Wat zijn de directe en indirecte methoden van Lyapunov?

De directe methode van Lyapunov is een krachtige techniek voor het analyseren van de stabiliteit van evenwichtspunten in dynamische systemen. Het basisidee is eenvoudig: als een evenwichtspunt $x_e$ van een systeem stabiel is, dan zou het mogelijk moeten zijn om een scalaire functie, vergelijkbaar met een energie-functie, te vinden die een lokaal minimum bereikt bij $x_e$ en niet toeneemt terwijl het systeem evolueert in de buurt van $x_e$. Als $x_e$ asymptotisch stabiel is, dan zou zo'n functie moeten bestaan die afneemt (d.w.z. wordt gedissipeerd) langs iedere systeemtraject die begint in de buurt van $x_e$. Deze benadering is afhankelijk van het concept van de definitie van een functie.

Laat $V$ een scalaire functie zijn van $x \in \mathbb{R}^n$ en $S(x_e, r)$ de bolvormige buurt van $\mathbb{R}^n$ met straal $r$, gecentreerd rond $x_e$. Dan wordt de definitie van de functie als volgt gegeven:

• $V$ is positief-definit in $S(x_e, r)$ als:

  • $V(x_e) = 0$;

  • Voor alle $x \in S(x_e, r)$, $x \neq x_e$, geldt $V(x) > 0$.

• $V$ is positief-semi-definit in $S(x_e, r)$ als:

  • $V(x_e) = 0$;

  • Voor alle $x \in S(x_e, r)$, $x \neq x_e$, geldt $V(x) \geq 0$.

• $V$ is negatief-definit of negatief-semi-definit in $S(x_e, r)$ als $-V$ positief-definit of positief-semi-definit is in $S(x_e, r)$.

Wanneer $x(t)$ een oplossing is van het systeem, kan men de tijdsafgeleide van $V(x(t))$ langs de systeemtrajecten berekenen. Deze wordt gegeven door:

De directe methode van Lyapunov berust op twee belangrijke criteria:

Stelling D.1: Een evenwichtspunt $x_e$ van het niet-lineaire systeem is stabiel als er een continu-differentieerbare scalaire functie $V$ bestaat en een buurt $S(x_e, r)$ zodanig dat:

• $V$ is positief-definit in $S(x_e, r)$;

• $\dot{V}$ is negatief-semi-definit in $S(x_e, r)$.

Als $V$ voldoet aan de eisen van stelling D.1, dan wordt $V$ een Lyapunov-functie genoemd en is het een voldoende voorwaarde voor de stabiliteit van $x_e$. Dit kan bewezen worden dat het ook noodzakelijk is.

Stelling D.2: Een evenwichtspunt $x_e$ is asymptotisch stabiel als er een continu-differentieerbare scalaire functie $V$ bestaat en een buurt $S(x_e, r)$ zodanig dat:

• $V$ is positief-definit in $S(x_e, r)$;

• $\dot{V}$ is negatief-definit in $S(x_e, r)$.

Deze stelling gaat verder door te stellen dat $U^*$, de verzameling van toestanden waarbij $V(x) \leq V^*$, een schatting is van de aantrekkingsbassin van $x_e$.

Er bestaat ook een globale versie van de Lyapunov-criteria voor asymptotische stabiliteit:

Stelling D.3: Een evenwichtspunt $x_e$ is globaal asymptotisch stabiel als er een continu-differentieerbare scalaire functie $V$ bestaat en een buurt $S(x_e, r)$ zodanig dat:

• $V$ is positief-definit in $S(x_e, r)$, voor elke $r$;

• $\dot{V}$ is negatief-definit in $S(x_e, r)$, voor elke $r$;

• $V$ is radiaal onbeperkt, d.w.z. $\lim_{\|x - x_e\| \to \infty} V(x) = \infty$.

Voor de praktische toepassing van de Lyapunov directe methode moet men meestal door twee stappen gaan:

1. Kies een scalaire functie $V$ die positief-definit is in een buurt $S(x_e, r)$ van $x_e$; deze functie wordt een Lyapunov-candidate genoemd.

