Hoe Bandbreedte van Excitaties het Gemiddelde Overgangstijd van een Systeem Beïnvloedt

In een systeem met een dubbele potentiaalput, dat onderhevig is aan stochastische excitatie, kan het gemiddelde overgangs- of vervalgedrag van een toestand naar een andere, worden geanalyseerd met behulp van specifieke wiskundige modellen. Dit type systeem is typisch voor mechanische, elektrische of zelfs biologische systemen waarin de toestand van het systeem zich stochastisch ontwikkelt als gevolg van externe invloeden, zoals willekeurige krachten. De theorie achter deze dynamica wordt vaak beschreven met behulp van de zogenaamde Pontryagin-vergelijking, een integraal-differentiaalvergelijking die het tijdsverloop van een bepaald systeemmodel weergeeft.

Voor een specifiek geval, waar de energie van een systeem begint bij een beginwaarde λ₀, is de verandering van de toestand gedefinieerd door de Pontryagin-vergelijking. Deze beschrijft het gedrag van de energie met behulp van een set van parameters die de reactie van het systeem op externe krachten representeren, waaronder m(λ₀) en σ²(λ₀). De methode, gebaseerd op het stochastisch gemiddelde, maakt het mogelijk om een gedetailleerde oplossing voor het systeem te verkrijgen, rekening houdend met verschillende randvoorwaarden.

Er zijn echter diverse complexe aspecten die de resultaten beïnvloeden. Het meest opvallende is de invloed van de bandbreedte van de excitatie. Dit effect is vooral relevant wanneer we kijken naar systemen die reageren op zowel harmonische als willekeurige excitatie, wat vaak voorkomt in de praktische toepassingen van dergelijke systemen. In studies van Zhu et al. (2013) werd bijvoorbeeld aangetoond dat de bandbreedte van de excitatie de overgangstijd aanzienlijk beïnvloedt. Het blijkt dat een bredere bandbreedte niet altijd tot een voorspelbare verbetering van het systeemgedrag leidt. Integendeel, in bepaalde gevallen leidt een te grote bandbreedte tot een minder efficiënte overgang van de ene toestand naar de andere, wat niet altijd in lijn is met de verwachtingen.

De resultaten van deze experimenten, zoals weergegeven in figuren zoals 4.25 en 4.26, tonen aan dat de bandbreedte de respons van het systeem niet altijd op een eenduidige manier beïnvloedt. Bijvoorbeeld, wanneer de waarden α₁ en α₂ van de bandbreedteparameters gelijk zijn aan 3, bevindt de resulterende curve zich tussen die van 1 en 2, wat suggereert dat de bandbreedte een complex effect heeft, afhankelijk van de specifieke eigenschappen van het systeem. Dit impliceert dat de reactie van een systeem niet alleen afhankelijk is van de bandbreedte zelf, maar ook van de natuurlijke frequentie van het systeem en andere interne parameters.

Deze complexiteit wordt verder versterkt door de aanwezigheid van een zogenaamde "saddle point" en homoclinische orbits, die in veel systemen met conservatieve dynamica aanwezig kunnen zijn. De theorie van Khasminskii (1966, 1968) stelt dat het stochastisch gemiddelde in dergelijke gevallen niet altijd rechtstreeks kan worden toegepast, omdat de beweging van het systeem rond deze punten niet periodiek is. Dit vereist alternatieve methoden voor het berekenen van de systeemrespons.

In gevallen waarin het systeem wordt blootgesteld aan zowel harmonische als willekeurige excitatie, is het essentieel om te begrijpen dat resonantie en niet-resonantie scenario's verschillend moeten worden behandeld. In een resonantiesituatie, waar de frequentie van de harmonische excitatie dicht bij de natuurlijke frequentie van het systeem ligt, wordt de respons van het systeem sterk beïnvloed door de interactie tussen de beide soorten excitatie. Dit geldt vooral voor systemen met niet-lineaire eigenschappen, waar de klassieke resonantieanalyses vaak moeten worden aangepast.

