Hvordan beregnes forskyvning og tøyning i en enaksial elasto-plastisk simulering?

Ved en forskyvningsrandbetingelse, hvor forskyvningen på node 2 i hvert inkrement er kjent (f.eks. Δu₂ = 0,8 mm), kan tøyningen i et element beregnes direkte ved hjelp av sammenhengen ε = (u₂ − u₁)/L. Når venstre node er fast innspent (u₁ = 0), forenkles dette til ε = u₂/L. For et element med lengde L = 400 mm gir dette en tøyningsinkrement Δε = 0,002 for hvert inkrement. Den totale tøyningen kan beregnes som summen av alle inkrementelle verdier. I dette tilfellet er det ikke nødvendig å beregne spenninger for å få forskyvning eller tøyning; dette er mulig fordi randbetingelsen er definert ved forskyvning.

I kontrast til dette, ved en kraft-randbetingelse (f.eks. F = 100 kN på høyre node), må ligningene løses ved hjelp av Newton-Raphsons metode. Residualen uttrykkes som r = ẼA/L * Δu₂ − ΔF₂, hvor Ẽ er den aktuelle modulusen (avhengig av om materialet er elastisk eller plastisk). Ved lineær hardening er Ẽ konstant innen hvert område, men skifter verdi fra E til Eₑₗₚₗ når materialet går fra elastisk til plastisk deformasjon.

Ved å utvikle residualen i Taylor-rekke og linearisere systemet, oppnås en løsning for Δu₂ som direkte gir forskyvningsinkrementet når man er innen rent elastisk eller plastisk område. Her gir dette Δu₂ = 0,571429 mm i det elastiske området (inkrement 1–3) og Δu₂ = 6,285715 mm i det plastiske området (inkrement 4–10). Disse verdiene kan summeres for å gi total forskyvning. Tilsvarende kan total tøyning og tøyningsinkrementene utledes.

Overgangen mellom elastisk og plastisk område (fra inkrement 3 til 4) krever spesiell behandling fordi Ẽ ikke er entydig definert. I første iterasjon velges gjennomsnittet av E og Eₑₗₚₗ. For videre iterasjoner brukes et intermediært modul, beregnet som sekantmodulen mellom påfølgende spenning- og tøyningsverdier. Denne iterative prosessen fortsetter til en konvergensbetingelse er oppfylt (f.eks. forskjell i forskyvning mellom to iterasjoner mindre enn 10⁻⁵ mm). Eksemplet krever 18 iterasjoner for å tilfredsstille dette kriteriet.

Grafisk kan man se at konvergenshastigheten er høy i de første iterasjonene, men flater ut i senere steg. Dette skyldes at det plastiske området introduserer ikke-linearitet, som reduserer effektiviteten av den lineære approksimasjonen i Newton-Raphson-metoden.

I tilfeller hvor enda høyere nøyaktighet kreves (f.eks. konvergenskriterium på 10⁻⁶ mm), vil flere iterasjoner være nødvendige. Dette illustrerer hvor viktig det er å balansere krav til nøyaktighet og beregningseffektivitet i numeriske simuleringer.

Et viktig moment er at stivhetsmatrisen (tangent stiffness matrix) i plastisk område må oppdateres iterativt, noe som introduserer kompleksitet. Det kreves også forståelse for hvordan den plastiske modulen påvirker løsningen. I praksis betyr dette at én og samme modell kan gi svært forskjellige resultater, avhengig av om kraft eller forskyvning er angitt som randbetingelse. Dette understreker betydningen av korrekt formulering av problemet og valg av algoritmer.

Videre er det avgjørende å forstå hvordan inkrementell analyse påvirker akkumulasjonen av plastisk deformasjon. Den plastiske tøyningen beregnes ved å trekke elastisk andel fra total tøyning. For inkrementene 5–10 ser vi en konstant økning i plastisk tøyning, som svarer til utviklingen av spenning og tøyning under lineær hardening. Dette gir også innsikt i materialets respons og mulig strømningsmekanisme.

