Hvordan sikres korrekt behandling av stive legemers rotasjoner i ikke-lineær analyse av bjelkestrukturer?

I analysen av bjelkestrukturer benyttes ofte kinematiske hypoteser for å redusere kompleksiteten fra et tredimensjonalt fast stoff til en én-dimensjonal struktur. I denne sammenhengen er Bernoulli–Euler-hypotesen valgt, som forutsetter at tverrsnitt forblir plane etter deformasjon. Denne antakelsen er velegnet for elastiske lineære analyser, men har også blitt utvidet til ikke-lineær analyse, noe som ikke var opprinnelig tenkt ved hypotesens introduksjon. Det er vesentlig å forstå at de lineære og ikke-lineære tøyningskomponentene, hentet fra elastisitetslære, er universelt gyldige og kan tilpasse seg alle typer deformasjoner, inkludert stive legemers rotasjoner.

I motsetning til bjelkeelementer, hvor slike kinematiske hypoteser er nødvendige, krever fagverkselementer (truss elements) ikke slike forutsetninger for å beskrive tverrsnittets oppførsel. Dermed vil alle høyordenskomponenter i de ikke-lineære tøyningene kunne inkluderes uten å bryte regelen for stive legemers bevegelse.

De initiale kreftene som virker på elementene kan være store på grunn av oppbygde laster i de foregående trinnene. Heldigvis kan kombinasjonen av store initialkrefter og stive rotasjoner håndteres ved bruk av regelen for stive legemers bevegelse i kraftoppdateringsprosedyren. Dette innebærer at initialkreftene ved et inkrement behandles som kreftene ved starten av neste inkrement. Denne tilnærmingen gjør det mulig å oppdatere kreftene i elementet i tråd med de faktiske bevegelsene uten å bryte fysikkens lover.

Videre muliggjør den lille størrelsen på naturlige deformasjoner bruk av en linearisert ligning for kraftøkningen i hvert inkrement, der stivhetsmatrisen multipliseres med de naturlige deformasjonene. Den elastiske stivhetsmatrisen gir ingen kraftbidrag fra stive forskyvninger, noe som sikrer at kun de reelle deformasjonene genererer krefter. Dette danner grunnlaget for kraftgjenopprettingsformelen som brukes i ikke-lineær analyse for å oppdatere elementkreftene.

Det er interessant å merke seg at kun den elastiske stivhetsmatrisen benyttes i både kraftgjenopprettingen og i prediksjonsfasen ved konstruksjon av den strukturelle stivhetsmatrisen i inkrementell-iterativ analyse. Denne tilnærmingen har vist seg å være effektiv i løsningen av mange ikke-lineære og etterinnbøyningsproblemer, særlig når den kombineres med pålitelige iterative løsningsmetoder.

En avansert metode for sporing av ikke-lineære last-deformasjon-kurver, som også håndterer ustabiliteter som plutselige «snap-through» og «snap-back», benyttes for å sikre konvergens i iterative steg. Dette er essensielt for å analysere komplekse fenomener som ofte oppstår i praksis ved store deformasjoner og stabilitetsbrudd.

Det er viktig å erkjenne at selv om kinematiske hypoteser er nødvendige for å forenkle analysen, introduserer de også begrensninger og potensielle feilkilder. Forståelsen av hvordan stive rotasjoner og naturlige deformasjoner spiller sammen i den ikke-lineære responsen til strukturer, og hvordan disse korrekt håndteres gjennom kraftgjenopprettingsprosedyren, er avgjørende for å kunne utføre pålitelige analyser. En grundig behandling av disse aspektene sikrer at modellerte resultater samsvarer med reelle fysiske fenomener og gir et solid grunnlag for praktisk anvendelse og videreutvikling av metoder innen strukturmekanikk.

Hvordan oppdatere geometri i romrammeelementer ved hjelp av finite rotasjoner?

Geometrisk oppdatering av romrammeelementer er en kritisk del av ikke-lineære beregningsmetoder for rammestrukturer. Dette gjelder spesielt når elementene gjennomgår store rotasjoner, og de naturlige deformasjonene spiller en avgjørende rolle i å bestemme hvordan elementene tilpasser seg nye konfigurasjoner etter rotasjonene. Prosessen omfatter flere trinn for å beregne rotasjoner, aksial elongasjon og endringer i krefter som virker på elementene under deformasjonen.

For det første kan aksial elongasjon, $U_b$, beregnes ved hjelp av formelen:

hvor $2L$ og $1L$ representerer chord-lengdene på elementet i konfigurasjonene $C_1$ og $C_2$ henholdsvis. Dette danner grunnlaget for videre beregning av de naturlige deformasjonene.

Når vi har beregnet de nødvendige rotasjonene $\phi_a$ og rotasjonsaksene $\{1n_a\}$, kan de naturlige rotasjonene i forhold til nodene beregnes ved å bruke vektorene $\{1n_a\}$ og rotasjonsvinklene. Dette gjør det mulig å oppdatere romrammeelementenes geometri under store rotasjoner, slik at vi får en korrekt representasjon av elementets tilstand på det nåværende trinnet.

Når det gjelder beregningen av elementkreftene, består stivhetsmatrisen $[k]$ av tre hovedkomponenter: elastiske, geometriske og induserte momentmatriser. Induserte momentmatriser er nødvendige for å ta hensyn til de rotasjonelle egenskapene ved de nodale bøyningsmomentene og momentene som kan oppstå i romrammeelementene. For planerammene kan stivhetsmatrisen forenkles, da det ikke er ut-av-plan rotasjoner.

En annen viktig detalj er at, når elementene opplever stive kroppens rotasjoner, må de opprinnelige kreftene $\{11f\}$ roteres for å reflektere den nye orienteringen etter rotasjonen. For å beregne de totale kreftene som virker på elementene etter rotasjonen, legger vi sammen effekten av den stive kroppens rotasjon med de kreftene som skyldes de naturlige deformasjonene.

For to-dimensjonale rammer kan prosessen forenkles. Her kan vi anta at elementet ligger i et plan, og rotasjonene kan beregnes på en mer direkte måte ved å bruke lignende metoder som beskrevet for romrammene, men i et redusert system. Ved å bruke disse metodene kan vi kontrollere at formlene fungerer korrekt, og vi kan bruke dem til å løse praktiske problemer i to dimensjoner.