Hvordan representere n-partikkelvertiser i et system av ikke-interagerende partikler

I et ikke-interagerende system kan mediumet oppnås ved å legge til alle irreducible grafene som beskriver partikkelens interaksjon med resten av systemet. Bidragene til de irreducible grafene er øyeblikkelige, som i tilfelle av en enkel partikkelinteraksjon, og spesifiserer energiforandringen som følge av den gjennomsnittlige førsteordens interaksjonen, som er beskrevet av Watter-Fack-teorien. De høyere ordens bidragene til denne teorien vil bli diskutert i detalj i kapittel 5 om høyere ordens vertexfunksjoner.

De grunnleggende egenskapene ved de irreducible grafene, som skiller seg fra de én-partikkel vertexfunksjonene kun ved trivielle termer, er at de er én-partikkel uavhengige, og at den fullstendige én-partikkel Green's funksjonen kan oppnås fra dem ved hjelp av spesifikke relasjoner som involverer ingen sløyfe-integrasjoner. Dette gjelder også for n-partikkel vertexfunksjoner, som kan generaliseres til å følge samme strukturelle prinsipper.

For å introdusere en økonomisk grafisk representasjon, benytter man et system med funksjonelle derivasjoner som kan beskrive endringene i antall ben i en grafisk representasjon. Dette kan uttrykkes i et forenklet notasjonssystem hvor man ignorerer pilretningene og benytter symboler for benene, slik at en funksjonell derivasjon på den grunnleggende Green's funksjonen forårsaker at antallet ben øker med én. En slik tilnærming, ved bruk av kjerneregelen, lar oss evaluere grafene for høyere ordens bidrag uten at vi trenger å ta hensyn til detaljerte integrasjoner.

Når vi evaluerer de successive derivasjonene, får vi et hierarki av ligninger som beskriver sammenhenger mellom grafene av forskjellige ordener. For n = 1, får vi tilbake den forkortede formen av ligningene, og ved å multiplisere hver av de eksterne benene i grafen med den relevante Green's funksjonen, oppnår vi de ønskede uttrykkene. Det er viktig å merke seg at i fravær av symmetriabrudd, forenkles uttrykkene betraktelig, og kun de grafene som oppfyller visse symmetriske krav vil bidra til den endelige løsningen.

Når vi ser på flere-partikkel interaksjoner, slik som for eksempel to-partikkel interaksjoner, kan de uttrykkes på en analog måte. For eksempel, for å beskrive den effektive to-partikkel interaksjonen mellom to partikler som beveger seg gjennom et mange-partikkelsystem, kan vi bruke en lignende tilnærming, der vi ser på den effektive interaksjonen som en sum av irreducible amputated connected diagrammer, som utgjør bidragene til den to-partikkel Green's funksjonen.

For høyere ordens vertexfunksjoner og Green's funksjoner vil de samme prinsippene gjelde. Når vi går fra én-partikkel Green's funksjoner til to-partikkel Green's funksjoner, får vi et system av ligninger som beskriver hvordan disse funksjonene er relatert til hverandre. Det er også viktig å merke seg at alle disse beregningene er basert på den fundamentale ideen om at de relevante bidragene alltid vil komme fra tre-diameter grafene som inneholder både Green's funksjoner og vertexfunksjoner. Dette gjenspeiler seg i hierarkiske relasjoner som styrer hvordan man kan konstruere høyere ordens løsninger på et system.

Det er også viktig å merke seg at når man arbeider med slike systemer, kan det være nødvendig å gjennomføre en systematisk omorganisering av termene i den perturbative utviklingen, spesielt når interaksjonene i systemet er sterke. For slike systemer er det ofte mer hensiktsmessig å bruke en omorganisering av perturbasjonsteorien som baserer seg på en ny liten parameter, i stedet for en enkel styrking av interaksjonsstyrken. Denne tilnærmingen kan være spesielt nyttig i tilfeller der man står overfor mange-partikkelsystemer med sterke interaksjoner, hvor standard perturbasjonsteori kan være upassende.

En annen viktig tilnærming i slike systemer er å bruke stasjonær-fase approximasjonen. Ved å bruke denne tilnærmingen kan man omorganisere diagramserien i en form som er ordnet etter antall sløyfer i diagrammene. Dette gir en systematisk måte å håndtere divergerende serier på, og er spesielt nyttig i fysikkproblemer som involverer sterke interaksjoner. I slike tilfeller er det viktig å forstå at alle omorganiseringene og summasjonene må være fysisk begrunnet, da matematisk kontroll på konvergensen av de opprinnelige seriene ikke alltid er tilgjengelig.

