Hysterese er et fenomen som beskriver systemer hvor reaksjonen på en ytre påkjenning ikke er øyeblikkelig, men avhenger av systemets tidligere tilstand. Dette kan observeres i mange fysikalske og tekniske systemer, som i materialer som deformeres permanent etter belastning, eller i systemer som viser forsinket respons. For å modellere hysterese i dynamiske systemer, brukes forskjellige matematiske modeller som gir innsikt i hvordan hysteretiske krefter utvikles og påvirker systemenes atferd.

En av de mest kjente modellene for hysterese er Bouc-Wen-modellen, som gir en beskrivelse av den hysteretiske kraften ff i forhold til forskyvningen xx. Denne modellen tar hensyn til flere parametere som påvirker formen på hysteresesløyfen. For eksempel kontrolleres glattheten på kraft-forskyvningskurven av parameteren nn, den generelle stigningen av kurven styres av γ+β\gamma + \beta, og slankheten i hysteresesløyfen påvirkes av γ\gamma. Ved å velge forskjellige sett med parametere kan man nærme seg atferden til ekte hysteretiske systemer, og modellens detaljer gir innsikt i hvordan systemet vil reagere på forskjellige påkjenninger.

Modellen beskrives av den differensialligningen:

z˙=−γ∣x˙∣∣z∣n−1−βx˙∣z∣n+Ax˙\dot{z} = -\gamma | \dot{x} | |z|^{n-1} - \beta \dot{x} |z|^n + A \dot{x}

hvor γ\gamma, β\beta, nn og AA er parametere som beskriver de hysteretiske egenskapene til systemet. Løsningene til denne ligningen kan gi den funksjonelle sammenhengen mellom zz og xx, som er viktig for å forstå hvordan kraften utvikler seg i forhold til forskyvningen.

Videre kan man beregne området til hysteresesløyfen for et gitt amplitude aa, som gir innsikt i energi-tapet i systemet. Dette beregnes ved integrasjonen av z(x)z(x) over området fra −a-a til aa, og gir en kvantitativ forståelse av systemets dissipative egenskaper.

I tillegg til Bouc-Wen-modellen finnes det flere andre hysteretiske modeller, som Duhem-modellen og Preisach-modellen, som gir forskjellige tilnærminger til å modellere hysterese. Duhem-modellen er mer fleksibel og kan beskrive ikke-symmetriske hysterese-sløyfer, der den stigende og synkende segmentet har forskjellige egenskaper. Modellens parametrisering inkluderer både elastiske og hysteretiske krefter, som kan kombineres for å gi mer realistiske beskrivelser av materialers atferd under belastning.

En annen viktig modell er Preisach-modellen, som beskriver hysterese med ikke-lokal hukommelse. Denne modellen er spesielt nyttig når hysteresen ikke bare avhenger av den nåværende tilstanden til systemet, men også av dets tidligere tilstander, noe som er typisk for komplekse materialer og mekanismer som utsettes for lange perioder med stress.

For å uttrykke denne modellen bruker man et integral over et vektingsfunksjon μ(α,β)\mu(\alpha, \beta), hvor denne funksjonen er definert på et spesifikt område i (α,β)(\alpha, \beta)-planet. Denne funksjonen karakteriserer minnet i systemet, og kan beskrives som en funksjon av systemets historikk, slik at hysteretisk respons ikke bare avhenger av dagens tilstand, men også av hvordan systemet har vært stimulert tidligere.

Prisach-modellen kan også uttrykkes gjennom en superposisjon av elementære rektangulære hysteresesløyfer, som til sammen kan beskrive et komplekst hysteretisk constitutivt lovverk med ikke-lokal hukommelse. Denne tilnærmingen gjør det mulig å analysere hysteretiske krefter som en funksjon av både nåværende og tidligere tilstander, og gir en dypere forståelse av systemer med kompleks hysterese.

I tillegg til de teoretiske modellene kan den praktiske anvendelsen av hysterese i tekniske systemer være avgjørende for design og analyse av strukturer som utsattes for dynamiske belastninger, som bygninger, broer og maskiner. Å forstå de spesifikke egenskapene til hysteretiske krefter og hvordan de påvirker materialer og systemer kan bidra til mer effektivt design, økt pålitelighet og lang levetid for slike strukturer.

Endtext

Hvordan Stokastiske Gjennomsnitt Metoder For Quasi-Hamiltoniske Systemer Påvirker Responsen Til Et 2-DOF Vibrasjons-Impact System

Systemet beskrevet i denne studien involverer en kompleks dynamikk, som kan representeres av et 2-DOF vibrasjons-impact system. For å forstå oppførselen til slike systemer, er det nødvendig å bruke avanserte metoder som stokastisk gjennomsnitt og Itô's differensiallikninger. Dette gir oss muligheten til å forutsi systemets respons under forskjellige forhold, inkludert påvirkningen fra ekstern eksitasjon og demping.