Det er viktig at leseren forstår forskjellen mellom forskyvnings- og kraftkontrollerte problemer, og hvordan valg av randbetingelser bestemmer beregningsmetodikken. Like viktig er innsikten i iterasjonsprosedyrer, konvergenskriterier og materialmodelleringens innvirkning på resultatet. En nøyaktig formulert materialmodell og riktig numerisk strategi er avgjørende for å sikre at simuleringen gjenspeiler virkeligheten på en meningsfull måte.

Hva er kinematisk herding i én-dimensjonal plastisitet og dens innvirkning på materialrespons?

I tilfelle av ren monotont belastning, som ved ren strekk eller ren kompresjon, er det ikke mulig å skille mellom isotrop eller kinematisk herding ved bare å se på spennings-deformasjonsdiagrammet. Et eksperimentell forsøk på en enkel materialprøve kan illustrere hvordan kinematisk herding påvirker materialets respons under belastning og reversering av lasten. I et slikt eksperiment begynner belastningen uten noen initial spenning eller deformasjon, og strekkbelastningen øker jevnt. Den første delen av belastningsforløpet er lineær-elastisk, hvor Hookes lov beskriver oppførselen til materialet. Når belastningen når flytegrensen (punkt ‘1’), endres kurvens stigning, og plastisk deformasjon inntreffer. Etter hvert som belastningen øker, øker også den plastiske deformasjonen.

En interessant fase inntreffer dersom belastningen reverseres på et senere punkt, for eksempel punkt ‘2’, hvor avlastningen skjer elastisk og kompresjonsbelastningen utvikler seg så snart belastningsbanen krysser deformasjonsaksen. Kinematisk herding begynner ikke umiddelbart, men først på et lavere spenningsnivå (σ3) enn den opprinnelige flytegrensen (k) eller den påfølgende stressen (σ2). Dette fenomenet, kjent som Bauschinger-effekten, er et kjennetegn på kinematisk herding, som forutsetter plastisk pre-deformasjon etterfulgt av en belastningsreversering.

Matematisk kan dette beskrives ved en spenningsbetingelse, hvor den initielle flytegrensen er konstant, og den kinematiske herdingparameteren (α) er en funksjon av en intern variabel κ. Et eksempel på kinematisk herding kan beskrives med en lineær sammenheng mellom α og κ, der α = Hεpl eller dα = Hdεpl, hvor H er et konstant hardingsmodul. Denne tilnærmingen gir oss en forståelse av materialets respons på belastning, ikke bare i elastisk tilstand, men også under plastisk deformasjon.

Når isotrop og kinematisk herding kombineres, kan man få en samlet hardingsregel som beskriver ett-dimensjonal plastisitet. Dette kan for eksempel beskrives som F(σ, q) = |σ − α| − k(κ), der q representerer den sammensatte interne tilstanden. Her kan både kinematisk og isotrop harding behandles samtidig, der plastisk deformasjon skjer i henhold til materialets belastningshistorikk.

I tillegg, i forbindelse med plastisk deformasjon, endres materialets stivhet, noe som innebærer at Hookes lov, som gjelder for lineær elastisk materialadferd, ikke lenger er tilstrekkelig. I stedet må man bruke den elastoplastiske modulusen Eelpl, som er en funksjon av både elastisk og plastisk deformasjon. Denne modulusen er avgjørende for å forstå materialets respons når det går fra elastisk til plastisk deformasjon og tilbake til elastisk oppførsel etter belastningsreversering. Her kan hardingsmodulen, som H i kinematisk herding, spille en viktig rolle i å bestemme hvordan materialet oppfører seg under belastning.

Den praktiske anvendelsen av teorien om kinematisk herding og elasto-plastisk modulus er kritisk for materialdesign og analysen av strukturelle elementer som er utsatt for høye spenningsnivåer, spesielt når disse elementene skal operere i omgivelser med gjentatte lastsykluser. Dette kan for eksempel være relevant for konstruksjon av flykomponenter, broer eller andre strukturer som blir utsatt for både statiske og dynamiske belastninger over tid.

