I systemet som består av en bro, et testkjøretøy og en forsterker, blir bevegelsene til hvert av komponentene – amplifisatoren (ya), kjøretøyet (yv) og broen (u) – relatert gjennom komplekse matematiske uttrykk. Dette systemet er avgjørende for å forstå dynamikken ved testing av broer under belastning, spesielt når det gjelder å analysere hvordan forskjellige frekvenser påvirker responsen til broen og kjøretøyet.

Når en forsterker benyttes, har den to hovedfunksjoner: forsterkning av frekvensen av broens respons og undertrykkelse av kjøretøyets frekvenser, som kan maskere broens respons i spekteret til kjøretøyet. Begge disse målene er kritiske for å oppnå nøyaktige analyser i brotesting og for å forstå hvordan kjøretøyet og forsterkeren samhandler med broen.

Dynamisk Modell for Forsterker-Kjøretøy-Bro Systemet

De grunnleggende bevegelsene for forsterkeren og kjøretøyet er gitt av differensialligninger som tar hensyn til krefter som virker på systemet. Bevegelsen til broen kan uttrykkes som en modal superposisjon, der hvert ledd representerer en spesifikk vibrasjonsmodus for broen. Når man antar at kjøretøyets og forsterkerens masse er betydelig mindre enn broens masse, kan man forenkle modellene og løse dem for å finne utslagene for både kjøretøyet og forsterkeren.

I analysen finner vi at responser for kjøretøyet og forsterkeren er tett sammenkoblet gjennom deres respektive bevegelseslikninger. De relevante frekvensene for systemet inkluderer de grunnleggende brofrekvensene og de forskjøvede frekvensene som blir påvirket av kjøretøyet og forsterkeren. Når disse systemene resonnerer med hverandre, kan de forårsake forsterkede vibrasjoner som kan observeres både i kjøretøyets bevegelse og i broens respons.

Forsterkerens Effekt på Broens Dynamiske Respons

En viktig del av analysen er å forstå hvordan forsterkeren påvirker broens respons, spesielt når det gjelder forsterkning av broens egen frekvens. Den dynamiske forsterkningsfaktoren (DAF) er et mål på hvordan forsterkeren endrer responsen til broen. Dette er definert som forholdet mellom amplituden for hver eksitasjonsfrekvens i forsterkerens respons og i broens kontaktrespons. I formelen for DAF kan vi se at både kjøretøyets masse og hastigheten spiller en viktig rolle i hvordan forsterkeren påvirker systemets dynamikk.

Frekvenser som er relevante for DAF inkluderer både kjøretøyets frekvenser og de modulerte brofrekvensene, som er justert gjennom forsterkerens påvirkning. Ved å analysere disse forholdene kan vi finne ut hvordan forsterkeren bidrar til å enten forsterke eller undertrykke bestemte frekvenser, noe som gir oss innsikt i hvordan vi kan optimalisere systemet for spesifikke formål som brotesting.

Viktige Aspekter å Forstå

For å få en dypere forståelse av hvordan dette systemet fungerer, er det avgjørende å merke seg at forsterkeren kan både forsterke og dempe forskjellige frekvenser i systemet. Dette er en nøkkelfaktor i brotesting, hvor vi ønsker å fokusere på spesifikke resonansfrekvenser som er kritiske for broens strukturelle integritet. Derfor er det viktig å ha kontroll over både kjøretøyets og forsterkerens dynamikk for å unngå utilsiktet resonans eller overdreven forsterkning som kan føre til feilaktige analyser.

Videre er det viktig å forstå at et system som dette ikke bare er lineært i sin respons. Flere faktorer som kjøretøyets hastighet, forsterkerens karakteristikker og broens egne vibrasjonsmoduser spiller inn. Effektive målinger og analyser av systemet krever at vi tar hensyn til alle disse komponentene i en helhetlig modell.

Hvordan beregne kontaktresponser for et to-akslet kjøretøy

I denne studien benyttes Galerkins metode for å løse den modale koordinaten qb,n(t). Ved å sette inn likning (7.4) i likning (7.1), multiplisere begge sider med sin(n𝜋x/L), integrere over lengden L, og bruke ortogonalitetsbetingelsene for produktet av sinusfunksjoner, kan vi komme frem til et sett med modale likninger, hvorfra den modale koordinaten qb,n(t) kan beregnes med null innledende betingelser. Videre, ved å sette den modale koordinaten qb,n(t) inn i likning (7.4), kan vi få forskyvningen av bølgen som:

∑n=1N∑i=f,rΔu(x,t)=stn,iL[H(t−ti)−H(t−ti−T)]sin⁡(nπxL)\sum_{n=1}^{N} \sum_{i=f,r} \Delta u(x, t) = \frac{stn,i}{L} \left[ H(t - t_i) - H(t - t_i - T) \right] \sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right)

hvor 𝜔b,n er den n-te frekvensen til bølgen, som kan uttrykkes som:

ωb,n=n2π2EIL2\omega_{b,n} = \frac{n^2 \pi^2 E I}{L^2}

Den statiske forskyvningen Δnst,j for den n-te modale frekvensen som forårsakes av p_j og hastighetsparameteren Sn, er:

Δstn,j=pjL3n4π4EIogSn=nπvLωb,n\Delta_{stn,j} = \frac{p_j L^3}{n^4 \pi^4 E I} \quad \text{og} \quad S_n = \frac{n\pi v}{L \omega_{b,n}}

