De Green-Lagrange rekenspanningstensor is een essentieel concept in de analyse van niet-lineaire vervormingen van vaste lichamen. Deze tensor wordt gebruikt om de spanning en vervorming te beschrijven van een materiaal in een veranderende toestand, waarbij de beginconfiguratie wordt aangeduid met C0C0 en de later gemeten configuraties met C1C1 en C2C2. Het begrip van deze tensors is cruciaal voor het begrijpen van de dynamiek van een solide onder externe belasting, vooral wanneer de vervormingen niet meer als "klein" worden beschouwd en dus de klassieke lineaire benaderingen niet voldoende zijn.

De Green-Lagrange rekenspanningstensor ϵij\epsilon_{ij} wordt gedefinieerd in termen van de verplaatsingscomponenten en de verandering in de coördinaten van het materiaal. In de meest algemene vorm kan de Green-Lagrange rekenspanningstensor worden uitgedrukt als:

ϵij=12(∂ui∂xj+∂uj∂xi+∂uk∂xi∂uk∂xj)\epsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} + \frac{\partial u_k}{\partial x_i} \frac{\partial u_k}{\partial x_j} \right)

waarbij uiu_i de verplaatsing is in de richting van de ii-de coördinaat, en xjx_j de coördinaten van het materiaal in de referentieconfiguratie.

De componenten van de Green-Lagrange rekenspanningstensor kunnen verder worden afgeleid voor verschillende configuraties van het materiaal, zoals C0C0, C1C1, en C2C2, afhankelijk van de richting van de verplaatsingen en de mate van vervorming. Voor C2C2, bijvoorbeeld, kunnen de tensorcomponenten expliciet worden uitgedrukt als:

ϵxx=∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z\epsilon_{xx} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}
ϵyy=∂v∂y+∂u∂x+∂w∂z\epsilon_{yy} = \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z}
ϵzz=∂w∂z+∂u∂x+∂v∂y\epsilon_{zz} = \frac{\partial w}{\partial z} + \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}

Het gebruik van de Green-Lagrange tensor in niet-lineaire structuuranalyse biedt een zeer gedetailleerd inzicht in de vervormingen van het materiaal. Dit is vooral belangrijk in gevallen waar de vervormingen groot zijn en waar de lineaire benaderingen die vaak worden gebruikt in klassieke mechanica van solide stoffen niet langer geldig zijn.

Wanneer we werken met incrementele vervormingstensors, zoals de Green-Lagrange increment tensor Δϵij\Delta \epsilon_{ij}, kan de verandering in de spanningstensor tussen twee opeenvolgende configuraties worden gemeten. Dit kan als volgt worden gedefinieerd:

Δϵij=ϵij(C2)−ϵij(C1)\Delta \epsilon_{ij} = \epsilon_{ij} (C2) - \epsilon_{ij} (C1)

De Green-Lagrange increment tensor is van fundamenteel belang in de numerieke simulatie van niet-lineaire structuren, aangezien het de basis vormt voor de opbouw van de spannings-deformatie-relatie in een iteratieve oplossingsmethode zoals de eindige-elementenmethode.

In de praktijk betekent dit dat de spanningstensor ϵij\epsilon_{ij} wordt geüpdatet bij elke stap van de vervorming, met inachtneming van de kleine verplaatsingen die plaatsvinden tussen opeenvolgende configuraties. Dit zorgt ervoor dat de oplossing nauwkeurig is, zelfs bij grote vervormingen.

Het is belangrijk om te begrijpen dat de Green-Lagrange tensors niet alleen worden gebruikt om de vervormingen op macroniveau te beschrijven, maar ook om de interne spanningen en krachten binnen het materiaal te modelleren. In gevallen van plastische vervorming, bijvoorbeeld, kunnen deze tensors worden gekoppeld aan de plastische stroomregels om de mate van permanente vervorming in een materiaal te voorspellen.

Bij het werken met niet-lineaire modellen is het cruciaal om rekening te houden met de veranderingen in zowel de geometrie als de materiaaleigenschappen. De Green-Lagrange tensor houdt deze veranderingen in acht door de vervormingen te meten in termen van de initiële en bijgewerkte coördinaten, en door de invloed van grote verplaatsingen en de niet-lineaire materialen op de spanningen correct te modelleren.