Een belangrijke overweging in de stochastische modellering van dergelijke systemen is de rol van het zogenaamde "detuning" - de discrepantie tussen de frequentie van de excitatie en de natuurlijke frequentie van het systeem. Wanneer deze discrepantie klein is, kan de invloed van de harmonische excitatie significant zijn, wat resulteert in een complexe interactie tussen de excitatie en de natuurlijke dynamiek van het systeem. Dit kan leiden tot een vertraging of versnelling van de overgangstijd, afhankelijk van de exacte aard van de externe invloeden.

Voor systemen met zowel harmonische als willekeurige excitatie is het noodzakelijk om het stochastische gemiddelde op een geschikte manier toe te passen. De theorie die hiervoor wordt gebruikt, is gebaseerd op de Langevin-vergelijkingen voor de gemeten variabelen, die door middel van transformaties zoals X = Xc cos(νt) + Xs sin(νt) kunnen worden vereenvoudigd. Deze benadering maakt het mogelijk om het systeemgedrag te modelleren in termen van langzaam variërende variabelen die de respons van het systeem karakteriseren.

De impact van de bandbreedte van de excitatie op de overgangstijd is dus niet eenvoudig te generaliseren. Er is een duidelijk bewijs dat de effectiviteit van deze parameter afhankelijk is van de specifieke eigenschappen van het systeem en de aard van de excitatie. Dit benadrukt de noodzaak voor zorgvuldige parameterinstellingen en gedetailleerde wiskundige modellering bij het analyseren van dergelijke systemen. Bovendien wordt duidelijk dat resonantie en detuning cruciale rollen spelen bij het begrijpen van de dynamica van stochastische systemen.

Hoe kan de stochastische gemiddelde methode de stationaire kansdichtheidfuncties in quasi-non-integrabele Hamiltoniaanse systemen beïnvloeden?

Wanneer we de dynamica van quasi-non-integrabele Hamiltoniaanse systemen analyseren, vooral in gevallen waarbij de Hamiltoniaan een kritieke waarde overschrijdt, zoals in de overgang van $H < H_c$ naar $H > H_c$, wordt de toepassing van de stochastische gemiddelde methode essentieel. In dit soort systemen is de Hamiltoniaan typisch niet volledig integreerbaar, wat betekent dat de dynamica complex en moeilijk te voorspellen is met traditionele methoden.

De stochastische gemiddelde methode wordt in twee fasen toegepast om de stationaire kansdichtheidsfuncties (PDF) te verkrijgen. Ten eerste wordt een niet-genormaliseerde stationaire PDF $C_{\text{inpin}}(q, p)$ afgeleid voor het domein van $H(q, p) \leq H_c$. Dit betreft het gebied waar het systeem nog in een relatief stabiele toestand verkeert, en de dynamica kan worden benaderd door de stochastische gemiddelden van de relevante variabelen. In de tweede fase wordt dezelfde methode toegepast voor het domein $H(q, p) > H_c$, wat meestal de overgang naar een minder stabiele toestand weerspiegelt, met een andere niet-genormaliseerde PDF $C_{\text{outpout}}(q, p)$.

Op het grensvlak van $H(q, p) = H_c$, waar de twee PDF’s elkaar raken, is het vaak noodzakelijk om de verschillen tussen deze functiewaarden te minimaliseren. Dit wordt bereikt door de methode van de kleinste kwadraten toe te passen, waarbij typische punten $(q_i, p_i)$ op de interface worden gekozen. De meest gebruikelijke keuze bestaat uit het selecteren van punten die de overgang tussen de twee domeinen markeren, zoals $q_2 = \pm \delta$, waarbij $\delta$ een specifieke waarde is die de kritieke grens aanduidt.

