Hva er forskjellen mellom Lagrange- og Hamilton-formuleringene i funksjonalintegraler?

Funksjonalintegraler representerer et fundamentalt verktøy i kvantemekanikken og statistisk fysikk, og deres struktur og anvendelse avhenger i høy grad av hvilken formulering man benytter — Lagrange- eller Hamilton-formuleringen. Det er særlig i behandlingen av ikke-klassiske baner og operatorers tidsrekkefølge at disse forskjellene blir både teknisk og konseptuelt vesentlige.

Lagrange-formuleringen av funksjonalintegralet krever at Hamiltonianen har kvadratisk avhengighet av momentet. Det innebærer at integrasjonen utføres over baner definert av koordinater $z(t)$ , mens momentbanene $p(t)$ ikke er eksplisitt involvert, og handlingen uttrykkes som en funksjon av Lagrange-funksjonen. I motsetning til dette beholder Hamilton-formuleringen både koordinater og moment som dynamiske variabler. Ved å ikke utføre integrasjonen over momentet i den opprinnelige representasjonen, åpner man for en mer generell formalismen, dog på bekostning av strengere krav til ordningen av ikke-kommutative operatorer i Hamiltonianen når blandede ledd mellom posisjon og impuls er til stede.

Banene $z(t)$ i begge formuleringene følger de samme randbetingelsene, mens momentbanene i Hamilton-formuleringen er frie, uten randbetingelser. Dette skillet er ikke bare av teknisk natur, men gjenspeiler en dypere forskjell i hvordan kvantemekaniske størrelser representeres som baner i fase- eller konfigurasjonsrommet.

Det er et viktig poeng at funksjonalintegraler automatisk gir tidsordnede produkter. Selv om det ikke eksplisitt fremgår av notasjonen, sikrer oppbygningen av integralet at operatører som virker på ulike tidspunkter, behandles i riktig tidsrekkefølge. Hver operatør virker på et komplett sett av tilstander introdusert ved det respektive diskrete tidspunktet, og for operatorer avhengig av moment, benyttes et komplett sett av momenttilstander på tilsvarende måte. Dette er essensielt for å forstå hvorfor kvantemekaniske responsfunksjoner naturlig uttrykkes gjennom tidsordnede produkter: de følger direkte fra strukturen i funksjonalintegralene, ikke som en tilleggskonstruksjon.

Videre tillater denne formalismen en naturlig overgang til imaginær tid, noe som er fundamentalt for koblingen mellom kvantemekanikk og statistisk fysikk. Ved å gjøre en såkalt Wick-rotasjon — en analytisk fortsettelse til imaginær tid — transformeres den vanlige handlingen til en Euklidsk handling, hvor det kinetiske leddet skifter fortegn. Dette har den bemerkelsesverdige konsekvens at partikkelens bevegelse i et potensial $V$ i realtid tilsvarer bevegelse i et invertert potensial i imaginær tid. Dermed kan løsninger i klassisk forbudte områder visualiseres som baner over barrierer i det inverterte landskapet.

I dette imaginær-tidsregimet kan funksjonalintegralet gis en rigorøs matematisk definisjon, og målet tilsvarer den såkalte Wiener-målbruk kjent fra stokastisk prosess-teori. Her er banene som inngår i integralet typisk kontinuerlige, men ikke-differensierbare, og representerer dermed et helt annet bilde av kvantemekanisk dynamikk enn det som klassiske differensialligninger gir.

Partisjonsfunksjonen i dette regimet representeres som en sum over periodiske baner med periode β = 1/kT. For ettpartikkelproblemer i det kanoniske ensemblet, der kjemisk potensial ikke inngår, er dette tilstrekkelig. Men for systemer med mange partikler, må symmetri — enten bosonisk eller fermionisk — tas i betraktning. Ved å bruke symmetriske eller antisymmetriske tilstander ved hver tidsdiskretisering, sikres korrekt statistikk i sluttresultatet. Bruk av produkttilstander gir det mest direkte resultatet, men ved fermioniske systemer kan det være fordelaktig å eksplisitt benytte antisymmetriske tilstander også i mellomtrinnene, særlig når man bruker stokastiske metoder for evaluering av integralet.