De toepassing van de Green-Lagrange rekenspanningstensor beperkt zich niet tot statische problemen; het speelt ook een sleutelrol in dynamische analyses, waar vervormingen en krachten variëren met de tijd. In zulke gevallen moet men de tijdsafhankelijke veranderingen in de verplaatsingen en spanningen nauwkeurig volgen om te zorgen voor een betrouwbare analyse van de respons van de structuur op externe belastingen of trillingen.

Daarnaast kan de Green-Lagrange tensor worden uitgebreid naar meer complexe materialenmodellen, zoals visco-elastische of niet-lineaire plastische modellen, waar de vervormingstensoren moeten worden gekoppeld aan specifieke constitutieve relaties die de tijdsafhankelijke en pathafhankelijke eigenschappen van het materiaal beschrijven.

Een andere belangrijke toepassing van deze tensoren is in de zogenaamde "updating" methode, waarbij de toestand van een systeem van de ene naar de andere configuratie wordt overgebracht. In dit geval kan de Green-Lagrange increment tensor ϵij(C1)\epsilon_{ij} (C1) worden omgezet in de tensor ϵij(C0)\epsilon_{ij} (C0), afhankelijk van de referentieconfiguratie die wordt gebruikt.

Voor de analyse van niet-lineaire structuren is het essentieel om te begrijpen dat de nauwkeurigheid van de resultaten sterk afhankelijk is van de keuze van de referentieconfiguratie en de mate waarin de tensors de werkelijke materiaaleigenschappen en vervormingen weerspiegelen. Het verwaarlozen van deze aspecten kan leiden tot onnauwkeurige voorspellingen van de structurele respons en mogelijke fouten in het ontwerp of de beoordeling van de sterkte en stabiliteit van de structuur.

Hoe wordt virtueel werk toegepast in de TL- en UL-formuleringen van niet-lineaire analyse?

In de TL-formulering worden alle variabelen die worden aangenomen in de uitdrukkingen voor virtueel werk aangeduid als de initiële configuratie C0C_0. Een belangrijke stap in deze formulering is het afleiden van de volgende relatie:

2τijδ2eij dV=2Sijδ2ϵij dV(1.88)2 \tau_{ij} \delta^2 e_{ij} \, dV = 2 S_{ij} \delta^2 \epsilon_{ij} \, dV \quad \text{(1.88)}

Hierin staat SijS_{ij} voor de tweede Piola–Kirchhoff spanning en ϵij\epsilon_{ij} voor de bijbehorende Green–Lagrange vervormingen. De uitdaging in de analyse ligt in het vinden van de relatie tussen de virtuele vervormingen δ2eij\delta^2 e_{ij} en de Green–Lagrange vervormingen δ2ϵij\delta^2 \epsilon_{ij}. Om dit te bereiken, moeten we eerst de relatie tussen τij\tau_{ij} en SijS_{ij} vaststellen, wat al is gedaan in eerdere vergelijkingen (1.42) en (1.43). Vervolgens concentreren we ons op de virtuele vervormingen.

Door te kijken naar de basisvergelijkingen van de configuratie kunnen we δd0xi=0\delta d_0 x_i = 0 afleiden, wat leidt tot de formule:

δ2ϵijd0xid0xj=δ(d2xi)d2xi(1.89)\delta^2 \epsilon_{ij} d_0 x_i d_0 x_j = \delta (d^2 x_i) d^2 x_i \quad \text{(1.89)}

Waarbij we vervolgens de verbinding kunnen maken met de gevraagde vervormingen en energiedomeinen. Het is van belang te begrijpen dat de tweede Piola–Kirchhoff spanningen SijS_{ij} en de Green–Lagrange vervormingen ϵij\epsilon_{ij} energetisch conjugeerbare grootheden zijn. Dit houdt in dat ze nauw verwant zijn en elkaar aanvullen in de vorm van de belastingsoverdracht en de vervorming van de stof in verschillende configuraties.

De virtuele arbeid kan worden beschreven door de volgende relaties, die de relatie tussen externe krachtwerk en de interne energie van het systeem uitdrukken:

2tiδui dS=Siδui dS(1.99)2 t_i \delta u_i \, dS = S_i \delta u_i \, dS \quad \text{(1.99)}

Deze vergelijkingen stellen ons in staat om de referentieconfiguratie van de virtuele arbeidsovereenkomst om te zetten van de huidige configuratie C2C_2 naar de initiële configuratie C0C_0, wat resulteert in:

2Sijδϵij dV=2tiδui dS+2fiδui dV(1.101)2 S_{ij} \delta \epsilon_{ij} \, dV = 2 t_i \delta u_i \, dS + 2 f_i \delta u_i \, dV \quad \text{(1.101)}

Dit is de basisvergelijking voor de niet-lineaire evenwichtsvergelijking van de solide structuur, waarbij de externe virtuele arbeid aan de rechterkant wordt uitgedrukt als een som van oppervlaktetracities en volumetracities. De algemene betekenis van deze vergelijking is dat de virtuele arbeid die wordt uitgevoerd door externe krachten en oppervlakbelasting, precies wordt omgezet in de interne energie van het systeem. Dit benadrukt het belang van het begrijpen van de relatie tussen interne spanning en vervorming binnen verschillende configuraties van het materiaal.

