Prinsippet om virtuelle forskyvninger er en sentral pilar i moderne mekanikk og anvendes for å formulere og analysere likevektstilstander i faste legemer under deformasjon. Det bygger på forestillingen om at et legeme i mekanisk likevekt må oppfylle bestemte krav – både i sitt indre og på sine grensflater – uavhengig av hvordan det tenkes forstyrret gjennom små, hypotetiske forskyvninger som ikke nødvendigvis forekommer fysisk, men brukes som et matematisk verktøy for å teste likevekten.

I en gitt deformert konfigurasjon, benevnt C₂, må de indre spenningene – representert ved den symmetriske Cauchy-spenningstensoren τᵢⱼ – tilfredsstille de klassiske likevektsligningene uttrykt i kartesiske koordinater. Disse ligningene pålegger at summen av de indre spenningene og de ytre volumkreftene per volumenhet skal være null overalt i volumet av legemet. Det kreves også at τᵢⱼ = τⱼᵢ, hvilket følger av kravet om fravær av indre momentresulterende i kontinua.

På legemets overflate deles randarealet inn i to deler: én der traksjonene (spenningene per flateenhet) er foreskrevet og én der forskyvningene er foreskrevet. De første kalles naturlige eller mekaniske randbetingelser, de andre geometriske eller rigide randbetingelser. Et spenningfelt som oppfyller likevektsligningene i volumet og de mekaniske randbetingelsene på overflaten, er statisk admissibelt. Et forskyvningsfelt som oppfyller de foreskrevne forskyvningene på overflaten og har kontinuerlige deriverte i volumet, er kinematisk admissibelt.

De virtuelle forskyvningene δuᵢ introduseres som infinitesimale forstyrrelser fra den deformerte konfigurasjonen C₂. Disse må nødvendigvis være null på de deler av overflaten der forskyvninger er foreskrevet – ellers ville man krenke

Hvordan bruke virtuelle arbeidsligninger for ikke-lineær analyse av strukturer

I den virtuelle arbeidsligningen som er gitt i (1.123), kan vi transformere referansekonfigurasjonen fra C2 til C1. Dette gjør det mulig å analysere strukturer i trinn, basert på hvordan systemet oppfører seg ved små endringer i displasseringene. Den eksterne virtuelle arbeidet på høyre side av ligningen vil bli betegnet som 2₁R gjennom hele teksten, dvs. ∫ ∫ 2₁R = 2₂₁ 1tiδu 1 i dS + 1fiδui dV (1.124).

Denne ligningen beskriver en ikke-lineær oppførsel av strukturen ved å knytte endringene i den elastiske energien (strain energy) og potensielle energier til den eksterne påvirkningen av belastninger og krefter. Når vi setter inn stressene (2₁Sij) i den virtuelle arbeidsligningen (1.123) og bruker (1.125) for å definere de nødvendige strekkene (strain), får vi følgende:

∫ ∫ 1 1Sijδ 1εij dV + 1τijδ 2 1 1η 1 ij dV = 1R− 1R (1.128).

Her representerer den første termen på venstre side endringen i elastisk energi under den inkrementelle endringen fra C1 til C2, mens den andre termen representerer endringer i potensiell energi på grunn av de innledende spenningene 1τij. De høyre termene representerer det eksterne virtuelle arbeidet som er utført av de påførte kreftene på strukturen i konfigurasjonene C1 og C2. Dette forholdet er viktig da det gir en eksakt og nøyaktig beskrivelse av systemets likevekt under endringer, selv i ikke-lineære analyser.

I tilfeller hvor stressene 1Sij kan knyttes til de påfølgende strekkene 1εij via et inkrementelt konstitusjonslov, kan ligningen omformes til:

∫ ∫ 1C 1 ijkl 1ε 1 klδ 1ε 1 ij dV + τijδ 1ηij dV = 2 1R− 1 1R (1.131),

hvor 1Cijkl representerer de inkrementelle konstitusjonskoeffisientene. Denne versjonen av ligningen er svært nyttig når man jobber med elastiske materialer, der stresskomponentene kan relateres til strain-komponentene ved hjelp av et inkrementelt konstitusjonslov.

Det er imidlertid viktig å merke seg at denne ligningen kun er gyldig under forutsetning av at materialet oppfører seg elastisk. For materialer med plastiske eller viskoelastiske egenskaper kan det være nødvendig å justere analysen for å inkludere disse effektene. Et klassisk eksempel på dette er analysen av bjelker under bøyning, hvor skjærspenninger ikke kan relateres direkte til strain, men må bestemmes ved hjelp av likevektsbetingelser.