Den primære dynamiske modellen som beskrives kan forenkles til et kvasi-Hamiltoniansystem gjennom de relevante transformasjonene og ved å bruke Itô-regelen for stokastiske differensiallikninger. Disse likningene gjør det mulig å analysere hvordan systemet reagerer på både deterministiske og stokastiske krefter over tid. For eksempel, når man ser på systemet som et Hamiltoniansystem, kan den totale energien HH deles opp i to komponenter, H1H_1 og H2H_2, som representerer de individuelle bevegelsene til massene i systemet.

Stokastisk gjennomsnitt anvendt på slike systemer innebærer å erstatte de kvasi-integrable Hamiltoniansystemene med enklere differensiallikninger som inneholder stokastiske termer. Dette gir en mer håndterbar beskrivelse av systemets oppførsel, spesielt når vi tar hensyn til små dempingskoeffisienter og svake eksitasjonsintensiteter. De resulterende Itô-differensiallikningene gir en presis modell for hvordan systemets energikomponenter utvikler seg over tid, samtidig som de inkluderer de nødvendige stokastiske effektene som kan føre til variasjon i responsen.

Stokastiske differensiallikninger som følger fra denne tilnærmingen gir oss to viktige parametre σ11\sigma_{11} og σ22\sigma_{22}, som beskriver de stokastiske bidragene til systemets respons i to dimensjoner. Dette er avgjørende for å modellere systemets reaksjon på støy eller tilfeldig påvirkning, noe som er vanlig i virkelige applikasjoner som vibrasjonsanalyse og strukturell dynamikk.

De resulterende marginale sannsynlighetsfordelingene for forskyvningene og hastighetene til massene kan være nyttige for å forstå hvordan systemet vil oppføre seg under stasjonære forhold. Stasjonære sannsynlighetsfordelinger kan være avgjørende for ingeniører og forskere som prøver å vurdere risikoen for feilsituasjoner eller slitasje i strukturer under langvarig eksponering for vibrasjoner.

I tillegg kan beregningen av stasjonære sannsynlighetsfordelinger hjelpe til med å sammenligne de teoretiske resultatene med eksperimentelle data eller simuleringer. Dette gir et kraftig verktøy for validering av teoretiske modeller mot virkelige systemer. Den stasjonære sannsynlighetsfordelingen p(h1,h2)p(h_1, h_2) kan derfor brukes til å beskrive den langsiktige atferden til systemet, som er spesielt nyttig i applikasjoner hvor det er viktig å forstå systemets langsiktige stabilitet.

En viktig komponent i analysen av slike systemer er forståelsen av hvordan man kan bruke både quasi-integrable og quasi-non-integrable metoder. Når impakteffekten er svak, er metoden for quasi-integrable systemer mer nøyaktig. Derimot, når impakteffekten er sterk – for eksempel når stivheten til veggen er høy, eller når eksitasjonsintensiteten er stor – er metoden for quasi-non-integrable systemer mer egnet. Dette gjør det nødvendig å velge riktig metode basert på de spesifikke forholdene til systemet som studeres.

Det er også viktig å merke seg at for mellomliggende impakteffekter, der ingen av metodene gir nøyaktige resultater alene, kan en kombinert anvendelse av begge metodene være mer fordelaktig. Denne tilnærmingen kan føre til en mer presis modellering av systemets respons i situasjoner der påvirkningen er kompleks og kan endre seg over tid.

For en mer grundig forståelse av hvordan disse metodene kan anvendes, er det avgjørende å forstå hvordan man kan tilpasse de stokastiske parameterne σij\sigma_{ij} og de respektive energikomponentene H1H_1 og H2H_2 til de fysiske egenskapene til systemet. Å gjøre dette kan gi verdifull innsikt i hvordan ulike systemkomponenter interagerer med hverandre og hvordan eksterne krefter som eksitasjon og demping påvirker den totale responsen.

Ved å bruke slike metoder kan vi utvikle bedre prediktive modeller for vibrasjons-impact systemer, og forbedre designet av systemer som er utsatt for slike krefter. Dette er essensielt i mange ingeniørdisipliner, der man ønsker å sikre langvarig drift og stabilitet til komplekse mekaniske systemer.