Wanneer we verder gaan naar de implicaties van de UL-formulering, worden alle fysieke grootheden nu gekoppeld aan de laatst berekende configuratie C1C_1. Dezelfde principes van virtueel werk gelden, maar met een ander referentiekader. De viruele arbeid wordt dan gemodelleerd met de bijgewerkte Lagrange configuratie C1C_1, wat leidt tot een wijziging in de verhoudingen van de spanningen en vervormingen.

Het is belangrijk dat de lezer begrijpt dat de variabelen in deze formules geen constante waarden zijn, maar sterk afhankelijk zijn van de configuratie van het systeem op elk moment van de analyse. De verandering in de potentiële energie en vervormingsenergie speelt een cruciale rol bij de bepaling van de mechanische respons van het materiaal, vooral in de context van niet-lineaire analyses waarbij de vervormingen en krachten niet in een lineair verband staan.

Bij niet-lineaire analyse is het van fundamenteel belang om de mate van vervorming correct te kwantificeren, omdat de vereiste assumpties voor de constitutieve wetten en de afgeleiden vergelijkingen afhankelijk zijn van de mate van de vervorming binnen elk incrementeel stapje in de analyse. Dit benadrukt ook het nut van linearisaties wanneer de vervormingen klein zijn, en hoe de constitutieve wetenschappelijke benadering kan worden vereenvoudigd voor berekeningen, zelfs wanneer de uiteindelijke systemen complex zijn.

In samenvatting biedt de TL- en UL-formuleringen een krachtig raamwerk voor het beschrijven van de mechanische respons van materialen onder externe belasting, met inachtneming van de complexiteit van de niet-lineaire effecten en de verwisselbare referentieconfiguraties. De concepten van energetische conjugatie van spanningen en vervormingen, samen met de toepassing van virtueel werk, zijn cruciaal voor het opstellen van evenwichtsvergelijkingen die de werkelijke gedragingen van materialen in structuren weerspiegelen.

Hoe de onjuiste benadering van kritieke momenten in frames invloed heeft op buiginstabiliteit en de noodzaak van een juiste benadering

In de buiginstabiliteitsanalyse van eenvoudige vlakke frames wordt vaak een onderscheid gemaakt tussen correcte en onjuiste benaderingen van de kritieke momenten. Dit onderscheid is van cruciaal belang voor de nauwkeurigheid van de voorspellingen en het begrip van het stabiliteitsgedrag van structuren. In dit hoofdstuk onderzoeken we de impact van onjuiste benaderingen en de rol van de juiste methoden bij het oplossen van de kritieke momenten die optreden tijdens buiging.

Een veelvoorkomende onjuiste benadering, zoals geïdentificeerd in de figuren 9.2 en 9.3, onderschat de positieve kritieke momenten, terwijl het de negatieve kritieke momenten juist overschat. Dit komt doordat de formule die gebruikt wordt voor het berekenen van de buigmomenten, hoewel ze mathematisch geldig lijkt, niet geschikt is om het werkelijke gedrag van de structurele elementen in hun gebogen toestand weer te geven. Het grootste verschil tussen de onjuiste en de juiste benadering ligt in de configuratie waarin de momenten gedefinieerd zijn: de onjuiste benadering is gebaseerd op de initiële configuratie van het frame, terwijl de juiste benadering rekening houdt met de vervormde configuratie die optreedt na het optreden van de instabiliteit.

In het geval van antisymmetrische instabiliteit, bijvoorbeeld, kunnen de continuïteitsvoorwaarden voor de gewrichten in het frame een kritieke vergelijking opleveren die oplosbaar is door middel van trial-and-error. De kritieke belastingen die uit deze benadering voortkomen, worden vaak als ‘correct’ aangeduid. Bij gebruik van de onjuiste benadering ontstaat echter een karakteristieke vergelijking die niet afhankelijk is van de richting van de toegepaste momenten, wat betekent dat deze benadering de werkelijke weerstand van het frame tegen buiging niet correct voorspelt. De kritieke momenten die uit de onjuiste vergelijking voortkomen, vertonen geen verschil in gedrag voor positieve en negatieve buiging, terwijl de juiste oplossing een verhoogde weerstand tegen negatieve buiging voorspelt.

