Hvordan bestemme minimum for en funksjon med ulikhetsbetingelser ved hjelp av den interne straffemetoden?

I vårt tilfelle har vi en objektiv funksjon $F(X) = (X - 3)^2 + 1$, hvor vi ønsker å finne minimum for $X$ i intervallet $[-1, 4]$, under betingelsen $g(X) = \sqrt{X} - \sqrt{2} \leq 0$. Dette setter en begrensning på mulige løsninger for $X$, og vårt mål er å finne den verdien som minimerer $F(X)$ samtidig som $g(X)$ holdes mindre enn eller lik null.

$$\Phi(X, r_p) = (X - 3)^2 + 1 + r_p \cdot \frac{1}{\sqrt{g(X)}}$$

Mens den logaritmiske metoden blir:

Begge metodene vil tilpasse straffen for løsninger som ikke tilfredsstiller betingelsen $g(X) \leq 0$, men på forskjellige måter. Logaritmisk straff vil for eksempel gjøre straffen veldig stor når $g(X)$ er nær null, mens den fraksjonelle metoden har en mer jevn økning i straffene.

I tillegg er det viktig å merke seg at antall iterasjoner som kreves for å finne minimum, varierer med straffens størrelse. Jo større verdien for $r_p$, desto raskere kan løsningen finne minimum, men straffene for løsninger som ikke tilfredsstiller betingelsen kan også bli store. Dette kan føre til at funksjonen blir svært sensitiv for små endringer i $X$, og derfor kan det være nødvendig å justere parametrene for $r_p$ nøye for å få et effektivt resultat.

I tillegg til valget av straffemetode og startverdi, er det andre viktige faktorer å vurdere når man benytter denne metoden. Den første faktoren er hvordan ulikhetsbetingelsen $g(X)$ påvirker løsningen. I noen tilfeller kan betingelsen være så streng at det er vanskelig å finne en løsning som både minimerer objektivfunksjonen og samtidig oppfyller betingelsen. Derfor er det viktig å forstå hvordan straffetermene virker og hvordan de påvirker både funksjonens minimum og antall iterasjoner som kreves.

En annen viktig betraktning er den numeriske nøyaktigheten. Beregningene som utføres i metoden, spesielt ved bruk av logaritmiske og fraksjonelle straffeterm, kan bli utsatt for numeriske problemer hvis ikke riktig presisjon opprettholdes. Dette kan føre til feilaktige resultater eller økt tid for konvergens. For å unngå slike problemer er det viktig å bruke nøyaktige numeriske metoder og kontrollere resultatene med forskjellige startverdier og parametere.

Hvordan numerisk bestemme minimum for funksjoner av flere variable med Newtons metode?

I arbeidet med numeriske metoder for optimering, er Newtons metode en av de mest benyttede tilnærmingene for å finne minimum av funksjoner som er ubegrenset og involverer flere variable. Når det gjelder deformerende systemer som mekaniske strukturer eller fjærbelastede systemer, kan de nødvendige beregningene for å finne optimale løsninger være svært komplekse. Denne prosessen er spesielt nyttig i tilfeller hvor man har flere dimensjoner og ønsker å minimere en bestemt funksjon som er relatert til energitilstandene i systemet.

For å illustrere dette, kan vi se på et typisk eksempel der systemet består av flere fjærer som er i kontakt med et mekanisk objekt. Hver fjær bidrar med en elastisk kraft, og vi ønsker å finne minimum for systemets energi, som er en funksjon av fjærens deformasjoner. I denne sammenhengen kan vi bruke en sum av kvadrerte avvik mellom de observerte posisjonene og de opprinnelige, justert med konstantene som beskriver fjærenes stivhet og påførte krefter.

Formelen som beskriver deformasjonen for en fjær kan uttrykkes som:

$$\delta L[n](X) := \sqrt{(X[2n+1] - X[2n-1])^2 + (X[2n+2] - X[2n])^2} - L[n]$$ $$f[n](X) := 0.5 \cdot k[n] \cdot (\delta L[n](X))^2 - P[n] \cdot X[2n]$$

Her vil den totale energifunksjonen være summen av kreftene fra alle fjærene, og vi kan finne minimum ved å bruke Newtons metode. Den matematiske funksjonen som vi ønsker å minimere er:

For et bestemt sett av startverdier $X_0$ og en skalarparameter $\alpha_0$, vil Newtons metode iterere til løsningen konvergerer. I de første iterasjonene er det vanlig å observere betydelige endringer i verdiene for $X$, men etter flere trinn vil løsningen stabilisere seg, og vi vil få en nær tilnærming til minimumet for systemets energifunksjon.

Men denne prosessen er ikke uten utfordringer. Å finne minimum for slike funksjoner kan være sensitivt for valg av startbetingelser. Dårlig valgte startverdier kan føre til at metoden konvergerer til et lokalt minimum i stedet for det globale minimum. Derfor er det viktig å ha et godt valg av startpunkter eller bruke metoder for å unngå lokale minima, slik som modifikasjoner av Newtons metode eller bruk av andre optimeringsteknikker som for eksempel simulert annealing eller genetiske algoritmer.

For et mer komplekst system kan det være nødvendig å ta hensyn til flere variabler samtidig, og det er da viktig å justere for eventuell numerisk støy i beregningene. Feil i beregningene kan forplante seg gjennom de påfølgende iterasjonene, og det er avgjørende å bruke passende numeriske metoder for å stabilisere løsningen. Dette innebærer å justere parameterne i metoden for å sikre at den konvergerer til et pålitelig resultat.

I de tilfeller hvor systemet har begrensninger, for eksempel at enkelte designvariable er begrenset innenfor bestemte intervaller, kan det være nødvendig å bruke metoder som kombinerer ubegrenset optimering med tillegg av straffefunksjoner for å ta hensyn til disse begrensningene. Et eksempel på en slik metode er den ytre straffefunksjonsmetoden, som omdanner et begrenset problem til et ubegrenset problem ved å bruke straffemultiplikatorer.

Dette kan uttrykkes ved å lage en pseudo-objektiv funksjon som tar hensyn til både mål- og straffefunksjonene, og som deretter kan minimeres som et ubegrenset problem. Det er avgjørende at denne metoden justeres etter hvert som optimeringen skrider frem, for å unngå at løsningen blir feilaktig på grunn av for høye straffer.