2. Controleer of $V$ een werkelijke Lyapunov-functie is door de tijdsafgeleide $\dot{V}$ langs de systeemtrajecten te berekenen en te controleren of deze negatief-semi-definit is in $S(x_e, r)$.

Als de tweede stap geen positief resultaat oplevert, kan er niets worden gezegd over de stabiliteit van $x_e$. Het evenwichtspunt kan alsnog instabiel zijn of een andere Lyapunov-functie kan gevonden worden. Het is daarom belangrijk om zorgvuldig te kiezen welke Lyapunov-candidate wordt geprobeerd. Soms is het mogelijk om inspiratie te halen uit de fysica van het probleem en $V$ als een echte energie-functie te kiezen. Anders is een systematische benadering om $V$ te ontwerpen als een kwadratische vorm, bijvoorbeeld:

waar $Q$ een symmetrische, positief-definit matrix is.

Een belangrijk resultaat dat in dit kader kan helpen, is het LaSalle-theorema:

Stelling D.4 (LaSalle-theorema): Een evenwichtspunt $x_e$ van het niet-lineaire systeem is asymptotisch stabiel als er een continu-differentieerbare scalaire functie $V$ bestaat en een buurt $S(x_e, r)$ zodanig dat:

• $V$ is positief-definit in $S(x_e, r)$;

• $\dot{V}$ is negatief-semi-definit in $S(x_e, r)$;

• De grootste invariant verzameling $M$ in $P = \{x \in S(x_e, r) : \dot{V} = 0 \}$ bestaat alleen uit $x_e$.

Het LaSalle-theorema voegt voorwaarde (c) toe, maar versoepelt voorwaarde (b). Dit maakt het eenvoudiger om een Lyapunov-functie te vinden met een negatieve semi-definitieve $\dot{V}$ dan met een negatieve definitieve $\dot{V}$.

In de praktijk kan het ook nuttig zijn om de Barbalat-lemma toe te passen bij het analyseren van de stabiliteit van tijdsafhankelijke systemen.

Aanvullend inzicht: De keuze van een geschikte Lyapunov-candidate is vaak het moeilijkste deel van het proces. Het is belangrijk om te begrijpen dat het niet altijd eenvoudig is om de juiste functie te vinden die aan alle eisen voldoet. Dit vereist vaak ervaring en kennis van het systeemgedrag. Soms kunnen alternatieve technieken, zoals het gebruik van asymptotische stabiliteitstests of het Lyapunov indirecte methode, nodig zijn om de stabiliteit in complexere situaties te analyseren.

Hoe de identificatieprocedure en de Newton-Eulerformulering dynamica in robotarmen beïnvloeden

De identificatieprocedure voor dynamische modellen in robotarmen is gebaseerd op het gebruik van regressormatrices en gegevensverzameling op meerdere tijdstippen. Bij een robotbeweging zullen de joint data zoals posities, snelheden, versnellingen en krachten op verschillende tijdstippen variëren. De regressormatrix $Y$ wordt op elk van deze tijdstippen geüpdatet. Bijvoorbeeld, wanneer de waarden van de joint posities $c1$ en de acceleratie $\ddot{q1}$ op tijdstip $t = t_1$ worden ingevoerd, zal de bijbehorende submatrix altijd rang 1 hebben. Maar als de jointposities en versnellingen veranderen op $t = t_2$, kan de bijbehorende matrix volledige rang 2 bereiken, wat een belangrijk aspect is voor het verkrijgen van een betrouwbare dynamische modelidentificatie.

Wanneer je de jointdata op een voldoende groot aantal tijdstippen verzamelt, kan de regressormatrix $Y$ de volledige kolomrang $r$ bereiken, waardoor een betrouwbare schatting van de dynamische coëfficiënten $\rho$ mogelijk wordt. De procedure werkt door de joint krachten $\tau$ en het bijbehorende regressormatrix $Y$ op meerdere tijdstippen te combineren, wat uiteindelijk leidt tot de berekening van de dynamische coëfficiënten via een lineaire regressieformule. De schatting $\hat{\rho}$ wordt verkregen door gebruik te maken van de pseudoinverse van $Y$, en zo wordt de oplossing voor de dynamische parameters berekend.