Hvordan Landau-funksjonen beskriver symmetri og faseoverganger i magnetiske systemer

Landau-funksjonen, som ble utviklet for å beskrive fysiske systemers termodynamikk nær faseoverganger, viser seg å være et kraftig verktøy for å analysere både symmetri og faseoverganger i forskjellige systemer, inkludert magnetiske materialer. Nær det kritiske punktet, der systemet går gjennom en faseovergang, oppstår en endring i symmetri som kan beskrives ved Landau-funksjonen. Denne funksjonen er ikke bare en matematisk abstraksjon, men et fysisk konsept som gir innsikt i hvordan systemer responderer på endringer i temperatur, trykk eller eksterne felt.

Landau-funksjonen, i sin mest generelle form, gir en presis beskrivelse av faseoverganger i systemer med translational symmetri og punktgrupper. Når man anvender Landau-regelen på slike systemer, kan man forutsi hvordan de forskjellige fasedefinisjonene kan oppstå, og identifisere de relevante invariantene som kan beskrive fasediagrammet. Denne regelen bygger på det faktum at symmetri-gruppen for den lavere symmetri-tilstanden i et system ved en andreordens faseovergang alltid er en undergruppe av den høyere symmetri-tilstanden, som gjør det lettere å klassifisere mulige faseoverganger og symmetribrudd.

I tilfelle av ferromagnetiske systemer, hvor det er et klart skille mellom ferromagnetisk og paramagnetisk fase, oppstår viktige innsikter i hvordan orden parametre, som magnetisering, kan beskrives. For slike systemer kan Landau-funksjonen brukes til å studere fluktuasjoner og observere hvordan systemets oppførsel endres nær kritiske temperaturer. Når systemet er nær T_c (kritisk temperatur), har vi en betydelig forskjell mellom de forskjellige termodynamiske potensialene: Helmholtz fri energi, Gibbs fri energi og Landau-funksjonen, hvor hver av disse potensialene kan gi et forskjellig bilde av systemets tilstand.

Selv om Landau-funksjonen på et konseptuelt nivå ser ut til å beskrive en faseovergang ved å bruke et kontinuerlig dobbelt miniumum, er det noen subtile forskjeller i systemers atferd ved null felt. I systemer som ferromagneter, kan tilstedeværelsen av et eksternt magnetisk felt ha stor betydning, spesielt når feltet er svakt. Ved null felt kan systemet oppleve en delikat balanse mellom to forskjellige faser, og hvilken fase systemet velger, avhenger av den spesifikke historien til systemet, eller hvordan det er blitt forberedt. Dette er et resultat av at termodynamiske systemer ikke nødvendigvis er ergodiske ved null felt, og systemet kan bli fanget i en av de to minimene avhengig av feltets historie.

I tilfelle av systemer med kontinuerlig symmetri, som for eksempel Heisenberg-spins, er strukturen av Landau-funksjonen betydelig mer kompleks. Her er det et kontinuum av degererte minima, som er relatert til rotasjons-symmetrier av spins i rommet. Ved null felt blir disse minimumene stadig flate, og alle konfigurasjoner av systemet kan nås uten å krysse en uendelig barriere, noe som skaper en mer kompleks dynamikk. Dette fører til at systemet kan utforske disse konfigurasjonene gjennom kollektive moduser kjent som Goldstone-modes, som kan ødelegge den langsiktige ordenen eller, i noen tilfeller, ha en minimal effekt på ordensparameteren.

I tillegg er det viktig å merke seg at selv om Landau-funksjonen gir en nøyaktig beskrivelse av faseoverganger i et system, gir den ikke nødvendigvis en intuitiv forståelse av fenomenet. Spesielt ved lavere temperaturer og null felt, må man være forsiktig med hvordan man beskriver systemet. Å definere tilstanden til et system i slike tilfeller krever ofte at man tar hensyn til hvordan systemet er blitt forberedt, og hvordan dens interne fluktuasjoner spiller en rolle i å bestemme den endelige fasen.

Hva skiller fermioniske koherenstilstander fra bosoniske i den kvantemekaniske beskrivelsen?

I behandlingen av kvantemekaniske systemer med mange partikler, og spesielt i overgangen mellom operatorrepresentasjoner og integraler over tilstandsrom, inntar koherenstilstander en sentral rolle. For bosoner gir koherenstilstander en naturlig overgang til klassisk fysikk – en bølgefunksjon eller feltkonfigurasjon kan tolkes direkte som en bosonisk koherenstilstand. For fermioner er situasjonen fundamentalt annerledes, både matematisk og fysisk.