Om de discrepantie tussen de twee PDF's op het grensvlak $H(q, p) = H_c$ te minimaliseren, wordt een gemiddelde kwadratische functie gedefinieerd:

Door de afgeleide van $E$ naar de parameter $\varepsilon$ te nemen, kan de optimale waarde van $\varepsilon$ worden gevonden, wat de methoden van stochastisch gemiddelde tot een krachtig hulpmiddel maakt voor het nauwkeurig beschrijven van de overgangsstaten van het systeem.

Het resultaat van deze stochastische gemiddelden kan vervolgens worden samengevoegd in een gecombineerde stationaire kansdichtheidsfunctie:

In deze gecombineerde functie is $C$ een normalisatieconstante die ervoor zorgt dat de totale waarschijnlijkheid over het gehele systeem gelijk is aan 1.

Bij de analyse van het systeem, vooral wanneer men geïnteresseerd is in de statistieken van de verplaatsing $Q_2$, worden de marginale stationaire PDF’s $p(q_2)$ en $p(q_2, p_2)$ afgeleid door de integratie van de gecombineerde PDF’s. Dit proces helpt om een gedetailleerd inzicht te verkrijgen in de dynamica van het systeem in de nabijheid van de kritieke grenswaarde.

Bovendien wordt in gevallen waar de stochastische impact een aanzienlijke rol speelt, zoals in systemen met meerdere muren of een rechterwand, het voordeel van de gecombineerde methode duidelijk. In de praktijk blijkt uit de berekeningen van de stationaire PDF’s van verplaatsing $Q_2$ dat de stochastische gemiddelde methode aanzienlijk betere resultaten oplevert dan andere benaderingen, zoals Monte Carlo-simulaties.

Het is belangrijk te begrijpen dat deze benadering bijzonder nuttig is in gevallen waar het systeem gedwongen wordt door externe stochastische invloeden, zoals witte ruis, en waar de effecten van de impact tussen twee of meer lichamen bepalend zijn voor de dynamica. Door het toepassen van de stochastische gemiddelde methode kunnen de stationaire toestanden van het systeem nauwkeurig worden voorspeld, wat cruciaal is voor het ontwerp en de analyse van niet-lineaire systemen.

In systemen die gedreven worden door Markov-jumpparameters, zoals het Markov-springproces $s(t)$, kunnen extra complicaties ontstaan wanneer de toestand van het systeem overgaat van de ene naar de andere toestand. De overgangswaarschijnlijkheden van dergelijke processen worden gedefinieerd door de jump-rate matrix $\lambda_{ij}$, die het dynamische gedrag van het systeem verder beïnvloedt. Het is dan nodig om de dynamica van het systeem in de aanwezigheid van deze Markov-jumpprocessen te modelleren, wat meestal resulteert in meer complexe formules voor de gemeten kansen en de dynamische evolutie van het systeem.

De stochastische benaderingen zoals beschreven hierboven spelen een cruciale rol bij het begrijpen van de lange-termijngedrag van quasi-non-integrabele systemen, vooral in situaties waarin de niet-lineariteit en de externe stochastische invloeden het systeem in complexe en moeilijk te voorspellen staten brengen. Het vermogen om de stationaire PDF’s te berekenen en te analyseren biedt een waardevol inzicht in het verwachte gedrag van dergelijke systemen.

Hoe kan de stationaire oplossing van het gestochasticeerde Hamiltoniaanse systeem worden gevonden met behulp van de methode van stochastisch gemiddelden?

Om de stationaire oplossing van de verkorte gemiddelded FPK-vergelijking (6.77) te vinden, gaan we ervan uit dat de stationaire oplossing de vorm aanneemt van een machtreeks in ε, zoals aangegeven in (6.83):
$p(h) = p_0(h) + \varepsilon p_1(h) + \varepsilon^2 p_2(h) + \cdots$

Door deze expressie in te voegen in de vergelijkingen en de coëfficiënten van dezelfde orde in ε gelijk aan nul te stellen, ontstaat een reeks van gewone differentiaalvergelijkingen voor de functies $p_0(h), p_1(h), p_2(h), \cdots$. Het succesvoll oplossen van deze vergelijkingen geeft ons de stationaire oplossing van het systeem. De algemene benadering resulteert in een benadering van de stationaire PDF van de gegeneraliseerde verplaatsingen en de gegeneraliseerde impulsen, zoals weergegeven in (6.84).