For problemer med store deformasjoner, som i tilfeller hvor trusser er i post-bukling, kan bruken av konstante inkrementelle koeffisienter være upresis og føre til feilaktige resultater. I slike tilfeller bør man benytte seg av metoder som kan håndtere store endringer i form og stress, for eksempel ved å bruke UL-formuleringen som tar hensyn til deformasjonene i hvert inkrement.

Når det gjelder den inkrementelle analysen for store deformasjoner, kan man benytte seg av linearisering av systemet ved å anta at:

∼ 1Sij = 1Cijkl 1ekl (1.132),

hvor 1Sij representerer stressene og 1ekl er de inkrementelle spenningene. Dette forenkler analysen og gjør det mulig å anvende metoder som tar høyde for små deformasjoner i strukturen, men kan være utilstrekkelig i tilfeller med store deformasjoner. Ved å bruke den linearisert versjonen av ligningen får man en tilnærming som gir mulighet for løsninger på strukturer som har mindre inkrementelle deformasjoner.

Den virtuelle arbeidsligningen er derfor et fundamentalt verktøy i ikke-lineær analyse av strukturer. Den tillater en presis beskrivelse av hvordan en struktur reagerer på eksterne belastninger, både for elastiske og plastiske materialer, og gir en eksakt fremstilling av energioverføringer mellom de ulike komponentene i systemet. Samtidig er det viktig å merke seg de begrensningene som kan oppstå ved store deformasjoner eller materialer som ikke følger lineære konstitusjonslover.

Hvordan tester vi kvaliteten på en finitte elementmodell under rigid kroppsbegvegelse?

Når en stiv kropp, for eksempel en bjelke, er i likevekt under tyngdekraften, må den motsvarende reaksjonen i underlaget være av samme størrelse og motsatt rettet. Dersom jorda roterer som en stiv kropp, vil bjelken rotere med, og kraftens virkningslinje vil følge rotasjonen. Selve kraftens størrelse endres ikke, og likevekten opprettholdes. Denne typen rigid oppførsel er det mest grunnleggende kravet for et fast stoff utsatt for konservative belastninger, som for eksempel tyngdekraft. Enhver teori som beskriver faststoffers mekanikk, må kunne håndtere dette minimumstilfellet, hvor strukturen gjennomgår en rigid rotasjon uten deformasjon.

Hvis en bjelke representeres som et finit element som allerede er i likevekt ved en initialkonfigurasjon C1, og den utsettes for en rigid kroppsbegvegelse til en ny konfigurasjon C2, må modelleringen sikre at de opprinnelige kreftene roterer med kroppen uten å endre størrelse. Dette er selve kjernen i rigid kroppstestingen for finit elementanalyse. Elementet må vise at det bevarer likevekten i den nye posisjonen, noe som verifiserer at det kan håndtere ekstreme tilfeller av stiv rotasjon. Yang og Chiou (1987) introduserte denne testen nettopp for å vurdere kvaliteten av finit elementformuleringer i ikke-lineær analyse.

Til forskjell fra den klassiske patch-testen, som vurderer stiv translasjon i ikke-spente elementer, er rigid kroppstesten mer generell. Den inkluderer effekten av eksisterende initialspenninger eller initialkrefter, og må derfor utføres inkrementelt, ikke lineært. Dette betyr at testen skal vurderes i konteksten av små, trinnvise endringer, slik de faktisk oppstår i ikke-lineære analyser.

Grunnlaget for denne testingen ligger i det virtuelle arbeidets prinsipp, som ble benyttet til å utlede elementstivhetsmatrisene. Disse matrisene er numeriske representasjoner av de styrende differensialligningene og naturlige randbetingelsene. Feil i elementformuleringen vises som avvik fra disse grunnleggende betingelsene, og rigid kroppstesten fungerer som et kriterium for å avsløre slike avvik. Det er med andre ord ikke nok at modellen er matematisk korrekt – den må også fysisk kunne reprodusere fundamentale kroppslige bevegelser som ikke innebærer deformasjon.

Ved å betrakte en bjelke som allerede er i likevekt gjennom et sett med nodale krefter, og deretter utsette den for en rigid kroppsbegvegelse (translasjon langs x og y samt rotasjon om z-aksen), kan vi sette opp forskyvningene i henhold til dette. Substitusjon av disse forskyvningene inn i de naturlige randbetingelsene gir oss uttrykk for kreftene etter rotasjonen. Det viser seg at disse kreftene er identiske i størrelse med de opprinnelige, men rotert i henhold til rotasjonen, akkurat som forventet. Dermed er testen bestått – teorien bevarer likevekten under rigid kroppsbegvegelse.