Bij de keuze van de bewegingstrajecten voor identificatie moet men rekening houden met de noodzaak van voldoende rijke periodieke trajecten. Deze moeten meerdere harmonischen bevatten die verschillende frequenties dekken, en een breed bereik van snelheden en versnellingen omvatten, zodat een geschikte conditiegetal $\kappa$ voor de regressormatrix kan worden verkregen. Het doel is een dynamisch model dat nauwkeurig is en goed de verschillende krachten en momenten in de robotbeweging kan beschrijven.

Belangrijk is echter dat de gekozen bewegingstrajecten geen niet-gemodelleerde dynamische effecten, zoals joint elasticiteit of link flexibiliteit, mogen opwekken, omdat dit zou kunnen leiden tot onbetrouwbare schattingen van de modelparameters. Bovendien kunnen de hierboven beschreven technieken ook worden toegepast in het geval van een onbekende payload aan de eindeffector. Als de grip van de payload rigide is, kan deze worden beschouwd als onderdeel van de manipulator, en kunnen de massa en inertie van de payload worden samengevoegd met die van de laatste link in het model. Dit maakt het mogelijk om de dynamische coëfficiënten zonder aparte identificatie van de payload te schatten.

In de Newton-Euler (NE) formulering worden de krachten en momenten op elke schakel van de manipulator beschouwd, en wordt een recursieve benadering gebruikt om de snelheid en versnelling van elke link in de robotarm te berekenen. Bij deze aanpak wordt eerst een voorwaartse recursie toegepast om de snelheden en versnellingen van de schakels van de basis naar de eindeffector te propagateren, en vervolgens een achterwaartse recursie om de krachten en momenten van de eindeffector naar de basis te propagateren. Deze krachten en momenten kunnen vervolgens worden gebruikt om de koppelwaarden op de gewrichten van de robot te berekenen.

De NE-formulering heeft voordelen omdat het de rekensnelheid verbetert, wat essentieel is voor real-time toepassingen, zoals robotcontrole. De formules voor het berekenen van de snelheden en versnellingen van de schakels zijn afhankelijk van het type verbinding (prismatisch of revolutief). Voor prismatic joints is de beweging een pure translatie langs de as van het gewricht, terwijl voor revolutieve gewrichten de beweging een pure rotatie is rond de gewrichtsas. De recursieve formules voor link snelheden en acceleraties maken het mogelijk om deze waarden efficiënt te berekenen door gebruik te maken van vooraf gedefinieerde relaties tussen de posities en snelheden van de schakels. In beide gevallen kunnen de snelheden en versnellingen van elke schakel worden berekend op basis van de snelheden en versnellingen van de voorgaande schakels.

Voor het geval van een robot met een vaste basis, worden de snelheden en versnellingen van de eerste schakel vaak als nul genomen, omdat deze geen beweging ten opzichte van de basis heeft. Dit maakt de recursie eenvoudig te starten en zorgt ervoor dat de berekeningen verder kunnen worden uitgevoerd met een gestandaardiseerde initiële waarde. De Newton-Eulerformulering biedt een krachtige methode voor het modelleren van dynamica, die zowel nuttig is voor theoretische analyses als voor praktische toepassingen zoals robotcontrole en simulatie.

De keuze van trajecten voor identificatie is cruciaal: de trajecten moeten voldoende variatie in snelheid en versnelling bevatten, en het is van belang dat ze het volledige configuratieruimte van de robot bestrijken. Het verkrijgen van een geschikte conditiegetal voor de regressormatrix $Y$ kan helpen bij het minimaliseren van schattingsfouten. Tegelijkertijd moeten de bewegingen zorgvuldig worden gekozen om onbedoelde dynamische effecten zoals wrijvingen of flexibiliteit te vermijden, die de nauwkeurigheid van de modelparameters kunnen aantasten.