Bij het onderzoeken van een frame met vaste steun in het vlak van de buiging wordt de impact van de beperkingen van de klassieke benaderingen verder geïllustreerd. Het traditionele eindige-elementenmodel zonder de kennis van de rotatiematrix van de gewrichten kan leiden tot onjuiste resultaten, die niet overeenkomen met de werkelijke kritieke momenten die optreden in het frame. In plaats daarvan zou het correct toepassen van de rotatiematrix van de gewrichten, zoals besproken in hoofdstuk 6, resulteren in een nauwkeuriger voorspelling van de kritieke momenten.

Wanneer frames onder verschillende belastingstoestanden worden geanalyseerd, blijkt dat de effectiviteit van de buiginganalyse sterk afhangt van de gebruikte benadering. Voor symmetrische frames in een antisymmetrische buigmodus bijvoorbeeld, kunnen de continuïteitsvoorwaarden weer de juiste kritieke belastingen opleveren, terwijl onjuiste benaderingen leiden tot voorspelbare maar onnauwkeurige resultaten. Dit benadrukt het belang van het juiste gebruik van de theoretische formules en de noodzaak om de dynamiek van de gewrichtsrotaties correct in de berekeningen op te nemen.

Naast de structurele benaderingen speelt ook de geavanceerde methode van eigenwaarde-analyse een rol in de nauwkeurigheid van de buiginganalyse. Door gebruik te maken van een element in het eindige-elementenmodel dat de rotatie-effecten van gewrichten meeneemt, kan men de stabiliteitsgedrag van een frame veel nauwkeuriger voorspellen. Dit type benadering wordt ook in de literatuur sterk aanbevolen en heeft bewezen meer realistische voorspellingen te leveren dan de traditionele benaderingen, die vaak onvoldoende rekening houden met de gedraaide of vervormde configuratie van het frame.

Het is essentieel om te begrijpen dat het nemen van de juiste benadering bij het berekenen van kritieke momenten niet alleen van invloed is op de stabiliteitsanalyse, maar ook op de uiteindelijke ontwerpkeuzes voor een structureel systeem. Fouten in de analyse van de kritieke momenten kunnen leiden tot over- of onderdimensionering van de structuur, wat invloed heeft op de veiligheid en kostenefficiëntie van het ontwerp.

Het is van belang dat men zich altijd bewust is van de onderliggende aannames die ten grondslag liggen aan de gekozen analysebenadering. Het miskennen van de effecten van gewrichtsrotaties of het toepassen van een onjuiste benadering voor de momentvergelijkingen kan ernstige gevolgen hebben voor de stabiliteit van de constructie. Het gebruik van geavanceerdere analysemethoden, zoals die beschreven in dit hoofdstuk, maakt het mogelijk om realistischere en betrouwbaardere voorspellingen te doen voor het buiggedrag van frames, wat leidt tot veiliger en efficiënter ontwerp.

Wat is de rol van de torques in de buig- en torsieanalyse van frames?

In de context van de analyse van de lineaire elasticiteit en het bucklinggedrag van structuren, wordt ervan uitgegaan dat de vervormingen vóór het bucklingproces zo klein zijn dat ze volledig verwaarloosd kunnen worden. Dit is een cruciaal uitgangspunt bij het begrijpen van de fundamentele theorieën die in dit hoofdstuk worden gepresenteerd, gebaseerd op het werk van Yang en Kuo (1991b).

De tweeledige frameconstructie, die in dit geval wordt geanalyseerd, bestaat uit twee leden met identieke dwarsdoorsneden en materiaal-eigenschappen. De onderliggende dynamica van de structuur wordt beschreven door een stel differentiaalvergelijkingen die het gedrag van de leden onder buiging en torsie regelen. Deze vergelijkingen beschrijven hoe de krachten en momenten zich verhouden tot de verplaatsingen en rotaties in de structuur.

