Hoe wordt de globale stijfheidsmatrix opgebouwd in de eindige-elementen methode?

De congruente transformatie is een essentieel onderdeel van de eindige-elementenmethode en speelt een cruciale rol bij het omzetten van lokale coördinaten naar globale coördinaten. De transformatie van de lokale stijfheidsmatrix $[k]$ naar de globale stijfheidsmatrix $[k̂]$ gebeurt volgens de relatie $[k̂] = [Γ]^T [k] [Γ]$. De transformatie van de belastingvector ${f̂}$ naar de globale belastingvector ${f̂}$ wordt gegeven door de formule ${f̂} = [Γ]^T {f}$. Dit zorgt ervoor dat de lokale elementen correct worden weergegeven in de globale context, met behoud van de symmetrie van de oorspronkelijke matrices.

Zodra de lokale matrices en vectoren zijn getransformeerd naar het globale coördinatensysteem, kan de globale stijfheidsmatrix van de gehele structuur worden geconstrueerd. Dit gebeurt door de compatibiliteit- en evenwichtsvoorwaarden op de knooppunten van de structuur toe te passen. Compatibiliteit houdt in dat de verplaatsingen van de elementen die samenkomen op een gemeenschappelijk knooppunt, voor elke graad van vrijheid gelijk moeten zijn. Evenwicht houdt in dat de krachten van alle elementen die op hetzelfde knooppunt samenkomen, de externe belastingen op dat knooppunt in evenwicht moeten houden.

Deze principes leiden tot de samenstelling van de globale stijfheidsmatrix, wat vaak de 'stijfheidsassemblage' wordt genoemd. Hierbij worden de stijfheidscoëfficiënten van de elementen die samenkomen op elk knooppunt bij elkaar opgeteld om de globale stijfheid van het systeem te verkrijgen. De belastingvector kan op vergelijkbare wijze worden opgebouwd door de krachten van de verschillende elementen samen te voegen, waarbij het effect van de randvoorwaarden ook wordt meegenomen. Dit betekent dat de 'niet-actieve' graden van vrijheid, zoals de vastgestelde knooppunten, eenvoudigweg kunnen worden uitgesloten uit de berekeningen.

In de praktijk kan dit worden gerealiseerd door de graden van vrijheid die vastgelegd zijn, te identificeren en de corresponderende rijen en kolommen in de globale stijfheidsmatrix te verwijderen. Hierdoor wordt een verminderde stijfheidsmatrix verkregen die alleen de actieve, niet-gestabiliseerde vrijheidsgraden bevat. De uiteindelijke dimensie van de stijfheidsmatrix is dus afhankelijk van het aantal actieve vrijheidsgraden $N$, waarbij de matrix $[K]$ de grootte $N \times N$ heeft, en de belastingvector ${P}$ de grootte $N \times 1$.

De algemene formule voor de opbouw van de stijfheidsmatrix van de gehele structuur wordt gegeven door de som van de stijfheidsmatrices van alle elementen:

waar $[k̂(i)]$ de gestandaardiseerde stijfheidsmatrix is van element $i$, en $E$ het totaal aantal elementen in de structuur. Evenzo wordt de totale belastingvector ${P}$ verkregen door de som van de belastingvectoren van alle elementen.

Als de belasting niet alleen op de elementen, maar ook direct op de knooppunten van de structuur wordt toegepast, wordt de belastingvector aangepast door de toevoeging van de direct toegepaste krachten op de knooppunten. Dit kan eenvoudig worden toegevoegd aan de bestaande belastingvector ${f̂(i)}$ voor elk element, waardoor de totale belasting van de structuur wordt gerepresenteerd.

Hoe verschillende methoden voor niet-lineaire analyse het gedrag van frames in dynamische belasting beïnvloeden

In dit hoofdstuk worden verschillende numerieke benaderingen onderzocht voor het analyseren van niet-lineair gedrag in framestructuren, met de nadruk op de prestaties van de oplossingsmethoden en hun efficiëntie in vergelijking met eerdere benaderingen. De numerieke voorbeelden die in dit hoofdstuk worden gepresenteerd, benadrukken de kracht van de gecombineerde strategieën van de stijve matrix, krachtherstel en oplossingsmethoden, die gezamenlijk de problemen van framegedrag kunnen oplossen.

