Hvordan beskrives kinematikk og konstitutive relasjoner i klassisk plate- og plan elastisitetsteori?

Kinematikken i elastisitetsmekanikk beskriver hvordan forandringer i deformasjon (strain) henger sammen med forskyvningsfeltet (displacement). I et todimensjonalt planelastisitets-element uttrykkes denne sammenhengen gjennom de velkjente strain–displacement-relasjonene som kobler de komponentene av deformasjonen til partielle deriverte av forskyvningene i x- og y-retning. Disse uttrykkene kan kompakt skrives i matriseform der et differensialoperator-matriseoperatør, ofte betegnet som L, opererer på forskyvningsvektoren for å gi strainvektoren.

Ved kombinasjon av plan elastisitet og klassisk plateteori kan strain uttrykkes som en superposisjon av bidragene fra planforskyvninger (u₁ og u₂) og tykkelsesforskyvning (u₃) med tilhørende differensialoperatorer, der bidraget fra tykkelsesforskyvningen er vektet med en faktor relatert til platens bøyestivhet. Denne sammenstillingen muliggjør en samlet beskrivelse av mekaniske egenskaper i både plan og tverrsnitt, som er fundamentalt for å forstå belastningstilstander i tynne plater og laminater.

Konstitutive relasjoner beskriver sammenhengen mellom påførte spenninger (σ) og oppståtte deformasjoner (ε). For isotrope materialer, som har identiske egenskaper i alle retninger, kan denne relasjonen uttrykkes med bare to uavhengige materialkonstanter: Youngs modulus (E) og Poisson’s forhold (ν). Under antagelsen om plan spenningstilstand, der spenningen normal på platetykkelsen er null, etableres Hooke’s lov i to dimensjoner, der en elastisitetsmatrise C knytter strain til stress. Komplementært gir den elastiske compliance-matrisen D den inverse sammenhengen, fra stress til strain. Tykkelsesstrain kan deretter beregnes som en funksjon av de to horisontale strains med en faktor som involverer Poisson’s ratio.

I plateteori benyttes de samme konstitutive ligningene som i plan elastisitet. Dette forenkler analysen av kombinerte elementer, hvor både planar og tverrsnittsmessige deformasjoner behandles under et felles rammeverk. For ortotropiske materialer, som har tre gjensidig ortogonale hovedakser med forskjellige egenskaper i hver retning, utvides disse konstitutive relasjonene til å omfatte flere materialkonstanter og tilpasses materialets hovedaksessystem.

Det er essensielt å forstå at alle disse teoriene bygger på forutsetninger om små deformasjoner og lineær elastisitet. Kinematiske relasjoner som inkluderer rotasjonsvinkler og deres assosierte forskyvninger er forenklet til lineære tilnærminger som gjelder for små bøyinger og vridninger. Videre er antakelsen om plan spenningstilstand gyldig for tynne plater, der tykkelsesspenninger ignoreres, men tykkelsesdeformasjonene tillates. Forståelsen av dette gir innsikt i hvordan klassisk plateteori kan brukes til å forutsi både lokale og globale deformasjoner i strukturer som laminerte kompositter og tynne metallplater.

Det er viktig å anerkjenne at ulike definisjoner av rotasjonsvinkler finnes i litteraturen, og valget av definisjon påvirker hvordan de matematiske modellene konstrueres og tolkes. Valg av koordinatsystem og retning for rotasjonsvektor er avgjørende for konsistensen i de konstitutive ligningene og deres anvendelse i finite element-analyser. Videre må man være oppmerksom på at kombinasjoner av plan elastisitet og plateteori muliggjør mer nøyaktige og omfattende analyser ved å fange opp både membran- og bøyebelastninger.

Hvordan påvirker asymmetriske laminater stress- og strainfordelingen, og hvordan vurderes svikt ved bruk av ulike kriterier?

Distribusjonen av normale spenninger (σx, σy) og normale tøyninger (εx, εy) i x- og y-retning varierer gjennom tykkelsen av et asymmetrisk laminat når det utsettes for toaksial belastning. Figuren som illustrerer dette viser tydelig at belastningene Mn x og Mn y gir en asymmetrisk fordeling av både spenning og tøyning i forhold til midtplanet (z = 0). Tøyningsfordelingen er lineær og kontinuerlig gjennom hele laminatets tykkelse, mens spenningene viser et lagvis lineært mønster. Dette betyr at spenningen i hvert lag er proporsjonal med materialets stivhet i den aktuelle belastningsretningen.

Det fremkommer en tydelig kobling mellom strekk og bøying i laminatet, noe som vises som en superposisjon av konstante og lineære fordelinger av spenning og tøyning. Dette fenomenet gjenspeiles også i B-matrisen, hvor elementene som beskriver denne koblingen ikke er null. Denne sammenhengen har betydning for hvordan belastninger og deformasjoner samhandler i et sammensatt materiale med asymmetrisk lagdeling.

Sviktvurderingen kan gjennomføres ved hjelp av ulike kriterier som maks spenning, maks tøyning, Tsai–Hill og Tsai–Wu. For å sammenligne disse kriteriene blir belastningen ofte uttrykt i form av en styrkefaktor R, hvor R > 1 betyr at lagene tåler belastningen uten svikt, mens R ≤ 1 indikerer svikt i minst ett lag. Tilgjengelige analyser viser at alle kriteriene generelt gir sammenfallende styrkeforhold i samme størrelsesorden, noe som gir økt tillit til prediksjonene.

Ved videre analyser av symmetriske laminater med ulike lagorienteringer, som for eksempel et tre-lags laminat med 0°/90°/0° orienteringer, kan ply-for-ply sviktlastene beregnes systematisk. Materialegenskapene, tykkelser og orienteringer defineres først, deretter genereres stivhetsmatriser for hvert lag i det globale koordinatsystemet. Ved å anvende ren strekkbelastning i x-retning kan sviktlastene for hvert lag bestemmes basert på Tsai–Wu-kriteriet. Slike metoder muliggjør en detaljert og nøyaktig vurdering av når og hvor i laminatet svikt oppstår.

Det er avgjørende å forstå at laminaters respons på belastning ikke bare avhenger av de individuelle lagenes egenskaper, men også av lagenes orientering, tykkelse og den totale lagoppbygningen. Asymmetri i laminatet introduserer komplekse spenningstilstander som resulterer i kombinasjoner av strekk og bøyning. Dette gjør det nødvendig med nøye analyse av både spenninger og tøyninger i hvert lag for korrekt sviktvurdering.

Videre er det viktig å merke seg at forskjellige sviktkriterier baserer seg på ulik fysisk forståelse av materialsvikt, og derfor kan gi varierende resultater, spesielt nær grenseverdier. En integrert tilnærming hvor flere kriterier vurderes parallelt gir derfor en mer robust sikkerhetsvurdering.

Hvordan Beregne Elastisitets- og Overholdelsesmatriser i Laminate Systemer

I komposittmaterialer og deres anvendelse i laminater er det avgjørende å forstå hvordan man beregner elastisitets- og overholdelsesmatriser for å kunne forutsi materialets oppførsel under belastning. Denne beregningsprosessen krever systematisk anvendelse av de relevante matrisene og deres sammenstillinger, som senere gir en omfattende forståelse av belastning, stress og strain i laminatet.