Hvordan Markov-jump prosesser påvirker stasjonære sannsynlighetsfordelinger i quasi-non-integrable Hamilton-systemer

I tilfeller der Hamilton-systemer utsettes for stokastisk eksitasjon og demping, kan systemets dynamikk påvirkes betydelig av tilstedeværelsen av Markov-jump prosesser. Dette fører til en kompleksitet der systemet veksler mellom ulike tilstander, og resultatene fra slike prosesser kan analyseres ved hjelp av stokastiske differensialligninger. Det er viktig å merke seg at et quasi-non-integrabelt system ikke har en enkelt integrerende løsning, men heller et sett av statistiske løsninger som kan modelleres ved hjelp av metoder som Monte Carlo simuleringer og teoretiske beregninger.

Når man analyserer et system med to tilstander, som beskrevet i Eq. (5.270), vil sannsynlighetsfordelingen for systemets forskyvning (PDF) være mest konsentrert i den tilstanden med høyest sannsynlighet for opphold. Dette kan demonstreres ved å sammenligne de stasjonære PDFene for forskjellige jump-regler. Ved økende sannsynlighet for å oppholde seg i tilstand 1, flater PDF-kurven ut, noe som indikerer en økning i systemets energi. I systemer med tre tilstander er det viktig å merke seg at den høyeste sannsynligheten for opphold kan skifte mellom de ulike tilstandene, og dette påvirker også systemets energi og dermed dens stasjonære PDF. I det spesifikke tilfellet av tre tilstanders hopping, med regler 𝛿₁, 𝛿₂ og 𝛿₃, vil systemet ha ulik energiavhengighet i hver tilstand, med den laveste energien når systemet er i tilstand 3.

Videre er det interessant å vurdere hvordan disse systemene kan beskrives i et høyere dimensjonalt rom, som for n-frie grader av frihet (DOF). Her kan et system være sammensatt av flere koblede oscillatorer som hver er utsatt for stokastiske krefter, og som hver kan være i forskjellige tilstander på et gitt tidspunkt. Den resulterende dynamikken kan uttrykkes gjennom Stratonovich og Itô stokastiske differensialligninger, og systemets oppførsel vil avhenge av de valgte hoppereglene. For eksempel vil systemer som utsettes for Markov-jump prosesser med flere tilstander ofte vise en dynamikk som ikke kan integreres på tradisjonell måte, men som i stedet krever en gjennomsnittlig behandling gjennom stokastiske differensialligninger.

En sentral observasjon er at den stasjonære sannsynlighetsfordelingen for systemet vil være avhengig av hvor sannsynlig det er for systemet å oppholde seg i en bestemt tilstand. Dette kan visualiseres ved hjelp av simuleringer som sammenlignes med de teoretiske resultatene, og det er ofte en god overensstemmelse mellom de to metodene. For å forstå hvordan systemet oppfører seg på lang sikt, må man også analysere de gjennomsnittlige drift- og diffusjonskoeffisientene, som kan beregnes gjennom tid- eller romgjennomsnitt.

Det er viktig å påpeke at de fleste analysene for systemer med Markov-jump prosesser krever en nøye vurdering av overgangsprobabilitetene mellom de ulike tilstandene, og hvordan disse overgangene påvirker systemets langsiktige oppførsel. I tilfelle av et n-DOF system med slike stokastiske prosesser, kan den resulterende statistiske modellen gi innsikt i hvordan systemets totale energi og dynamikk forandrer seg i respons til ytre påvirkninger og interne tilstandsbytter.

Med det teoretiske rammeverket på plass er det viktig å understreke at metodene som benyttes for å modellere slike systemer ikke nødvendigvis gir en enkel løsning, men heller et verktøy for å forstå komplekse dynamiske fenomener som kan oppstå i fysikk, ingeniørfag og andre anvendelser. Modelleringen av stokastiske systemer krever en grundig forståelse av de underliggende prosessene og hvordan forskjellige dynamiske regler kan interagere for å skape uforutsigbare og interessante effekter på lang sikt.

Hvordan forstår vi stokastiske prosesser og deres anvendelse i forskjellige felt?

Stokastiske prosesser er fundamentalt viktige i mange vitenskapelige og tekniske disipliner, spesielt innen ingeniørfag, kommunikasjon og biologi. En stokastisk prosess er en samling av tilfeldige variabler der hver variabel er definert ved et tidspunkt. Denne prosessen er viktig for å modellere fenomener som utvikler seg med tilfeldige endringer over tid. Et vanlig eksempel på dette er den stokastiske prosessen kjent som Markov-prosessen.