De belangrijkste vergelijkingen voor de bewegingsanalyse van een solide balk onder invloed van buig- en torsiekrachten kunnen worden afgeleid van de theorieën van Sectie 5.5. Deze vergelijkingen zijn noodzakelijk om de evenwichtscondities en de geometrische vervormingen van de structuur te bepalen tijdens de buigbelasting. Het systeem van vergelijkingen omvat de krachten en momenten die optreden in de richting van de y- en z-as, evenals de hoeken van draaiing rondom de x-as. Dit biedt een gedetailleerd model voor het gedrag van de structuur, zowel voor kleine vervormingen als voor de uiteindelijke instabiliteit bij het bereiken van de kritische belasting.

Bij de analyse van bifurcatieproblemen, zoals buckling, wordt een update van de Lagrangiaan gebruikt om de beweging van de balk van de initiële (C0) naar de gebogen configuratie (C1) te beschrijven. Dit stelt ons in staat de krachten en momenten in de gebogen toestand, zoals de schuifkrachten, torsiekrachten en buigmomenten, uit te drukken. De verschillen in de krachten vóór en na buckling worden duidelijk geanalyseerd met behulp van de bijbehorende vergelijkingen (9.93)–(9.97). Het negeren van hogere-orde termen, zoals de axiale uitrekking, is toegestaan in de initiële benadering van deze analyse.

De geometrische randvoorwaarden op de steunpunten van de frameleden, bijvoorbeeld bij joint A en B, spelen een belangrijke rol in het bepalen van het uiteindelijke instabiliteitsgedrag van het systeem. Specifieke randvoorwaarden moeten worden nageleefd, zoals het nulstellen van de verplaatsingen en hoeken bij de ondersteunde uiteinden van de balken, wat de invloed van de fixaties in het model weergeeft. Bovendien zijn de evenwichtsvoorwaarden voor joint B cruciaal, omdat ze de interne krachten en momenten op de verbinding bepalen wanneer de structuur zich in de gebogen toestand bevindt. Deze voorwaarden moeten rekening houden met de hoek van inclinatie tussen de twee leden van het frame, aangeduid als α.

De natuurlijke randvoorwaarden op joint C zijn eveneens van belang bij de beschrijving van de initiële belastingstoestand tijdens het bucklingproces. Hierbij wordt gekeken naar de krachten die op het tweede lid van de structuur werken. Het is hierbij essentieel om de invloed van de toegepaste momenten (torques) nauwkeurig in te schatten, omdat deze de stabiliteit van de gehele constructie beïnvloeden. Dit wordt verder geïllustreerd door de verschillende soorten torques die in de analyse worden onderscheiden.

Het verschil tussen de drie types van torques — de quasitangentiële torques van de eerste en tweede soort, en de semitangentiële torque — is van belang voor het gedrag van het frame onder belasting. Deze torques kunnen elk op een specifieke manier bijdragen aan de interne momentveranderingen in de structuur, wat op zijn beurt invloed heeft op de spanningsverdeling en de stabiliteit. De wiskundige uitdrukkingen voor de momentenveranderingen en de bijbehorende randvoorwaarden zijn van cruciaal belang om de dynamica van het bucklingproces volledig te begrijpen.

Naast de eerder genoemde aspecten van geometrische en evenwichtsvoorwaarden is het belangrijk te begrijpen dat de externe torques die op het systeem inwerken, de interne spanningen en vervormingen beïnvloeden. Dit betekent dat de toegepaste momenten de initiële configuratie van de structuur kunnen verstoren en de richting van de buiging en torsie kunnen beïnvloeden. Het is ook essentieel om te realiseren dat de analyse van de kritische belasting niet alleen afhangt van de geometrie en materiaalconstanten, maar ook van de manier waarop deze externe invloeden, zoals torques, zich manifesteren in de verplaatsingen en de interne spanningen van de leden van de constructie.

Verder moeten de lezer zich bewust zijn van de grenzen van de lineaire elasticiteitsbenadering. Hoewel deze benadering effectief is voor veel structuren onder typische belastingstoestanden, kunnen complexe niet-lineaire effecten zoals plastische vervorming, grote vervormingen of instabiliteit onder bepaalde omstandigheden niet volledig worden gevangen door dit model. Het is dus belangrijk om te overwegen wanneer een gedetailleerdere niet-lineaire analyse nodig is, afhankelijk van de mate van vervormingen die zich voordoen tijdens de belastingscyclus van de structuur.

Hoe heeft de retoriek van Ronald Reagan de Amerikaanse identiteit gevormd?
Hoe Het Hoogzeeverdrag De Duurzame Bescherming Van Mariene Biodiversiteit Bevordert
Hoe bereid je perfect herfstige gerechten met pompoen en wild?