Hva er de grunnleggende elementene i klassisk plastisitetsteori?

Klassisk plastisitetsteori gir en omfattende ramme for å beskrive hvordan materialer oppfører seg under belastning når de når et elastisk grensetilstand og begynner å deformeres plastisk. En grunnleggende forståelse av elastisk og elasto-plastisk materialadferd er nødvendig for å kunne modellere materialer som ikke bare deformerer elastisk, men også gjennomgår plastiske endringer når de overskrider elastisitetens grense.

Den elastiske og elasto-plastiske oppførselen til et materiale kan beskrives gjennom et spennings- og deformasjonsdiagram, hvor materialets reaksjon på påførte krefter blir tydelig. Når materialet er innenfor sitt elastiske område, vil deformasjonen være reversibel, og materialet vil følge Hooke’s lov. Når materialet overstiger sin elastiske grense og går inn i den plastiske regionen, kan ikke deformasjonsendringer reverseres, og materialet begynner å gjennomgå permanente endringer.

Videre må vi forstå hvordan materialets adferd varierer med ulike spenningsbetingelser. I et en-dimensjonalt spenningssystem (som for eksempel i en strekkprøve) kan materialets plastiske oppførsel modelleres ved hjelp av enkle matematiske uttrykk for flytregler og herdningslover. Imidlertid, i tilfeller der materialet er utsatt for flere krefter samtidig (f.eks. i tredimensjonale stressbetingelser), blir analysen mer kompleks. Her benyttes stressinvarianter for å beskrive spenningsmatrisens tilstand, og disse kan deles opp i en hydrostatisk og en deviatorisk komponent for å skille mellom volumetriske og formendringer i materialet.

I tilfelle fleraksial stress, der materialet er utsatt for stress langs flere akser samtidig, kan flere forskjellige flytfunksjoner benyttes for å beskrive materialets plastiske respons. Typiske flytfunksjoner som Mises, Tresca og Drucker-Prager brukes ofte for å modellere slike komplekse tilstander, og de representerer grensen for plastisk deformasjon i ulike spenningsrom.

I tillegg til de matematiske modellene og de numeriske tilnærmingene, er det viktig å forstå hvordan materialer oppfører seg i forskjellige belastningsscenarier. For eksempel, hvordan materialer reagerer under avlasting, reversert belastning eller syklisk belastning. Disse tilstandene kan føre til uvanlige eller komplekse plastiske deformasjonsmønstre som ikke nødvendigvis er lette å forutsi med de grunnleggende teoriene alene. Derfor må eventuelle endringer i materialegenskaper som følge av slike lastforhold også vurderes når man benytter plastisitetsteori i ingeniørberegninger.

For leseren som dykker inn i plastisitetsteori, er det avgjørende å merke seg at plastisk deformasjon ikke alltid er en uønsket prosess, selv om det kan føre til permanente endringer i materialet. I mange applikasjoner, som for eksempel i formgivning av metall, er plastisk deformasjon et nødvendig aspekt for å oppnå ønskede strukturelle egenskaper. For andre applikasjoner, som i konstruksjon eller komponentdesign, kan det imidlertid være viktig å minimere plastiske endringer for å forhindre svikt. Derfor er det viktig å ha en god forståelse av både de matematiske modellene og de fysiske aspektene ved plastisitet for å kunne anvende teorien korrekt i praktiske situasjoner.

Hvordan simulere elasto-plastisk atferd ved hjelp av numeriske metoder: Et case-studie

I elasto-plastisk materialeatferd er forståelsen av hvordan materialer reagerer på både elastiske og plastiske belastninger viktig. Et essensielt verktøy i denne prosessen er å bruke integreringsalgoritmer som kan håndtere både elastiske og plastiske deformasjoner. I den numeriske simuleringen av slike materialer, spesielt ved bruk av finite element-metoder (FEM), er det nødvendig å bruke tilbakeprojeksjonsteknikker for å oppdatere materialets tilstand etter hvert som deformasjonsin krementer skjer. En viktig tilnærming i dette arbeidet er å sikre at yield-kurven for materialet blir oppfylt nøyaktig i den siste tilstanden.

I et vanlig scenario for en en-dimensjonal analyse med lineær herding, vil integrasjonsmetoden gi følgende relasjoner for den nye tilstanden:

I tillegg, på hvert av detrinnene i løsningen, må residuene for stress og strain bli tatt med i betraktningen for å sikre nøyaktighet:

Disse residuene blir videre analysert ved hjelp av Jacobian-matrisen:

hvor matrisens komponenter er viktige for å forstå hvordan systemet av ligninger vil konvergere og tilpasse seg ulike materialtilstander.

Når man sammenligner denne Jacobian-matrisen for den hel-implisitte og semi-implisitte algoritmen, kan man konkludere med at integrasjonskravene for begge tilnærmingene er identiske for ett-dimensjonale tilfeller, så lenge stressen ligger i samme kvadrant (dvs. at tegnene for stress i begge tilfeller er like).