Denne verifikasjonen er avgjørende. Hvis et finit element ikke kan bestå rigid kroppstesten, er det grunn til å tvile på at det vil levere pålitelige resultater i mer komplekse, ikke-lin

Hvordan kan stabilitet og last-parameter bestemmes i ikke-lineær analyse av strukturer?

En generell egenskap ved stabilitetsparameteren (CSP) er at den øker for strukturer som befinner seg i stivningsfasen, og synker når strukturer er i mykningsfasen. For strukturer som når grensepunktene på last-avbøyningskurvene, blir CSP eksakt lik null. En positiv CSP indikerer derfor et stabilt område på last-avbøyningskurven, hvor påkjenningene kan økes uten fare for umiddelbar ustabilitet. For å ivareta denne fasen av lastpåføringen bør lastparameteren λ i ligning (7.38) være positiv. Omvendt tilsvarer en negativ CSP et ustabilt område på last-avbøyningskurven, hvor lastene må reduseres for å opprettholde likevekt, og det negative fortegnet i ligning (7.38) må benyttes. En svakhet ved CSP er at den kan gå mot uendelig nær tilbakesprangspunkter (snap-back), noe som gjør at arbeid-kontrollmetoden, selv om den egner seg godt for å følge kurver med grensepunkter, har begrenset anvendelse ved tilbakesprang.

I en ikke-lineær analyse løses N+1 parametere (N forskyvningskomponenter og én lastfaktor λ) fra et tilsvarende antall ligninger, inkludert likevektsligninger og en tilleggskonstraint. Likevekt på trinn j i inkrementell-iterativ analyse kan skrives som [K]{ΔU} = λ{P̂} + {R}, der [K] er tangentstivhetsmatrisen, {ΔU} forskyvningsøkningen, {P̂} referanselasten og {R} ubalanse i krefter fra forrige iterasjon. Lastparameteren λ inkluderes som ukjent for å omgå problemer ved grensepunkter, ved at iterasjonene ikke er bundet til konstante laster. Løsningen deles opp i to delproblem: en del som løser for forskyvningsrespons på enheten last, og en annen for å korrigere ubalanser. Kombinasjonen av disse gir total løsning {ΔU} = λ{ΔÛ} + {ΔŪ}.

Valget av kontrollparameter og konstantene i den tilleggskonstrainten, formulert som {C}T{ΔU} + kλ = H, er avgjørende for pålitelighet og effektivitet i løsningen. Denne formuleringen muliggjør valg av kontrollparametere blant de N+1 ukjente, enten enkeltvis eller i kombinasjon. Stabilitet i numeriske løsninger knyttes til at determinantene til generaliserte stivhetsmatriser ikke er null. Når determinanten for den opprinnelige stivhetsmatrisen [K] eller den generaliserte [K̂] blir null, indikerer dette et grensepunkt, hvor metode som baseres på slike kontrollparametre kan feile.

Faktorisering av stivhetsmatrisen via trippelfaktorisering ([K] = [L][D][L]^T) gjør det mulig å uttrykke determinanter og relaterte størrelser slik at man får analytisk kontroll over løsningens stabilitet. Samtidig gir dette innsikt i hvorfor og hvordan iterasjonene kan konvergere eller avvike.

En viktig innsikt er at matematiske idealpunkter som grensepunkter eller tilbakesprangspunkter sjelden finnes eksakt i praksis på grunn av numeriske feil som avrundings- og trunkeringsfeil. Dette understreker betydningen av konvergenskarakteristikken i iterasjonene, og at numerisk stabilitet er en egenskap som må sikres gjennom valg av passende kontrollparametre og løsningsteknikker.

Det er viktig å forstå at denne teoretiske rammen ikke bare gir metoder for å løse komplekse, ikke-lineære strukturelle problemer, men også legger grunnlaget for vurdering av stabilitet og mulige sviktpunkter i konstruksjoner. Videre må man være oppmerksom på at praktiske analyser ofte krever tilpasninger for å håndtere numeriske begrensninger og den iboende usikkerheten i material- og lastparametre. Forståelse av hvordan stivhetsmatriser og kontrollparametre samvirker i løsningen gir en dypere innsikt i strukturell oppførsel under ikke-lineær belastning.

Endret forståelse av stabilitetsbegrepet i konteksten av iterativ lastkontroll bidrar til utvikling av mer robuste og presise numeriske metoder. Dette er essensielt for avanserte ingeniøranalyser, særlig når man arbeider med strukturer som kan gjennomgå store deformasjoner, plastiske omveltninger eller oppleve plutselige endringer i lastbærende kapasitet.

Hvordan beregnes naturlige rotasjoner og geometriske oppdateringer i romrammeelementer med endelige rotasjoner?