Videre utvides formalismen til å inkludere koherente tilstander, spesielt i mange-partikkel Hamiltonianer uttrykt i andre kvantisering. Her erstattes posisjon- og momentegentilstander med koherente tilstander, der integrasjonsvariablene er komplekse tall for bosoner og Grassmann-variabler for fermioner. Dette tillater en alternativ funksjonalintegralrepresentasjon av utviklingsoperatoren, som gir en mer naturlig tilnærming i feltteoretisk behandling av kvantemekaniske systemer.

Det som må forstås er at strukturene og transformasjonene i funksjonalintegralformuleringen ikke bare er tekniske verktøy, men avslører dypere innsikter i kvantemekanikkens natur: symmetri, tidsorden, analytisk fortsettelse og koblingen mellom dynamikk og statistisk likevekt. Banene i funksjonalintegralet er ikke virkelige baner i klassisk forstand, men matematiske konstruksjoner som organiserer bidrag fra alle mulige konfigurasjoner. Den underliggende ideen er ikke å finne én løsning, men å summere over alle, og denne summasjonen er i seg selv en manifestasjon av kvantemekanisk usikkerhet og interferens.

Det er viktig å forstå at funksjonalintegralene i imaginær tid ikke bare gir tilgang til likevektsstatistikk, men også legger grunnlaget for ikke-perturbative metoder i kvantefeltteori og kondensmateriefysikk, spesielt gjennom deres forbindelse til klassisk statistisk mekanikk via Wick-rotasjonen. Det er også i dette regimet man ofte etablerer numeriske metoder som kvante-Monte Carlo, der konvergens og positivitet i vektene kan utnyttes til effektiv simulering av ellers uløselige kvantemekaniske problemer.

Hvordan operatorer og tilstandene deres bestemmes i mange-partikkelsystemer

I mange-partikkelsystemer er det essensielt å forstå hvordan operatører virker på tilstander, spesielt når vi arbeider med kvantefeltteori eller statistisk mekanikk. En viktig kategori er operatører som virker på ett-partikkel eller fler-partikkelsystemer, og som tar hensyn til symmetri, permutasjonsegenskaper, samt operatorens handling på forskjellige sett med partikler.

En en-partikkel operator er definert ved at dens handling på en tilstand, som er en samling av N partikler, er summen av operatorens handling på hver enkelt partikkel. For eksempel, den kinetiske energien til en partikkel i en gitt tilstand i p-basen er representert som:

T = \sum_{i} \frac{p_i^2}{2m}

En lokal en-partikkel potensialoperator i s-basen kan uttrykkes som en diagonal operator som kun virker på den spesifikke partikkelen, og dens matriserepresentasjon bestemmes av tilstandene som operatoren virker på.

Videre, når vi ser på to-partikkel operatorer, er en to-partikkel operator definert som en operatør som virker på et sett med distinkte par av partikler. For eksempel, en to-partikkel interaksjon kan skrives som en sum over alle par av partikler, og denne operatøren er fullstendig bestemt av sine matriseelementer i det tilsvarende Hilbert-rommet for to-partikkelsystemer. En lokal to-partikkel interaksjon, som ofte brukes i kvantefeltteori, er diagonal i konfigurasjonsrommet.

I mer generelle tilfeller kan vi definere en n-partikkel operatør, som virker på et system av N partikler ved å ta summen av operatørens handling på alle distinkte delsett av n partikler. For slike operatører er deres handling på tilstander også fullstendig bestemt av matriseelementene i et tilsvarende n-partikkelsystem.

