Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
Stokastisk analyse av dynamiske systemer, spesielt i tilfeller med hysterese, har blitt et nøkkelverktøy for å forstå hvordan systemer responderer på tilfeldige eksitasjoner. I de fleste tilfeller er eksitasjonen av systemet modellert som et hvitt Gaussisk støyprosesser, som er et matematisk ideal med uendelig energi og en korrelasjonsfunksjon som er en delta-funksjon. Slik støy er imidlertid ikke realistisk, ettersom virkelige stokastiske prosesser har begrenset energi og komplekse korrelasjoner. For å nærme seg en realistisk løsning, ble metoden for stokastisk gjennomsnitt utviklet for å forenkle slike systemer ved å erstatte ikke-hvite prosesser med hvit støy under spesifikke betingelser.
Stokastisk gjennomsnitt brukes primært for å redusere dimensjonene på systemet ved å skille mellom raske og langsomme responser. Ved å bruke tidsgjennomsnitt kan man eliminere raske svingninger og fokusere på de langsommere, mer stabile bevegelsene som styrer systemets overordnede dynamikk. Dette gjør det mulig å forenkle beregningene og få en tilnærmet løsning uten å måtte analysere hele spekteret av systemets responser. Et sentralt problem med denne tilnærmingen er at systemets respons ofte er uforutsigbar og støybasert, noe som gjør at man ikke kan bruke tidsgjennomsnitt på den vanlige måten. En alternativ tilnærming er å bruke romgjennomsnitt, som er basert på ergodiske egenskaper av systemet over bestemte manifold.
I begynnelsen ble teorien bak stokastisk gjennomsnitt utviklet av Stratonovich (1963), og senere ble dens teoretiske fundamenter utdypet av Khasminskii (1966) ved hjelp av et grense-teorem. Stokastisk differensialligning er et nøkkelverktøy i denne analysen. I et system beskrevet ved en stokastisk differensialligning, der eksitasjonen er modellert som en støyprosess, kan man bruke tilnærmingen til å få en Markov-diffusjonsprosess som beskriver systemets atferd under visse forhold. Når små parametere som ε er introdusert, kan man etablere en diffusionsprosess hvor driftvektoren og diffusionsmatrisen er sentrale elementer i løsningen.
I tilfeller med bredbånds eksitasjoner, som kan være langt mer komplekse enn en enkel Gaussisk støy, blir tilnærmingen mer utfordrende. Dette skyldes at den stokastiske gjennomsnittmetoden krever flere spesialtilpasninger for å håndtere slike komplekse eksitasjoner. I slike tilfeller blir det viktig å bruke spesifikke teknikker for å analysere og forenkle effekten av bredbånds støy.
Metoden kan også tilpasses for spesielle typer systemer, som viskoelastiske systemer eller de med dobbelt-velds potensial. For disse tilfellene må stokastiske gjennomsnittsmetoder modifiseres for å kunne håndtere de unike egenskapene ved disse systemene. Det finnes også tilfeller hvor systemet utsettes for både harmoniske og tilfeldige eksitasjoner, som hvite Poisson-støy eller fraksjonell Gaussisk støy, som krever ytterligere tilpasning av metoden for å gi nøyaktige løsninger.
En viktig del av den stokastiske gjennomsnittmetoden er å bestemme de riktige koeffisientene for drift og diffusjon i de stokastiske differensiallikningene. Dette kan gjøres ved å analysere systemets respons på små endringer i eksitasjonen, og ved å bruke det matematiske rammeverket som er utviklet for å estimere disse koeffisientene på en effektiv måte. Dette er en kompleks prosess, men gir kraftige verktøy for å forstå og predikere dynamikken i systemer som er underlagt støy og tilfeldige prosesser.
Det er også viktig å merke seg at stokastisk gjennomsnittmetode ikke alltid gir en fullstendig løsning på alle typer stokastiske systemer. I mange tilfeller er det fortsatt nødvendig å bruke numeriske simuleringer eller eksperimentelle data for å validere de teoretiske forutsigelsene og for å få en mer nøyaktig beskrivelse av systemets virkelige atferd.
