Hvordan Weyl-gruppene og de kanoniske kommutasjonsrelasjonene bestemmer kvantemekaniske representasjoner

Ved å nærme oss Hamiltons bevegelseslikninger, og la $h \to 0$, åpner resultatet om selv-adjunktivitet opp en interessant mulighet. Vi kan bruke posisjons- og momentoperatorene til å generere enheterte grupper. Disse gruppene består av begrensede operatorer og vil føre til en C*-algebra for de kanoniske kommutasjonsrelasjonene (ccr). Denne eksponentieringen av ccr ble først foreslått av Weyl. Det som følger er en omvendt logisk tilnærming som gir ytterligere støtte for identifikasjonen av posisjons- og momentoperatorene som generatorer for oversettelsesgrupper i rommet og momentene. Dette tilsvarer deres identifikasjon som generatorer for fase-rommet oversettelser i klassisk mekanikk, som beskrevet av Arnold.

Det er verdt å merke seg at hvis vi legger til andre fysisk relevante operatorer som $g_i, p_i, q_d, p_d$, vil rommet av bølgefunksjoner være et ordentlig underrom av Schwartz-rommet. I kapittel 6 vil vi bevise at dersom vi inkluderer Hamiltonianen, vil ingenting endres—i hvert fall for de potensene vi bruker. Legger vi til vinkelmomentet, vil heller ikke noe endres, da det er en polynomfunksjon av posisjon- og momentoperatorene. Vi tar dette som et aksiomatisk grunnlag: koordinatene, momentene og Hamiltonianen er de grunnleggende observablene.

Gjennom disse betraktningene ser vi at kjernen i modellen ligger i å bruke målingsprinsippet og de kanoniske kommutasjonsrelasjonene til å bestemme rommet av bølgefunksjoner, der vi velger det maksimale rommet. I kapittel 4 vil vi se at valget av bølgefunksjonsrom bestemmer algebraen av observabler, igjen opp til et maksimalt valg. Dette igjen bestemmer tilstandene ved dualitet. Målingsprosessene som tillates av teorien, baseres på lineære transformasjoner som bevarer rommet av tilstander.

Posisjons- og momentoperatorene i Schrödinger-representasjonen fungerer som generatorer av enhetlige grupper. Disse gruppene ble foreslått av Weyl som en løsning på problemer knyttet til ubundne operatorer. Tilsvarende grupper eksisterer i alle ekvivalente representasjoner. Weyl-relasjonene følger fra beregninger basert på de kanoniske kommutasjonsrelasjonene. Når vi ser på selv-adjunktive utvidelser av posisjons- og momentoperatorene, genererer de sterkt kontinuerlige enhetlige representasjoner av gruppen som beskrevet i ligning (2.51.a) og (2.51.b), som tilfredsstiller den integrerte formen av ccr, kjent som Weyl-relasjonene.

C*-algebraen $A_s$ som oppnås ved å fullføre *-algebraen av alle polynomer i disse gruppeelementene med hensyn til operatornormen på $L^2(\mathbb{R}^d)$ er irreducibel. Beviset for irreducibilitet er at kommutasjon med gruppen $V(\mathbb{R}^d)$ gir et uttrykk for operatoren $A$ som kan skrives på en bestemt form, som viser at $A$ må være proporsjonal med identitetsoperatoren.

Slawny og Manuceau foreslo en abstrakt C*-algebra for ccr, som kan generaliseres til uendelig mange frihetsgrader. Denne tilnærmingen er godt representert i litteraturen, som i arbeidet til Bogolubov, Bratteli, Robinson, Dubin, Emch, og Ruelle.

For å fullføre beskrivelsen av algebraen til ccr, kompleksifiserer vi Weyl-relasjonene ved å betrakte den additive gruppen $\mathbb{C}^d$ og symplektisk form på den, som oppnås som den imaginære delen av det vanlige indre produkt. Dette gir et nytt perspektiv på representasjoner og deres algebraiske struktur.

Gjennom hele denne analysen ser vi at de grunnleggende operatorene—posisjon, moment og Hamiltonian—er de fundamentale observablene i kvantemekanikk. Deres rolle som generatorer for enhetlige grupper og deres tilknytning til C*-algebraer er avgjørende for forståelsen av kvantemekanikkens matematiske struktur. En dyptgående forståelse av disse relasjonene er sentral for å utvikle videre teorier og anvendelser innenfor fysikkens fundamentale områder.