Een voorbeeld kan verduidelijken hoe deze theorie werkt in de praktijk. Beschouw twee van der Pol oscillatoren, zowel lineair als niet-lineair gekoppeld, die worden aangedreven door Poisson witte ruis (Zeng en Zhu, 2011). De bewegingsvergelijkingen voor dit systeem zijn:

Waarbij $\beta_1, \beta_2, \alpha_1, \alpha_2$ van de orde $\varepsilon^2$ zijn, en $c_1, c_2$ van de orde $\varepsilon$. $W_{p1}(t)$ en $W_{p2}(t)$ zijn twee onafhankelijke Poisson witte ruisprocessen, die nul-mean, identiek Gaussian verdeelde impulsversterkingen hebben met gemiddelde aankomstfrequenties $\lambda_1$ en $\lambda_2$.

De Hamiltoniaanse functie die verbonden is met dit systeem heeft slechts één eerste integraal, namelijk de Hamiltoniaan zelf. We definiëren $Q_1 = X_1, Q_2 = X_2, P_1 = \dot{X}_1, P_2 = \dot{X}_2$, waarna de Hamiltoniaan wordt gegeven door:

waar

Dit systeem kan worden omgezet naar een set stochastische differentiaalvergelijkingen (SDE's) zoals weergegeven in (6.88), waarbij de ruis ter plaatse wordt geïntegreerd. De oplossing van deze SDE's leidt tot een gestochastisch gemiddelde en een benaderde FPK-vergelijking, die gebruikt kan worden om de stationaire verdelingen van de verplaatsingen en impulsen te bepalen.

Het numerieke voorbeeld gebruikt de systeemparameters:

De stationaire PDF van de Hamiltoniaan en de stationaire PDF van de gegeneraliseerde verplaatsing $Q_1$ worden getoond in Figuur 6.5 en 6.6, respectievelijk. De solide lijnen representeren de benaderde stationaire oplossingen verkregen door de gebruikmaking van de perturbatiemethode, de stippellijnen representeren de resultaten van de Gaussian benadering, en de symbolen ▲, ●, ▼ representeren de resultaten van Monte Carlo-simulaties. Uit de figuren blijkt dat de benaderde stationaire oplossingen van de stochastische gemiddelde methode goed overeenkomen met de Monte Carlo-simulaties en accurater zijn dan de Gaussian benadering, die de respons licht overschat.

Bijvoorbeeld, als we kijken naar een trillings-impact systeem met twee vrijheidsgraden, hetzij lineair, hetzij non-lineair gekoppeld en opgewekt door Poisson witte ruis, kunnen we een vergelijkbare benadering gebruiken. Het systeem wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen van (6.105), die dezelfde structuur vertonen als de voorgaande voorbeelden. Door de juiste stochastische differentiaalvergelijkingen op te stellen, kunnen we de stationaire oplossingen voor dit systeem verkrijgen en de effectiviteit van het gebruikte gemiddelde kunnen evalueren door de resultaten van de Monte Carlo-simulaties te vergelijken met theoretische voorspellingen.

Het belangrijkste hierbij is het vermogen van stochastische gemiddeldes om de complexiteit van ruis en niet-lineaire effecten effectief in te bedden in de modellering van fysieke systemen, en de robuustheid van dergelijke benaderingen die niet afhankelijk zijn van sterke vereenvoudigingen zoals de Gaussian benadering. Dit laat toe om realistischere voorspellingen te maken voor systemen die gedreven worden door Poisson witte ruis, waarbij de interacties en resonanties tussen de elementen van het systeem in beschouwing worden genomen.