Bij de Williams' toggle bijvoorbeeld, waarbij elke lid van het frame wordt gemodelleerd met tien frame-elementen, bleek uit de numerieke resultaten dat de benadering die in dit hoofdstuk wordt gepresenteerd, goed overeenkomt met de analytische oplossing van Williams (1964). In dit geval wordt ook de computertijd vergeleken met die van Yang en Chiou (1987), die de natuurlijke vervormingsmethode gebruikten. De resultaten tonen aan dat de efficiëntie tussen beide benaderingen vergelijkbaar is. De benodigde iteraties en de tijd die nodig is voor het oplossen van de problemen variëren afhankelijk van de complexiteit van de belasting en de geometrie van het frame, maar over het algemeen zijn drie iteraties per stap voldoende om de oplossing te bereiken.

Bij het voorbeeld van een uitkraging die wordt belast met schuifkracht, wordt de afstemming van de afbuiging bij verschillende belastingniveaus getest. De numerieke oplossing toont een goede overeenkomst met de oplossing van Mattiasson (1981), wat de effectiviteit van de voorgestelde benadering opnieuw onderstreept. De overeenkomst in de computationele tijd tussen de twee benaderingen laat zien dat er weinig verschil is in de rekenkracht die vereist is om de analyse uit te voeren.

Het laatste voorbeeld in deze sectie betreft een vierkant diamond frame dat zowel in trek- als drukbelasting wordt belast. Dit voorbeeld wordt geselecteerd vanwege de symmetrie van het frame, wat het mogelijk maakt om slechts de helft van het frame te modelleren. De resultaten van de numerieke analyse, weergegeven in de bijbehorende afbuigingscurven, komen goed overeen met de analytische oplossingen van Mattiasson (1981). De efficiëntie van de methoden die in dit hoofdstuk worden gepresenteerd, blijkt vergelijkbaar met die van Yang en Chiou voor zowel trek- als drukbelastingen.

De eindige-elementenanalyse van een vierkant frame met stijve verbindingen laat een soortgelijke efficiëntie zien. Voor zowel trek- als drukbelasting is de numerieke oplossing die wordt gepresenteerd in dit hoofdstuk in lijn met de analytische referentieoplossingen, wat de robuustheid van de aanpak benadrukt. De methoden kunnen effectief omgaan met niet-lineaire problemen, waaronder punten van het zogenaamde "snap-through" en "snap-back", die typisch optreden bij grote vervormingen van structuren.

Naast de reeds besproken voorbeelden, is het belangrijk te benadrukken dat de nauwkeurigheid van de gebruikte stijve matrices en de formules voor krachtherstel van cruciaal belang zijn voor het oplossen van niet-lineaire problemen in frameanalyse. De theorie die wordt gepresenteerd, houdt rekening met de geometrische stijve matrix en de niet-lineaire spanningseffecten die ontstaan door grote vervormingen. De robuustheid van de benaderingen wordt verder ondersteund door de vergelijkbare resultaten die zijn verkregen in verschillende toepassingen van frame-elementanalyse, waarbij de methoden goed presteren in situaties waarin geometrische non-lineariteit en andere complexe fysische verschijnselen een rol spelen.

Het vergelijken van de efficiëntie van verschillende benaderingen, zoals die van Yang en Chiou en de methoden gepresenteerd in dit hoofdstuk, toont aan dat er geen significante verliezen zijn in rekentijd of nauwkeurigheid, zelfs bij complexere structuren en belastingstoestanden. Dit maakt de gepresenteerde aanpak bijzonder waardevol voor de analyse van complexe niet-lineaire structuren die voorkomen in de engineeringpraktijk.