Hvorfor kan identiske kvantepartikler ikke skilles – og hva følger av dette?

Usikkerhetsprinsippet i kvantemekanikken setter grunnleggende grenser for hva vi kan vite om partikler, særlig når vi prøver å måle deres egenskaper som posisjon og bevegelsesmengde. Selv om vi prøver å gjøre målinger på flere partikler nærmest samtidig, er det alltid et lite tidsrom mellom målingene – dette er tilstrekkelig til at usikkerhetsprinsippet gjelder og forhindrer oss i å identifisere individuelle partikler entydig. Å måle posisjonen til én partikkel og bevegelsesmengden til en annen unngår heller ikke problemet. Derfor kan identiske partikler i kvantemekanikken ikke skilles fra hverandre.

For systemer med flere enn to partikler kan situasjonen bli mer komplisert, og såkalte parastatistikker kan oppstå. Men siden slike statistikker ikke observeres i naturen, konsentrerer vi oss om to grunnleggende typer: total symmetri og total antisymmetri. Valget av fortegn i bytteregelen er ikke vilkårlig, men er knyttet til partikkelens spinn – en innsikt som stammer fra Pauli og hans analyse av atomstrukturer. For fermioner, som elektroner, må bølgefunksjonen være antisymmetrisk, noe som innebærer at to fermioner ikke kan opptre i samme kvantetilstand, kjent som Paulis eksklusjonsprinsipp. For bosoner, derimot, gjelder symmetri, noe som tillater flere partikler å befinne seg i samme tilstand. Dette forklarer blant annet fenomenet Bose-Einstein-kondensasjon, der mange bosoner samles i en felles kvantetilstand ved lave temperaturer.

Denne koblingen mellom spinn og statistikk har dype konsekvenser. For eksempel fører det til en såkalt utvekslingsinteraksjon mellom fermioner, et kvantemekanisk fenomen som påvirker energi- og symmetriegenskapene til elektronpar i atomer. Selv om den underliggende energioperatøren ikke eksplisitt inkluderer spinn, endrer kravet om total antisymmetri romlig symmetri, noe som igjen påvirker tillatte energinivåer. Denne utvekslingsinteraksjonen er essensiell i teorien for kjemiske bindinger, og uten denne ville organiske forbindelser, og dermed liv slik vi kjenner det, ikke vært mulig.

Når vi betrakter systemer med flere partikler i rommet, må vi ta hensyn til at systemets totale bølgefunksjon lever i et tensorprodukt av enkeltpartikkelrom. For å ivareta indistinguishability-prinsippet, utledes de symmetriske og antisymmetriske delrommene ved å bruke symmetrisering og antisymmetrisering gjennom permutasjonsgruppens handling på partikkelkoordinatene. Dette er et rent multilineært algebraisk fenomen, hvor man velger enten det symmetriske eller det antisymmetriske underrommet som beskriver henholdsvis bosoner eller fermioner.

Det er et prinsipp i naturen at den positive fortegnet knyttes til partikler med heltallsspinn (bosoner), mens det negative fortegnet knyttes til halvtallsspinn (fermioner). Denne koblingen er ikke tilfeldig, men følger strengt av kvantefeltteoriens aksiomer. Denne dype symmetrien i kvantesystemer har vidtrekkende konsekvenser, og den underbygger hele den statistiske oppførselen til partikler, strukturen til atomer og molekyler, og dermed fundamentet for kjemi og materialeegenskaper.

For å fullt ut forstå denne problemstillingen må leseren også være oppmerksom på hvordan kvantemekaniske tilstander beskrives i Hilbertrom, og hvordan topologiske tensorprodukter benyttes for å bygge opp mangepartikelsystemenes tilstandrom. Videre er det avgjørende å erkjenne at symmetrien eller antisymmetrien ikke bare er en matematisk formalitet, men et uttrykk for en fysisk egenskap som har eksperimentelle konsekvenser, fra spektre av atomer til makroskopiske fenomener som superfluiditet og supraledning.

Endelig bør det understrekes at disse prinsippene for indistinguishability ikke bare er grunnleggende i ikke-relativistisk kvantemekanikk, men også er formalisert og bevist innenfor relativistisk kvantefeltteori, noe som gir en solid teoretisk forankring til fenomenene vi observerer.