Beregningen av naturlige rotasjoner i romrammeelementer, spesielt når det gjelder store, endelige rotasjoner, er essensiell for nøyaktig analyse av strukturelle rammer under betydelig deformasjon. Lengden til elementet ved et gitt knutepunkt, som for eksempel C1, kan uttrykkes som kvadratroten av summen av kvadrerte differanser i koordinatene, noe som gir en nøyaktig måling av den reelle lengden i deformert tilstand. For å forstå rotasjonene ved elementets ender, defineres seksjonskoordinater ved knutepunktene A på henholdsvis C1 og C2. Disse koordinatene uttrykkes gjennom vinklene 1φa og 2φa, som representerer totale rotasjonsvinkler i nodene.

Rotasjonsbeskrivelsen knyttes videre til elementets akser i rommet, som uttrykkes med hensyn til de globale XYZ-aksene. Elementets lokale koordinater transformeres via matriser [1R] og [2R], som avhenger av vinklene 1θ og 2θ, som definerer elementets helningsvinkel i forhold til horisontalplanet i punktene C1 og C2. Disse transformasjonsmatrisene er sentrale for å overføre lokal nodal geometri til det globale koordinatsystemet, og dermed koble lokale deformasjoner til globale strukturelle responser.

Naturlige rotasjoner, definert som de rotasjoner som ikke induserer krefter i elementet (dvs. rigid body motions), beregnes gjennom differansen mellom nodal rotasjon og elementets akseorientering. Uttrykkene for disse rotasjonene fremkommer ved å kombinere rotasjonsvinklene for nodene og elementets helningsvinkler, noe som gir et klart uttrykk for rotasjon i noden i forhold til elementets akser.

Den resulterende rotasjonsaksen i noden er fastsatt, og i dette tilfellet følger den negative z-aksen, noe som stemmer overens med tidligere forskning. Det fremgår også at samme framgangsmåte kan anvendes for den andre noden i elementet, noe som sikrer konsistens og generalitet i metoden.

Forståelsen av den geometriske stivhetsmatrisen for et element som det trekantede plateelementet (TPE) er avgjørende for dynamiske og statiske analyser. Denne matrisen inkluderer bidrag fra både materialegenskaper og geometriske effekter, og dens komponenter avhenger av parametere som lengder, koordinater og krefter/momenter i elementets knutepunkter. Parametrene aij, bij, cij, og videre, er uttrykt i form av koordinatforskjeller og krefter, og gjenspeiler hvordan geometrisk ikke-linearitet påvirker elementets stivhet.

Disse detaljene er ikke bare matematiske uttrykk, men bærer en dyp fysisk forståelse av hvordan store rotasjoner og deformasjoner påvirker rammestrukturers respons. Ved å inkludere disse parametrene og rotasjonsbeskrivelsene i analysen sikrer man at modelleringen fanger opp komplekse oppførsler som oppstår under betydelige deformasjoner, slik som vridning og bøyning som ikke kan behandles med lineære antakelser.

Det er viktig å merke seg at alle disse beregningene forutsetter en nøye koordinat- og rotasjonshåndtering, der transformasjonsmatriser fungerer som broer mellom lokal og global geometri. Feil i denne håndteringen kan føre til betydelige unøyaktigheter. For leseren er det avgjørende å forstå at rotasjoner i rommet ikke er additive på samme enkle måte som translasjoner, og derfor kreves en nøyaktig bruk av trigonometriske transformasjoner og matriser for å beskrive bevegelsene korrekt.

Videre bør man være bevisst på at modellering av store rotasjoner krever at de klassiske lineære tilnærmingene oppgis, og at ikke-lineære metoder, som inkluderer konveksjonsformler og oppdatering av geometriske parametere etter hver lastøkning, blir anvendt. Dette er essensielt for å sikre at strukturens dynamikk og stabilitet analyseres realistisk, spesielt i avanserte ingeniørmodeller som involverer romrammer og bjelker under store påkjenninger.

Endelig, i tillegg til de matematiske formuleringene, må man alltid ta hensyn til praktiske implikasjoner ved implementering i numeriske metoder. Dette inkluderer blant annet valg av elementtyper, meshing-tetthet, og iterasjonsstrategier for å oppnå konvergens i ikke-lineære analyser. En dyp forståelse av den fysiske meningen bak de geometriske stivhetsmatrisene og rotasjonsbeskrivelsene er nødvendig for å tolke resultatene riktig og unngå misvisende konklusjoner i design- og sikkerhetsvurderinger.

Hvordan Donald Trump omformulerte ideen om amerikansk eksepsjonalitet i sine valgkampanjer
Hvordan akustisk måling kan forbedre posisjonering og avstandsberegning på kommersielle enheter
Hvordan fotonikk og optoelektronikk kan transformere industrielle miljøer i Industri 5.0