I fermionisk Fock-rom eksisterer det en fullstendig basis av tilstander som enten er okkupert eller ikke. For at et integral over slike tilstander skal være ulik null, kreves det at tilstandsoppsettene samsvarer nøyaktig – både når det gjelder antall partikler og hvilken permutasjon av individuelle tilstander som er involvert. I slike tilfeller reduseres uttrykkene elegant ved hjelp av antikommutasjonsrelasjonene og gir resultater som speiler identiteter i tidligere etablerte ligninger. Dette gir en naturlig fullstendighetsrelasjon, analog med den bosoniske, men med klare strukturelle forskjeller.

Koherenstilstander for fermioner introduseres ved hjelp av Grassmann-variable – antikommuterende størrelser som muliggjør algebraisk behandling av fermioniske operatorer. Selv om disse tilstandene ikke tilhører det fysiske Fock-rommet – og dermed ikke er observerbare i tradisjonell forstand – tilbyr de en ekstremt nyttig formalisme. Den algebraiske strukturen gjør det mulig å representere skapings- og annihileringsoperatorer ved henholdsvis derivert og multiplikasjon med Grassmann-variable, og de oppfyller antikommutasjonsrelasjonene på en måte som bevarer koherens med den underliggende kvantemekaniske strukturen.

I motsetning til bosoniske koherenstilstander, hvor forventningsverdien til antalloperatoren gir et meningsfullt, reelt tall – ofte tolket som et gjennomsnittlig partikkeltall – gir fermioniske koherenstilstander et ikke-reelt resultat. Dette betyr at det ikke gir mening å snakke om det gjennomsnittlige antall fermioner i en fermionisk koherenstilstand. Dette er en direkte konsekvens av at Grassmann-variable ikke har noen klassisk analog og ikke kan observeres direkte. Fermioniske koherenstilstander tjener derfor først og fremst som et matematisk verktøy.

Forskjellen mellom bosoniske og fermioniske koherenstilstander manifesterer seg tydelig når man forsøker å ta det klassiske grenseforløpet. For bosoner korresponderer koherenstilstanden med en klassisk feltkonfigurasjon, for eksempel et elektromagnetisk felt som kan forstås som en koherenstilstand av fotoner. Dette gir en direkte fysisk tolkning. For fermioner finnes det ingen tilsvarende klassisk grense. Det finnes ingen klassiske fermioniske felt, og de fermioniske frihetsgradene må derfor integreres ut eksplisitt i enhver tilnærming som involverer feltteori eller kvantemekanisk dynamikk.

I utviklingen av formalisme basert på koherenstilstander, og spesielt i evalueringen av evolusjonsoperatorens matriseelementer, spiller Gaussiske integraler en sentral rolle. For bosoner og komplekse variable er det velkjent at slike integraler leder til determinanter i nevneren. Men for Grassmann-variable, som benyttes i fermioniske koherenstilstander, er resultatet motsatt – determinanten oppstår i telleren. Dette er et uttrykk for de fundamentale forskjellene mellom kommuterende og antikommuterende variable.

Integraler over Grassmann-variable krever en presis behandling av transformasjonslover, der Jacobians rolle er invertert sammenlignet med vanlige variable. Dette fører til spesifikke teknikker for diagonalisering og for evaluering av multivariable integraler, hvor kun de leddene som inneholder alle variable samtidig gir ikke-null resultater. Det er nettopp dette som muliggjør beregning av determinanter direkte gjennom Grassmann-integraler.

Grassmann-koherenstilstander muliggjør en enhetlig behandling av mange-partikkel-problemer, spesielt i feltteteorien, der man ofte ønsker å formulere uttrykk som kan behandle både bosoniske og fermioniske frihetsgrader parallelt. Selv om de fermioniske koherenstilstandene ikke er fysisk realiserbare, gir de en effektiv vei til å implementere funksjonalintegraler, spesielt i tilnærminger som involverer kvantefeltteoriens path-integral-formalisme.

Det er essensielt å forstå at selv om Grassmann-koherenstilstander utgjør et overkomplett basis og ikke tilhører det fysiske Hilbert-rommet, gir de likevel tilgang til viktige beregningsteknikker. Når man konstruerer partisjonsfunksjoner, beregner spredningsamplituder eller utvikler effektive teorier for kvantesystemer med fermioner, er det nettopp denne formelle apparatet som gir en konsistent vei fremover. Forskjellene i hvordan fermioner og bosoner behandles – både når det gjelder klassisk grense og matematisk struktur – vil få konsekvenser i senere utvikling, ikke minst i hvordan man anvender stasjonær fase-approksimasjoner og integrerer ut fermioniske frihetsgrader.