For leseren som dykker ned i disse begrepene, er det viktig å forstå at kinematisk herding ikke bare er et matematisk konsept, men en praktisk beskrivelse av hvordan materialer faktisk reagerer på plastisk deformasjon etter belastningsreversering. Kunnskap om hvordan spenningsnivåer endres under plastisk deformasjon, samt hvordan materialets stivhet utvikler seg, kan bidra til en mer nøyaktig prediksjon av materialytelse under forskjellige belastningsforhold. Det er også viktig å merke seg at denne teorien forutsetter en forståelse av plastisk deformasjon som ikke er begrenset til bare én type belastning, men tar hensyn til kompleksiteten i materialadferd under forskjellige tilstande, spesielt når de belastes repetitivt eller reverseres.

Hvordan Invariantenes Rolle I Strøkresjoner Påvirker Flytningsbetingelser

I den komplekse teorien for tredimensjonal plastisitet, spiller stress-invariantenes forståelse en avgjørende rolle i å modellere materialers respons på belastninger. Når man beskriver materialers plastiske flyt, er det viktig å forstå hvordan stress-tilstandene relaterer seg til de grunnleggende invariantenes verdier. Disse verdiene reflekterer den fysikalske tilstanden til materialet og kan hjelpe til med å forutsi når et materiale begynner å deformeres permanent.

En av de grunnleggende invarianter som brukes i plastisitetsteori er den hydrostatiske stressen. Den første invariante av den hydrostatiske stressmatrisen $\sigma$ kan uttrykkes som:

der $\sigma_m$ representerer den hydrostatiske stressen. Denne invarianten gir et mål for den totale volumetriske endringen i materialet. Når materialet er utsatt for stress, er det denne invariante som styrer de isotropiske endringene i volum.

Mens den tredje invarianten beskriver den asymmetriske fordelingen av stressen og er avgjørende for å forstå hvordan skjevbelastninger påvirker materialet i dybden:

Disse tre invariantsene gir et presist bilde av materialets oppførsel under forskjellige belastninger. Ved å analysere de geometriske formene til disse invariantsene, kan vi bedre forstå hvordan materialet responderer på flere aksialbelastninger samtidig, og hvordan plastisk deformasjon initieres under slike forhold.

For å forenkle denne analysen, kan man anta at materialet har ideell plastisk oppførsel, der ingen hardingsvariabler er tilstede, og dermed avhenger flytningsbetingelsen kun av stressen $\sigma$. Dette gir en direkte sammenheng mellom stressens komponenter og materialets plastiske oppførsel. Flytningsbetingelsen kan dermed skrives som:

hvor $f(\sigma)$ representerer stressens funksjon, og $k$ er den eksperimentelle materialparameteren som bestemmer flytstyrken. Flytningsbetingelsen $F = 0$ definerer en hypersflate i et rom med dimensjonene til stressmatrisens uavhengige komponenter. I den tredimensjonale stressrommet kan denne flytningsflaten representeres grafisk som en overflate, kjent som yield-surface, som er et viktig verktøy for å beskrive materialets flyt i forskjellige belastningssituasjoner.

Videre, ved å bruke en reduksjon i dimensjonalitet, kan stress-tilstandene projiseres på en oktahedrisk plan, som gjør det mulig å visualisere materialets respons på mer komplekse stressforhold. På dette planet kan stressforholdene uttrykkes i polære koordinater, hvor stress-Lode-aksen gir en beskrivelse av materialets respons i forhold til forskjellige aksialbelastninger, som kan variere fra enaksial kompresjon til triaksial spenning.

Når det gjelder implementeringen av flytningsbetingelser i numeriske modeller, for eksempel i finite element-analyse (FEA), er bruken av invariants et kraftig verktøy. Invariantsene gjør det lettere å beregne de nødvendige derivatene for materialets respons på forskjellige belastninger, og forenkler dermed modelleringen av plastisk deformasjon i komplekse geometriske og belastningssituasjoner.

Det er viktig å merke seg at forståelsen av hvordan de forskjellige invariantsene påvirker materialets plastiske oppførsel er avgjørende for å kunne forutsi materialets brudd- og deformasjonsegenskaper under praktiske forhold. Når materialer utsatt for multiaxial stress oppfører seg plastisk, vil deres respons være en funksjon av både de isotropiske og deviatoriske komponentene av stressen. Dermed vil flytningsbetingelsene variere avhengig av om belastningen er ensrettet, skjev eller multaksial.