Hvordan den stasjonære fase-tilnærmingen kan brukes i kvantemekanikk og S-matriseberegninger

I stasjonær fase-tilnærming er det en viktig egenskap at dens modulus er 1, og at likheten kun gjelder dersom den siste determinanten er lik den som oppnås ved utvikling av den opprinnelige determinanten. Denne utviklingen skjer gjennom en tidavhengig Hartree-ligning, som beskriver hvordan determinantene utvikler seg i et kvantemekanisk system. Hvis vi antar at utviklingen skjer med en tidavhengig Hartree-ligning, finner vi den mest sannsynlige slutt-tilstanden ved å løse den tidavhengige Navier-Stokes-ligningen. Overgangen til enhver annen mindre sannsynlig slutt-tilstand kan finnes ved å bruke resultatet beskrevet tidligere, og det er fysisk klart at den gjennomsnittlige feltløsningen som best tilnærmer overgangen, avhenger av slutt-tilstanden.

En nyttig tilnærming for å beregne S-matrise-elementer kan illustreres ved å analysere responsen til et mange-Fermion-system på et eksternt potensial. S-matrisen kan skrives som grensen av en utviklingsoperator, hvor G betegner utviklingen under mange-kropps Hamiltonianen og U betegner utviklingen under samme Hamiltonian pluss et eksternt felt. Disse operatorene kan skrives i form av funksjonelle integraler over et hjelpefelt, der løsningen i stasjonær fase-tilnærming gir et uttrykk for matrisene som bestemmes av systemets respons.

Ved å bruke stasjonær fase-tilnærming kan man betrakte overgangene mellom forskjellige kvantemekaniske tilstander i et system. For eksempel, når man betrakter en generell eigenstate i et mange-kropps-system, fører anvendelsen av stasjonær fase-tilnærming på resolventoperatoren til tidavhengige periodiske løsninger for gjennomsnittlige felt. Løsningene for spesifikke overgangsmatriser kan da beskrives gjennom tidsavhengige bølgefunksjoner.

I et konkret eksempel, hvis vi tar for oss et kvantemekanisk system i et en-dimensjonalt potensial, kan man bruke resolventoperatoren til å finne egenstatene. Resolventoperatoren kan uttrykkes som et Feynman-baneintegral, hvor den klassiske handlingen bestemmes ved de periodiske banene til systemet, og de stasjonære løsninger bestemmes av de klassiske periodiske trajektoriene. Gjennom anvendelse av stasjonær fase-tilnærming kan man evaluere hvert av de tre integrasjonene over tid, posisjon og moment, og dermed bestemme egenstate i systemet.

For å finne løsningen til en kvantemekanisk modell i et potensial med et minimum, som i eksempelet med en partikkel som beveger seg i et gravitasjonsfelt, kan man bruke den stasjonære fase-tilnærmingen til å beskrive bevegelsen i et potensial som leder til periodiske baner. Dette gir en forenklet løsning, der energien til systemet bestemmer banens periode, og den totale løsningen kan oppsummeres som summen av bidragene fra alle periodiske trajektorier som tilfredsstiller energibetingelsen.

Det er også verdt å merke seg at for potensialer med dobbeltminima kan man utvide tilnærmingen til komplekse tidsvariasjoner, og analysere de forskjellige regionene som bidrar til overgangene mellom klassisk tillatte og forbudte områder. Dette kan visualiseres som periodiske bevegelser mellom de to potensialminimaene, som illustrert i figurene i det opprinnelige eksempelet.

Hvordan Stasjonære Løsninger i Tidsavhengige Systemer Bestemmes Gjennom Funksjonelle Derivater

I teorien om funksjonelle integraler er det nødvendig å finne stasjonære løsninger i tidsavhengige systemer, spesielt i mange-fermionsystemer. Dette kan gjøres ved å bruke en tilnærming basert på de funksjonelle derivatene, der vi ser på hvordan en gitt funksjon reagerer på variasjoner i de relevante feltvariablene. La oss begynne med å vurdere den nødvendige funksjonelle derivaten for en representativ løsning i et mange-fermion system.

Et viktig trinn i prosessen er å introdusere en biortogonal basis {&k4Lw}, der dr er løsninger til ligning (7.91b), og Jk er bestemt ved adjungerte operatorer. Denne ordningen gjør det mulig å evaluere det funksjonelle deriverte, som er sentralt for å kunne løse de tilknyttede ligningene. En viktig del av metoden er at det er mulig å se på løsninger som er uavhengige av tid, noe som forenkler analysen betydelig.

Når vi ser på hvordan disse stasjonære løsningene utvikler seg i tid, vil vi merke oss at de er periodiske. Dette er i tråd med Floquet’s teorem, som gjelder for periodiske funksjoner, og impliserer at løsningen vil ha form som en eksponentialfunksjon multiplisert med en quasimomentum-faktor, noe som gir en fysisk tolkning av en quasienergi. Denne tilnærmingen gjør det mulig å bruke enkle beregninger for å analysere mange-fermion systemer.

I tilfellet med et tidsavhengig system vil vi kunne beskrive de relevante tilstandene ved hjelp av de såkalte Martree-feltligningene. Dette fører til at de løsningene som oppfyller de stasjonære betingelsene, kan fortsette å utvikle seg i henhold til de spesifikke energibetingelsene som er knyttet til disse tilstandene. Vi kan også notere at de periodiske løsningene kan generaliseres til å inneholde alle de nødvendige dynamiske variablene som trengs for å beskrive hele systemet.

I det spesifikke tilfellet av et mange-fermion system kan disse tidavhengige løsningene gi grunnlag for kvantisering av kollektive moduser, noe som gjør at vi kan forutsi energinivåene og de relevante fysiske tilstandene for systemet. I tilfelle av små periodiske fluktuasjoner om de statiske Martree-løsningene, vil den tidavhengige teorien faktisk reduseres til den velkjente random-phase approksimasjonen (RPA). Dette viser hvordan kvantisering kan innføres i et system der kollektiv adferd er viktig.

Derimot, i tilfellet med tunnelering og spontan fisjon, kan vi bruke en liknende prosess for å analysere barrierer som systemet må krysse. Her, ved å bruke den imaginære tidsdomenet, kan vi beregne de stasjonære løsningene og deretter bruke dem til å forstå hvordan systemet kan gjennomføre spontane prosesser som fisjon. Den teoretiske rammen er i stor grad uavhengig av de spesifikke detaljene i systemet, og gir en generell tilnærming til hvordan slike prosesser kan modelleres kvantemekanisk.

En viktig observasjon her er at den stasjonære løsningen i imaginær tid har en dypere tolkning i forbindelse med spontan fission. Når vi evaluerer løsningen i et imaginært tidsrom, ser vi at systemet kan beskrives ved en "bounce"-løsning som reflekterer overgangene som skjer under spontan fission. Denne løsningen, som kan uttrykkes i termer av et kompleks tidsrom, er faktisk en analytisk fortsettelse av de reelle tidsløsningene, og gir en klar fysisk forståelse av prosessene involvert i fisjon.

Det er også viktig å merke seg at, selv om løsningen for de imaginære tidene kan vokse eller synke eksponentielt, forblir kombinasjonen av de relevante funksjonene normalisert, noe som gir en fysisk meningsfull løsning som kan tolkes som et gjennomsnittsfelt.