Når det gjelder mange-partikkelsystemer, blir skapelsen og annulleringen av partikler representert ved spesifikke operatorer som "skaper" eller "fjerner" partikler fra systemet. Disse operatørene gir et praktisk rammeverk for å beskrive mange-partikkeltilstander og operatorer. For hver en-partikkeltilstand $|X\rangle$ , kan vi definere en skapelsesoperator $a^\dagger$ , som virker på den symmetriske eller antisimmetriske tilstanden av systemet og legger til en partikkel i tilstanden $|X\rangle$ .

Spesielt for Fermioner, som er partikler som følger Pauli eksklusjonsprinsipp, kan en skapelsesoperator også ha en forenklet form, hvor den bare kan legge til en partikkel i en tilstand hvis denne tilstanden ikke allerede er opptatt. På samme måte kan annulleringsoperatoren $a$ fjerne en partikkel fra en tilstand.

Et viktig aspekt ved skapelses- og annulleringsoperatorer er at de opererer på et vakuumtilstand $|0\rangle$ , som representerer et system uten noen partikler. Når en skapelsesoperator virker på vakuumtilstanden, genererer den en partikkel i en gitt tilstand. Dette gir et naturlig grunnlag for å bygge opp et system av partikler ved å anvende skapelsesoperatorene gjentatte ganger på vakuumtilstanden.

Det er viktig å merke seg at skapelses- og annulleringsoperatorene oppfyller bestemte kommutasjonsrelasjoner som avhenger av om vi arbeider med Bosoner eller Fermioner. For Bosoner, som er partikler som ikke følger Pauli-prinsippet, kommuterer skapelsesoperatorene, mens de for Fermioner antikommuterer. Dette reflekterer de fundamentale forskjellene i statistikkene som Bosoner og Fermioner følger.

Videre, i mange-partikkelsystemer, opererer skapelses- og annulleringsoperatorene ikke bare innenfor et enkelt rom, men mellom forskjellige partikkelrom. Dette krever at vi definerer Fock-rommet som en direkte sum av Boson- eller Fermion-rom, hvor en generell tilstand kan være en lineær kombinasjon av tilstander med et hvilket som helst antall partikler.

For å representere tilstander i Fock-rommet kan man bruke en normalisert basis, hvor hver tilstand representerer et system med et spesifikt antall partikler i bestemte tilstander. For eksempel, en tilstand i Fock-rommet kan representere et system der det er en sannsynlighet for å ha null, én, eller flere partikler i et gitt sett av tilstander.

Sammen med dette kommer kravene til symmetri og antisymmetri i mange-partikkelsystemer, som igjen pålegger spesifikke kommutasjons- eller antikommutasjonsrelasjoner mellom skapelses- og annulleringsoperatorene. Dette er avgjørende for å sikre korrekt håndtering av partikkelstatistikkene i teorien.

Endtext

Hvordan den termiske Green's funksjonen relatert til selvenergi gir innsikt i systemets fysikk

Når man vurderer et system på endelig temperatur, er det essensielt å forstå hvordan polene i den øvre halvdelen av kompleksplanet overlapper, og hvordan dette endres ved temperaturer nær null. På endelig temperatur vil en kombinert frekvens $\omega + p$ dukke opp i likninger som beskrevet i forrige seksjon, i motsetning til den enklere strukturen som vises i den null-temperaturgrensen, hvor bare $\omega$ er tilstede. Denne forskjellen i oppførsel på endelig temperatur og ved null temperatur er sentral for å forstå hvordan den termiske Green’s funksjonen utvikler seg i forskjellige fysiske kontekster.