En Markov-prosess er karakterisert ved det spesifikke forholdet at fremtidige tilstander bare avhenger av den nåværende tilstanden, og ikke av hvordan prosessen kom til denne tilstanden. Dette er i kontrast til mange andre prosesser der hele historikken spiller en rolle i å forutsi fremtiden. Markov-prosessen kan beskrives matematisk ved en overgangsfordeling, som gir oss sannsynligheten for å bevege seg fra en tilstand til en annen over et tidsintervall.

I fysikk og matematikk brukes Markov-prosesser ofte til å modellere en rekke tilfeldige fenomener, som for eksempel Brownsk bevegelse. Dette beskriver partikler som beveger seg tilfeldig på grunn av kollisjoner med andre molekyler, og kan også brukes til å beskrive støy i elektriske kretser. En viktig egenskap ved Markov-prosesser er at de kan modellere systemer med kort hukommelse, der effekten av tidligere hendelser raskt avtar. Denne hukommelsesløsheten er ofte praktisk i anvendelser som signalbehandling og økologisk modellering.

Et annet viktig aspekt ved stokastiske prosesser er deres autokorrelasjon og kraftspektral tetthet, som er mål for hvordan prosessen er relatert til seg selv over tid. Autokorrelasjonen beskriver likheten mellom verdier av prosessen ved forskjellige tidspunkter, og kan være nyttig for å analysere periodisitet eller trend i dataene. For eksempel, når man arbeider med støy i signaler, kan korrelasjonsfunksjonen gi oss informasjon om hvor "sammenkoblet" signalene er på forskjellige tidspunkter.

For de som ønsker å forstå stokastiske prosesser på et dypere nivå, er det viktig å forstå at Gaussian-stokastiske prosesser har spesifikke egenskaper som gjør dem lett håndterbare matematiske modeller. Hvis en prosess er svakt stasjonær, betyr det at dens statistiske egenskaper ikke endres over tid, noe som forenkler analysen betraktelig. I dette tilfellet er prosessen fullstendig beskrevet av dens gjennomsnittsfunksjon og kovariansfunksjon. For mange praktiske anvendelser er disse to funksjonene tilstrekkelige for å beskrive hvordan prosessen utvikler seg over tid.

Stokastiske prosesser kan analyseres på flere måter. En vanlig tilnærming er å definere kraftspektral tetthet og kretskretskraftspektral tetthet, som beskriver energifordelingen til en prosess på forskjellige frekvenser. For stasjonære prosesser kan vi bruke spektral tetthet for å få innsikt i hvordan prosessen distribuerer sin energi i frekvensdomenet. Den matematiske formuleringen av disse begrepene krever en god forståelse av Fourier-transformasjoner, som lar oss gå fra tidsdomenet til frekvensdomenet og omvendt.

I mer avanserte anvendelser, som for eksempel signalbehandling eller økonomiske modeller, er det viktig å kunne håndtere både sammenhengende og diskrete stokastiske prosesser. En tilstand kan være kontinuerlig, men tidspunktene kan være diskrete, og omvendt. Derfor kan en Markov-kjede brukes til å modellere diskrete prosesser, mens en Markov-prosess kan brukes når både tid og tilstand er kontinuerlige.

Det finnes også diffusjonsprosesser, som er en spesiell type Markov-prosesser, som beskriver hvordan partikler sprer seg over tid. Dette kan brukes til å modellere fenomenet Brownsk bevegelse i fysikk, eller til å beskrive finansielle markeder der aksjepriser endrer seg på en tilfeldig måte. Diffusjonsprosesser er spesielt viktige i sammenhenger hvor endringene skjer kontinuerlig og tilfeldig, og de kan beskrives ved forskjellige ligninger som gir innsikt i hastigheten på spredningen av et fenomen.

I tillegg er det viktig å merke seg at mange stokastiske prosesser, spesielt de som involverer Gaussian fordeling, kan beskrives gjennom partiell differensialligninger. Dette gir en mer presis forståelse av prosessens dynamikk over tid og rom.

For den som ønsker å anvende stokastiske prosesser i praktiske situasjoner, er det også viktig å kjenne til metoder for simulering av slike prosesser. Ved å bruke numeriske teknikker kan vi generere stokastiske prosesser og bruke dem til å forutsi eller analysere virkelige fenomener. Dette er spesielt viktig i felt som kommunikasjonsteknologi, økonomi og økologi, hvor vi ønsker å lage modeller som etterligner virkelige forhold så nært som mulig.

Hvordan kan man vurdere og forstå verdien av mynter i samlinger?
Hvordan vitenskapen om fysikk og mekanikk utviklet seg gjennom 1600-tallet
Hva skjer med demokratiet i Amerika og hvordan påvirker det Australia?