Hva er adjungerte operatorer i kvanteobservabler og hvordan defineres deres topologiske struktur?

En operator $a$ kalles adjungérbar hvis for alle $x \in W$ gjelder at $a k x \in \mathrm{Im}\, k$. I slike tilfeller kan den adjungerte operatoren $a^+ \in \mathcal{L}(W)$ defineres ved $a^+ x = k^{ -1} a k x$. Denne adjungerte operatoren tilfredsstiller den fundamentale relasjonen $(a^+ x, y) = (x, a y)$, som reflekterer den matematiske symmetrien bak observablers funksjon. Videre er det bevist at $a^+$ også tilhører $\mathcal{L}(W)$, og at mappeoperasjonen $a \mapsto a^+$ fungerer som en involusjon på mengden av adjungérbare operatorer $\mathcal{L}^+(W)$.

Det bemerkes at $\mathcal{L}^+(W)$ ikke er komplett under denne topologien, men dens fullføring kan beskrives som $\mathcal{L}_b(W, W')$, det vil si de kontinuerlige operatorene fra $W$ til $W'$. Dette innebærer at man i praksis arbeider med en ufullstendig, men matematisk veldefinert og fysisk meningsfull algebra av observabler.

Videre viser det seg at den graf-topologi på $W$ som bestemmes av algebraen av observabler, er ekvivalent med $\nu$-topologien gitt ved antalloperatoren. Alle adjungérbare operatorer er kontinuerlige i denne topologien, hvilket er en sentral egenskap for å sikre at algebraen av observabler er en ekte *-algebra lukket under adjungering.

Det er imidlertid bemerkelsesverdig at selv om rommet for bølgefunksjoner kan beskrives eksplisitt gjennom spektrale egenskaper til antalloperatoren, er det ikke mulig å gi en tilsvarende komplett og eksplisitt karakterisering av algebraen av observabler. Dette skyldes at observablene er generelt mange og ikke-kommutative, og det finnes ikke generelle kriterier for hvilke funksjoner av en gitt observabel som også er observabler. Unntakene er velkjente som posisjon og momentum.

I tillegg til den matematiske formalismen er det viktig å forstå at denne strukturen gjenspeiler fundamentale fysiske egenskaper ved kvantesystemer. At topologien sikrer tetthetsmatriser som kontinuerlige tilstander, gir en direkte kobling til hvordan kvantetilstander kan representeres og manipuleres. Mangelen på fullstendig eksplisitt karakterisering av algebraen tilsier nødvendigheten av abstrakte metoder, men samtidig åpner det for en dypere forståelse av hvordan observabler, målinger og dynamikk henger sammen i kvantefysikken.

Endelig er det vesentlig at adjungerte operatorer ikke bare er en matematisk abstraksjon, men også gir det nødvendige rammeverket for å definere selve målbare størrelser i kvantemekanikk, inkludert energi, bevegelsesmengde og spinn. At algebraen er lukket under adjungering og har en topologi som støtter kontinuerlige positive tilstander, sikrer at den fysiske tolkningen er konsistent og robust.

Hva betyr det at en topologi er bornologisk og hvorfor er det viktig i teorien om operatoralgebraer?

I konteksten av inductive limits og deres relasjon til bornologiske strukturer ser man at hvis alle mellomliggende avbildninger i en filtrerende system er kontinuerlige, og hvis de utgjør en tett og sekvensielt passende base, så følger kontinuiteten av den induktive grenseavbildningen. Dette er essensielt for utvidelsen av operatorer og deres veldefinerte oppførsel på større domener. Det er vist at dersom alle fᵣ er kontinuerlige, så er den globale avbildningen g også kontinuerlig, og restriksjonen f er dermed kontinuerlig.

Men det er ikke nok at et rom ligger sekvensielt tett mellom to bornologiske rom for å konkludere at det selv er bornologisk. Derfor introduseres et mer finstemt begrep: lokal sekvensiell tetthet. Her defineres en sekvens (zₙ) i et lokalt konvekst rom E å konvergere lokalt til x hvis det finnes en sekvens (cₙ) av positive tall slik at cₙ → ∞ og cₙ(zₙ - x) → 0. En slik sekvens kalles lokalt null, og et rom er bornologisk hvis og bare hvis alle absolutt konvekse mengder som absorberer alle lokalt null-sekvenser, er null-nabolag.