Deretter kan kontaktforskyvningen u_cj(t) for den j-te akselen oppnås ved å sette x = v(t − t_j) for kontaktstedet på broen. Kontaktforskyvningen uttrykkes som:

∑n=1N∑i=f,rΔu(x,t)=stn,iLH(t−ti)sin⁡(nπv(t−tj)L)\sum_{n=1}^{N} \sum_{i=f,r} \Delta u(x, t) = \frac{stn,i}{L} H(t - t_i) \sin \left( \frac{n\pi v(t - t_j)}{L} \right)

Gjennom å ta den andre derivert av likning (7.8), kan man finne kontaktakselerasjonene ü_cj(t), som representerer den analytiske løsningen som senere vil bli brukt som referanse. Det er viktig å merke seg at kjøretøyfrekvensene er utelatt fra uttrykket for kontaktresponser, da disse frekvensene ikke er nødvendige for den spektrometriske analysen av broens frekvenser. Ved å bruke kontaktresponser i stedet for kjøretøyresponser kan vi filtrere ut forstyrrende kjøretøyfrekvenser.

Kontaktresponser kan imidlertid ikke måles direkte, ettersom CP-ene (kontaktpunktene) beveger seg sammen med testkjøretøyet. De kan imidlertid beregnes ved hjelp av kjøretøyresponser, som måles av akselerasjonssensorene montert på kjøretøyet. Denne prosessen for beregning av kontaktresponser kan benyttes til å rekonstruere broens modale egenskaper.

For å beregne kontaktresponser for et to-akslet kjøretøy antas det at to akselerasjonssensorer (seismometre) er installert på kjøretøykroppen (rigid bølge) som vist i figur 7.2, kalt henholdsvis front- og baksensorer. Når testkjøretøyet beveger seg over broen, vil kjøretøyets respons bli registrert av disse sensorene. Ved å bruke disse sensorene kan vi beregne kontaktresponser for begge aksler.

For å få kontaktakselerasjonene ü_cf(t) og ü_cr(t) for de to akslene, benyttes følgende ligninger for vertikale og rotasjonsbevegelser til kjøretøyet:

mvy¨v(t)+cvf[y˙v(t)+dfθ˙v(t)−u˙cf(t)]+cvr[y˙v(t)−drθ˙v(t)−u˙cr(t)]+kvf[yv(t)+dfθv(t)−ucf(t)]+kvr[yv(t)−drθv(t)−ucr(t)]=0m_v ÿ_v(t) + c_{vf} [\dot{y}_v(t) + d_f \dot{\theta}_v(t) - \dot{u}_{cf}(t)] + c_{vr} [\dot{y}_v(t) - d_r \dot{\theta}_v(t) - \dot{u}_{cr}(t)] + k_{vf} [y_v(t) + d_f \theta_v(t) - u_{cf}(t)] + k_{vr} [y_v(t) - d_r \theta_v(t) - u_{cr}(t)] = 0 J_v \thetä_v(t) + c_{vf} d_f [\dot{y}_v(t) + d_f \dot{\theta}_v(t) - \dot{u}_{cf}(t)] - c_{vr} d_r [\dot{y}_v(t) - d_r \dot{\theta}_v(t) - \dot{u}_{cr}(t)] + k_{vf} d_f [y_v(t) + d_f \theta_v(t) - u_{cf}(t)] - k_{vr} d_r [y_v(t) - d_r \theta_v(t) - u_{cr}(t)] = 0

De vertikale forskyvningene y_v(t) og rotasjonsvinkelen θ_v(t) er relatert til kjøretøyets akselerasjoner som kan beregnes fra de registrerte akselerasjonene ved front- og baksensorene. Ved å bruke de registrerte akselerasjonene ÿ_vf(t) og ÿ_vr(t) fra sensorene, kan vi beregne de ønskede kontaktakselerasjonene ved:

y¨v(t)=y¨vf(t)dr+y¨vr(t)dfdr+dfÿ_v(t) = \frac{ÿ_{vf}(t) d_r + ÿ_{vr}(t) d_f}{d_r + d_f}

og

\thetä_v(t) = \frac{ÿ_{vf}(t) d_f - ÿ_{vr}(t) d_r}{d_r + d_f}

Når kontaktakselerasjonene ü_cf(t) og ü_cr(t) er beregnet, kan man løse for de endelige kontaktresponsene ved hjelp av videre integrasjon og tilnærming, som gir:

u¨cj(t)=kvjcvje−tτ∫0tGvj(τ)e−ττdτ,j=f,rü_{cj}(t) = \frac{k_{vj}}{c_{vj}} e^{ -\frac{t}{\tau}} \int_0^t G_{vj}(\tau) e^{ -\frac{\tau}{\tau}} d\tau, \quad j = f, r

Dette er den analytiske løsningen for kontaktakselerasjonene, som senere kan brukes til å rekonstruere broens modale egenskaper gjennom VMD og HT.

I tillegg til de beregningene som er beskrevet, er det viktig å merke seg at beregningene av kontaktresponsene ikke er begrenset av broens type. Dette betyr at de samme metodene kan brukes uavhengig av broens spesifikasjoner, og de har vist seg å være pålitelige i felten, som diskutert i tidligere kapittel.

Hvordan mestre kamp og utforske i Expedition 33: Effektive strategier for å vinne
Hvordan lage barbacoa-inspirert svinekjøttwrap med lime-koriander-ris
Hvordan Byzantine Feil-Tolerante Konsensusprotokoller Blir Angrepet
Hvordan galvanisk korrosjon og andre korrosjonstyper påvirker industrielle strukturer