Et eksempel på anvendelse av numeriske metoder i slike materialer kan være illustrert med et tilfelle hvor et kontinuerlig materiale (f.eks. en strekkstav) blir utsatt for et spennings-deformasjonsdiagram. Ved hjelp av numeriske metoder kan stress tilstandene for hver del av materialet beregnes på et trinn-for-trinn-basis, og effekten av plastiske deformasjoner kan observeres. Dette krever ikke bare god forståelse av det elastiske området, men også hvordan plastiske deformasjoner endrer materialets oppførsel, noe som videre påvirker stressfordelingen i materialet.

Når det gjelder anvendelsen av lineær herding for et materiale i en spenningsdeformasjonsanalyse, er det viktig å forstå hvordan den plastiske modulen $E_{pl}$ beregnes og hvordan den påvirker de totale materialmodulene. For eksempel, når man beregner den elasto-plastiske modulen $E_{elpl}$, vil denne modulen, som et produkt av elastisitet og plastisk deformasjon, være avgjørende for nøyaktigheten av stressprediksjoner ved plastisk deformasjon.

En ytterligere viktig faktor som bør understrekes er at metoden for tilbakeprojeksjon i denne sammenhengen er et nyttig verktøy for å oppdatere materialtilstandene på hvert trinn, noe som forhindrer feil i resultatene ved simuleringer som involverer plastisk deformasjon. Tilbakeprojeksjonen garanterer at løsningen forblir nøyaktig, og at yield-kurven fortsatt oppfylles i alle trinn, og den må håndteres riktig i numeriske beregninger for å oppnå realistiske resultater. Dette gjelder både for lineær og ikke-lineær hardhet i materialet, avhengig av hvilken type materialmodell som benyttes.

Hvordan beregnes spenning og tøyning i elasto-plastisk simulering?

Ved løsning av elasto-plastiske problemer med den endelige elementmetoden, er det avgjørende å etablere en nøyaktig og stabil algoritmisk tilnærming som iterativt konvergerer mot en fysisk gyldig tilstand for både forskyvning, tøyning og spenning. Et slikt rammeverk krever inkrementell formulering, hvor verdiene for hver inkrementell lastetrinn bestemmes ved kumulativ oppsummering.

Den absolutte forskyvningen i midtnoden beregnes gjennom akkumulering av de inkrementelle verdiene, der forskyvningen i en iterasjon i er gitt som summen av forskyvningen fra forrige trinn og den inkrementelle endringen i det aktuelle trinnet. I første iterasjon bestemmes endringen i midtforskyvning som forskjellen mellom initialverdien og første inkrement, mens i senere iterasjoner anvendes differansen mellom påfølgende trinn.

Tøyningen i høyre halvdel av staven beregnes gjennom randbetingelsen definert ved forskyvningen i node 3. Her anvendes relasjonen ε = 1/L (−u₂ + u₃), hvor u₂ og u₃ representerer forskyvningene i respektive noder. Spenningen utledes deretter via en konsistent tangentmodul, kalkulert ved hjelp av en konvergent inkrementell-strain-algoritme (CPP), som igjen muliggjør evaluering av en oppdatert intermediær modulus for påfølgende iterasjoner.

Konvergensen vurderes gjennom differensen i absolutt forskyvning. En terskelverdi for konvergenskriteriet (f.eks. 10⁻⁵) angir når algoritmen er tilstrekkelig nær en stabil løsning. Dette muliggjør effektiv numerisk stabilitet uten å påkalle for høy iterasjonsbelastning.

Spenningsmatrisen omarrangeres til en kolonnevektor som inneholder de seks uavhengige komponentene: σₓ, σᵧ, σ𝓏, σₓᵧ, σᵧ𝓏, σ𝓏ₓ. Dette danner grunnlaget for formulering av gradient og Hessian (første og andre deriverte) av flytefunksjonen med hensyn til spenning.

Ved anvendelse av kjerneregelen kan gradienten av F uttrykkes som en sum av partielt deriverte med hensyn til invariantene multiplisert med deres respektive gradienter med hensyn til spenningen. Dette gir en effektiv metode for evaluering av plastiske korreksjoner under return-mapping algoritmer. Hessianen, den andre deriverte, fremkommer fra produktregelen og anvendelse av assosiative regler. Den inneholder termer med dyadiske produkter som a ⊗ b = abᵀ og representerer en kompakt, men informativ matriseformulering for algoritmisk sensitivitet.

Ved konkret anvendelse av von Mises- eller Drucker-Prager-kriteriene, forenkles uttrykkene ytterligere. Derivatene av disse kriteriene med hensyn til invariantene, og deres andre deriverte, har en polynomisk struktur som er lett implementerbar i numeriske algoritmer.

