives i et finitt system, for eksempel et atomkjerne. De kvadratiske fluktuasjonene kan også beskrive de grunnleggende kollektive eksitasjonene som følger av systemets interaksjoner.

Derfor er det viktig å forstå hvordan man kan bruke selvkonsistente tilnærminger til å modellere kvantemekaniske systemer, og hvordan man kan bruke disse tilnærmingene til å beregne egenskaper som energi og kollektive eksitasjoner. Videre er det viktig å være klar over at den eksakte beskrivelsen av et system kan kreve høyere ordens korreksjoner, spesielt når man tar hensyn til mer komplekse kollektive eksitasjoner og fluktuasjoner. Det kan også være nødvendig å bruke forskjellige representasjoner, for eksempel i form av Slater-determinanter, for å gjøre tilnærmingene mer effektive.

For leseren som ønsker å forstå disse konseptene på et dypere nivå, er det viktig å kjenne til de matematiske teknikkene som brukes i funksjonelle integraler og hvordan disse teknikkene kan brukes til å studere kvantemekaniske systemer under forskjellige betingelser. Det er også nyttig å forstå hvordan den selvkonsistente tilnærmingen kan kobles til observasjoner og eksperimenter, slik at man kan validere og forbedre modellene man arbeider med. Dette åpner for en bredere forståelse av hvordan kvantemekaniske systemer oppfører seg i forskjellige fysiske situasjoner.