Dersom en delmengde F ⊆ E er lokalt tett, det vil si at enhver x ∈ E er grenseverdi for en lokalt konvergent sekvens fra F, og hvis F er bornologisk, da følger det at hele E er bornologisk. Dette er særlig relevant i tilfeller der man arbeider med rommet >l[g] og viser at en tett understruktur F er nok for å dedusere bornologisiteten til hele rommet.

Men dette strukturelle rammeverket har sine begrensninger. For eksempel er det ikke sant at produktet B² = {ab : a, b ∈ B} av en vilkårlig begrenset mengde B i A nødvendigvis er begrenset. Dette ville implisere fullstendighet, noe som bare holder i spesialtilfeller — som for nukleære Fréchet-rom når W er endeligdimensjonalt. A er ikke semirefleksivt og heller ikke barrelled, men det er quasi-barrelled. Som en understruktur av et nukleært rom, er fullføringen av A fortsatt nukleær, noe som tillater bruk av teknikker fra nukleær funksjonalanalyse.

Den sekvensielle tettheten av spannet T til basisvektorene uttrykker at endelig-rang-operatorer er tette i A. Dette tolkes som at A har den endelige approksimasjonsegenskapen, og i vårt tilfelle faktisk en enda sterkere egenskap: lokal tetthet. Dette er en essensiell komponent for anvendelser i kvantemekanikk, spesielt når man vurderer rommet W av bølgefunksjoner, som her betraktes som et Fréchet-rom og identifiseres med C^∞(M), det vil si glatte funksjoner over en ma

Hva kjennetegner W-kjerneoperatørenes algebraiske og topologiske struktur i kvantesystemer?

I studiet av kvantesystemers matematiske struktur spiller algebraen A' en sentral rolle. Den kan identifiseres med settet av W-kjerneoperatører, en klasse av operatorer som danner et *-algebra under naturlig sammensetning og involusjon. Denne algebraiske strukturen gjør det mulig å betrakte A' som en nukleær Frechet *-algebra, med mange gode topologiske egenskaper som blant annet barrel, bornologisk, Mackey, Montel, refleksiv og separabel. Positive elementer i A', betegnet A'+, utgjør en lukket, normal og genererende kjegle uten indre punkt, og disse tilsvarer positive W-kjerneoperatører. Disse positive funksjonene, normalisert slik at tr(p) = 1, kalles tetthetsmatriser (W-density matrices) og representerer tilstander i kvantesystemet.

En viktig konsekvens av denne strukturen er at tetthetsmatrisene kan dekomponeres i rene tilstander, som tilsvarer vektorstatene. Disse rene tilstandene er ekstremalpunkter i settet av alle tilstander, og GNS-representasjonen for en ren tilstand er unitarisk ekvivalent med Schrödinger-representasjonen. Denne representasjonen er lukket, algebraisk irreducibel, selvadjungert og tilhører s-klassen, noe som sikrer en sterk og presis matematisk formulering av ren kvantetilstand.

Videre har studiet av positive kart på algebraen A' betydning for den fysiske tolkningen av teorien. Positivitetsbevarende lineære kart er per definisjon kontinuerlige, noe som følger fra at A' er utstyrt med en ordenstoppologi og at den positive kjeglen er lukket og normal. Slike kart representerer ofte kvantemålinger, der det er ønskelig at kompliserte målinger kan tilnærmes som grenser av enklere.

Spektraldekomposisjonen for positive W-kjerneoperatører kan konvergere i flere normer, inkludert uniform operatornorm, spornorm og topologien definert av p', noe som gir en kraftig teknisk verktøykasse for analyse. Denne konvergensen muliggjør en presis behandling av tilstander og deres tilnærminger i det matematiske rammeverket.

Endelig bør man være oppmerksom på at selv om algebraen A' har mange gunstige egenskaper, er den ikke normerbar, noe som blant annet innebærer at den positive kjeglen har tomt indre. Dette påvirker topologien og må tas i betraktning i videre teoretisk arbeid, særlig når man studerer stabilitet, konvergens og kontinuitet i kvantesystemer.