I den fullt implisitte tilbake-Euler-algoritmen for isotrop herding anvendes en elastisk prediktor for å estimere prøveverdier av spenning og herdingsvariabler. Dersom prøvetilstanden ligger innenfor flyteflaten (F ≤ 0), godtas denne som gjeldende tilstand. Dersom prøvetilstanden ligger utenfor flyteflaten (F > 0), korrigeres den ved plastisk tilbakeføring, slik at den projiseres tilbake på flyteflaten.

Et essensielt aspekt i slike simuleringer er nøyaktig differensiering av invariantene J₁ᵒ, J₂′ og J₃′ med hensyn til spenningen. Disse uttrykkes via skalar- og diagonaltransformasjoner, med respektive matriseformer som muliggjør effektiv numerisk realisering. Videre gir matriseformen til ∂²J₂′ og ∂²J₃′ informasjon om den strukturelle sensitiviteten i materialet og gir grunnlag for robuste prediktor-korrektor algoritmer i plastisitetsteori.

Det er viktig for leseren å forstå at nøyaktigheten og stabiliteten i elasto-plastiske simuleringer i stor grad avhenger av en presis og konsistent formulering av differensialene, samt valg av passende konvergenskriterier. Videre spiller materialmodellens matematisk-fysiske struktur en avgjørende rolle for den numeriske implementeringen. Å forstå hvordan invariantbaserte formuleringer kan forenkle både kode og analyse, er avgjørende for å utvikle effektive og skalerbare simuleringsverktøy.

Hvordan forene kinematikk, konstituente ligninger og likevektsbetingelser i mekanisk modellering

Når man kombinerer kinematiske ligninger (forholdet mellom deformasjoner og forandringer), konstituente ligninger (forholdet mellom spenninger og deformasjoner) og likevektsbetingelser (balansen mellom interne reaksjoner og ytre laster), resulterer dette i en partiell differensialligning, eller et tilsvarende system av differensialligninger. Begrenset til enkle problemer og konfigurasjoner, er analytiske løsninger mulige. Disse løsningene er eksakte innenfor rammene av de antagelsene som er gjort. Imidlertid krever løsningen av komplekse problemer bruk av numeriske metoder, som for eksempel den finite elementmetoden (FEM). Andre klassiske tilnærmingsmetoder inkluderer finite difference-metoden (FDM), finite volume-metoden (FVM) og boundary element-metoden (BEM).

For de fleste ingeniørmaterialer observeres en rett linje i spennings-deformasjonsdiagrammet, hvor stigningen er lik Youngs modul:

Når prøven strekkes, reduseres tverrsnittsarealet for de fleste klassiske ingeniørmaterialer, og den tverrgående deformasjonskomponenten defineres ut fra den opprinnelige diameteren $d_0$ som:

Forholdet mellom tverrgående og langsgående deformasjon definerer Poissons forhold:

Ved å omorganisere den elastiske stivhetsformen for å løse for deformasjonene får vi elastisk kompliance-formen:

Omregning mellom vanlige materialparametre, som Lamé’s konstanter $\lambda$ og $\mu$, bulkmodul $K$, skjærmodul $G$, Youngs modul $E$ og Poissons forhold $\nu$, er tilgjengelig i tabellene som oppsummerer sammenhenger mellom disse parameterne.

Når det gjelder materialer som oppfører seg plastisk, bør vi merke oss at den elastiske og plastiske deformasjonen kan behandles som additiv, dvs. at den totale deformasjonskomponenten er en sum av de elastiske og plastiske delene. Dette gir grunnlaget for det videre teorifeltet innen plastisitetsmodellering, og det blir viktig å skille mellom de elastiske deformasjonskomponentene, som følger Hooke’s lov, og de plastiske komponentene, som kan være avhengige av lasten og dens historie.

I mer komplekse tilfeller med plastisk materialadferd, må det også benyttes en tilstandsligning som tar hensyn til både plastisk strøm og hardning. Hardningsmodellen kan variere, men en av de mest vanlige er isotrop hardning, som beskriver hvordan materialet endrer seg under påkjenning uten spesifikke retninger for plastisk deformasjon. Det er også nødvendig å forstå kinematisk og kombinert hardning for materialer som ikke utviser isotrop oppførsel. Det er viktig å merke seg at materialets respons på ulike laster kan variere sterkt avhengig av de spesifikke forholdene og de antagelser som ligger til grunn for modellen.

Videre er det i mer avanserte modeller nødvendig å vurdere ikke bare elastiske og plastiske komponenter, men også hvordan materialer oppfører seg ved endrede lastningsretninger – det vil si ved avlastning, reversert last og sykliske laster. I slike tilfeller vil modellen måtte justeres for å ta høyde for endringene i både stress og strain, og for at materialet kan ha hukommelse for tidligere laster.