For å relatere den termiske Green's funksjonen til en tidsavhengig Green's funksjon, benytter vi oss av spektralrepresentasjonen. En viktig egenskap ved denne representasjonen er at funksjonen er enten periodisk eller antiperiodisk på intervallet $0 < \tau < \beta$ , og dermed kan ekspanderes i en Fourier-serie med Matsubara-frekvenser $\omega_n$ . Når man setter inn en komplett sett med tilstander og evaluerer Fourier-transformasjonen, oppnår man en uttrykk for hvordan den grønne funksjonen relaterer seg til frekvensene langs den imaginære aksen. Dette gir en forståelse av hvordan systemets respons kan forstås i termer av diskrete Matsubara-frekvenser eller infinitesimalt over og under den reelle aksen, avhengig av om man beregner den retarderte Green's funksjonen $g_R$ eller avanserte Green's funksjonen $g_A$ .

En videre analyse viser at den komplekse funksjonen som beskriver $g_R$ og $g_A$ kan videreføres fra et diskret sett med punkter, og at denne fortsettelsen er entydig. Den er gitt av den komplekse funksjonen som finnes langs den imaginære aksen, og videreføres til den reelle aksen ved $g_R$ og $g_A$ på de respektive sidene av den komplekse planet. Denne fortsettelsen spiller en sentral rolle i den fysiske forståelsen av Green’s funksjoner og deres tilknytning til selvenergi, som gir innsikt i samspillet mellom elementarpartikler i et system.

Et viktig aspekt ved behandlingen av Green’s funksjoner på null temperatur, spesielt i tilfelle av fermionsystemer, er den fysiske tolkningen av selvenergien $\Sigma$ . Selvenergien representerer forskjellen mellom den ikke-interagerende og den interagerende Green’s funksjonen, og dermed all den mange-kroppsfysikken som er involvert i systemet. For fermioner ved null temperatur kan selvenergien uttrykkes ved hjelp av Dyson-likningen, som relaterer Green’s funksjonen til den interagerende energien og gir en praktisk vei for å studere systemets respons.

For å gjøre dette mer håndgripelig, betrakter vi den første og andre ordens selvenergi i perturbasjonsteori. Den første ordens bidraget er relativt enkelt å forstå og innebærer ikke frekvensavhengighet, mens det andre ordens bidraget kan ha en betydelig mer kompleks struktur med to-partikkel én-hull og to-hull én-partikkel mellomliggende tilstander. Disse diagrammene er viktige fordi de introduserer eksplisitt frekvensavhengighet, og bidrar til at systemets respons ikke er trivial, men må forstås i dybden ved å analysere polemønstrene i Green’s funksjonen.

Polene i Green's funksjonen reflekterer de tilhørende egenstate i et interagerende system, og styrken til disse polene kan fragmenteres i mer kompliserte tilstander når systemet blir sterkere interagerende. Dette er en viktig fysisk innsikt, ettersom det gir informasjon om hvordan tilstandene i systemet overlapper og hvordan deres karakteristika endres ved interaksjoner. Hvis systemet oppfører seg som ikke-interagerende, vil polene være enkle, men etter hvert som interaksjonene blir sterkere, vil polemønstrene bli mer komplekse.

Å forstå polemønstrene er avgjørende for å analysere hvordan systemet utvikler seg under forskjellige forhold, og hvordan forskjellige frekvenser og energitilstander samhandler i et interagerende system. Dette gir dyptgående innsikt i hvordan systemet responderer på eksterne påvirkninger og hvordan partikler i systemet påvirker hverandre.

I tillegg til dette, er det viktig å merke seg at selv om teorien gir en strukturert tilnærming til å analysere Green’s funksjoner, krever det detaljerte beregninger og nøyaktige kontroller av analytiske fortsettelser for å kunne anvende denne teorien til faktiske fysiske systemer. Beregningene kan være svært komplekse, spesielt når man jobber med systemer på høy temperatur eller med sterke interaksjoner. Men, gjennom grundig analysere av polene og residualene, kan man få innsikt i de underliggende fysikkene som bestemmer systemets dynamikk.

Hvordan løse komplekse integraler med teknikker som delvis integrasjon og variabelskifte