Hoe de incrementele theorie kan worden toegepast op de stabiliteit van structuren

In de stabiliteitsanalyse van structuren, vooral die welke buigen of torderen, is het van belang een gedetailleerd inzicht te krijgen in de verschillende fasen van vervorming, waarbij de incrementele theorie een cruciale rol speelt. De methode, die uit twee fasen bestaat, biedt een efficiënte manier om de kritieke belastingen van structuren te analyseren die geen grote vervormingen vertonen voordat ze buigen. De eerste fase betreft de vervormingen van de structuur vanaf de initiële configuratie (C0) naar de eerste gemeten configuratie (C1), waarbij de externe belasting geleidelijk wordt verhoogd van nul naar een bepaald niveau. De tweede fase betreft de overgang van de prestressconfiguratie (C1) naar de uiteindelijke instabiliteitsconfiguratie (C2), die zich kenmerkt door grote vervormingen en het risico van knikken.

Een belangrijk voordeel van de incrementele theorie is de mogelijkheid om de bijbehorende differentiaalvergelijkingen in incrementele vorm te gebruiken. Deze vorm maakt het mogelijk om de structuren te analyseren in een non-lineaire eindige-elementenanalyse, waarbij het voordelig is dat alle vergelijkingen in incrementele vorm worden gepresenteerd. De methodologie maakt het ook mogelijk een gedetailleerde tweefasige analyse uit te voeren voor structuren die, voor het daadwerkelijke knikken, slechts verwaarloosbare vervormingen vertonen.

De eerste fase kan worden beschouwd als een stadium waarin de vervormingen klein zijn en lineaire analysemethoden kunnen worden gebruikt om de interne krachten van elk structureel lid te bepalen. In dit stadium worden de deformaties van de structuur als minimaal beschouwd, waardoor ze kunnen worden verwaarloosd bij de tweede fase van de analyse. In de tweede fase, het buckling stadium, kunnen grote vervormingen optreden in richtingen die niet parallel zijn aan de oorspronkelijke vervormingen. Dit stadium is van bijzonder belang voor het vaststellen van de kritieke belasting die leidt tot het knikken van de structuur.

Bijvoorbeeld, bij een kolom die axiaal wordt samengedrukt, wordt de eerste fase gekarakteriseerd door een toename van de externe belasting van nul naar een specifieke waarde P. De bijbehorende interne krachten in deze fase kunnen worden berekend door de gebruikelijke lineaire analysemethoden. De tweede fase wordt gedefinieerd door het knikken van de kolom, waarbij de belasting constant blijft, maar de vervormingen in de structuur aanzienlijk kunnen toenemen. De analyse van het knikken gebeurt door het oplossen van de bijbehorende differentiaalvergelijkingen, die onder andere de torsie en buigen van de kolom beschrijven.

In het geval van een kolom die torsie ondergaat, wordt de situatie ingewikkelder doordat de belasting niet alleen axiaal is, maar ook het effect van de torsie moet worden meegenomen. Bij deze belasting moet de eerste fase de vervormingen onder de torsie bevatten, en de tweede fase wordt gekarakteriseerd door het knikken als gevolg van torsie. De kritieke belasting in dit geval kan worden bepaald door vergelijkbare methoden, waarbij de eigen frequenties en de bijbehorende vervormingen worden berekend.

Een interessante nuance van de incrementele theorie is dat de gebruikelijke benaderingen van klassieke theorieën, die vaak aannemen dat de belasting alleen axiaal is, worden uitgebreid door termen die de invloed van niet-lineaire vervormingen omvatten. Dit leidt tot een meer realistische en gedetailleerde beoordeling van de kritieke belasting, vooral wanneer de vervormingen significant kunnen zijn. In veel gevallen is het effect van deze extra termen echter klein en kan het in de praktijk worden verwaarloosd.

Naast de toepassing op klassieke problemen zoals axiaal gecomprimeerde kolommen en torsiebelaste kolommen, kan deze theorie ook worden toegepast op meer complexe structuren, zoals ruimtelijke frames of gebogen structuren, die een grotere gevoeligheid vertonen voor niet-lineaire effecten. Het is van cruciaal belang dat ingenieurs en onderzoekers zich bewust zijn van de beperkingen van de lineaire stabiliteitsmodellen en de potentieel significante invloed van niet-lineaire vervormingen op de structurele integriteit.