En annen nøkkelfaktor som må forstås er at metoden er sterkt avhengig av valg av tids- eller romgjennomsnitt og den spesifikke strukturen i støyprosessen som brukes til å drive systemet. Selv små endringer i støyens karakter kan føre til betydelige endringer i systemets respons, noe som gjør det avgjørende å velge den riktige modellen for støyen i analysen.
Endelig bør leseren være oppmerksom på at selv om stokastisk gjennomsnittsmetode tilbyr en kraftig forenkling, er det en tilnærming, og som alle tilnærminger, har den sine begrensninger. Derfor er det ofte nødvendig å bruke en kombinasjon av teoretiske metoder og numeriske simuleringer for å få en mer fullstendig forståelse av systemets oppførsel under støy og andre tilfeldige prosesser.
Hvordan kan stasjonære sannsynlighetsfordelinger beregnes for systemer utsatt for støyeksitasjon?
Stasjonære sannsynlighetsfordelinger spiller en kritisk rolle i forståelsen av dynamikken til et system utsatt for støyeksitasjon. I tilfelle av systemet beskrevet i ligningene (4.450) og (4.447), kan man ved hjelp av stokastiske metoder og numeriske simuleringer finne både de marginale og felles sannsynlighetsfordelingene for systemets plassering og hastighet . Stasjonære sannsynlighetsfordelinger beskriver fordelingen av systemets tilstand etter en lang periode, når systemet har nådd en balanse mellom drivende krefter og de dempende effektene av støyen.
For å finne disse sannsynlighetsfordelingene, benyttes de komplette elliptiske integrale av første og andre type, og , som gir et verktøy for å beregne statistiske egenskaper i stokastiske systemer. Et viktig resultat som kan utledes fra simuleringene, er at den stasjonære sannsynlighetsfordelingen for systemets plassering og for systemets hastighet kan beskrives som marginaliserte sannsynlighetsfordelinger fra den felles fordelingen . For å finne forventningsverdier som og , integreres de tilsvarende fordeler over hele domenet, noe som gir innsikt i systemets langtidsegenskaper.
Resultatene fra de numeriske simuleringene, som er presentert i figurene 4.32 og 4.33, viser en svært god overensstemmelse mellom systemet som er analysert ved hjelp av stokastisk gjennomsnitt og det originale systemet. De marginale fordelene og , sammen med forventningsverdiene, indikerer at systemet viser karakteristiske avvik fra en enkel Gaussisk fordeling når parametrene endres. Spesielt kan disse endringene føre til at systemet oppfører seg annerledes enn forventet i et rent lineært system.
Forventet kvadrat av plasseringen og hastigheten, og , kan også beregnes ved hjelp av de stasjonære fordelinger. Disse verdiene er fundamentalt viktige for å forstå hvordan støy påvirker systemets dynamikk over tid. Figurene 4.34 og 4.35, som viser disse verdiene i forhold til Hurst-indeksen, demonstrerer hvordan endringer i støyens natur kan føre til forskjellige dynamiske responser fra systemet, spesielt ved ulike verdier for og Hurst-indeksen.
I tillegg til de kvantitative resultatene som vises i figurene, er det også viktig å merke seg hvordan disse fordelene endres når systemet eksponeres for forskjellige typer støy. Når støyen er hvit eller korrelert over tid, vil dette påvirke systemets stasjonære tilstand på forskjellige måter, og det er derfor avgjørende å ta hensyn til støyens karakter når man modellerer dynamiske systemer. For eksempel, når Hurst-indeksen er nær 1, kan systemet oppføre seg mer som en fraksjonell Gaussisk prosess, som fører til ikke-Gaussiske fordelingene for plassering og hastighet.
Endelig er det viktig å forstå at selv om stokastiske gjennomsnittsmetoder gir en kraftig tilnærming for å analysere slike systemer, kan det være noen avvik når systemet ikke er fullt integrerbart. Spesielt i tilfeller der systemet er utsatt for støy som er mer kompleks eller ikke-Gaussisk, må man bruke mer avanserte metoder for å beskrive systemets oppførsel nøyaktig.