Hoe beïnvloeden piezomagnetische en magnetostrictieve effecten ferromagneto-elastische materialen?

Piezomagnetisme en magnetostrictie zijn cruciale verschijnselen in ferromagneto-elastische materialen die de interacties tussen magnetische en mechanische eigenschappen van materialen beschrijven. Deze effecten ontstaan wanneer een magnetisch veld de mechanische eigenschappen van een materiaal beïnvloedt, of wanneer mechanische spanningen leiden tot veranderingen in de magnetisatie van het materiaal.

Een van de belangrijkste aspecten van deze effecten is het ontstaan van koppels op het spincontinuüm door de magnetisatie $M$ in aanwezigheid van een magnetisch veld $B_M$ . Dit koppeltje, aangeduid als $c_M$ , heeft de vorm $c_M = M \times B_M$ , wat resulteert in een vertaling van de magnetisatie $M$ die in een materieel systeem aan de spincontinuüm wordt gekoppeld. De magnetisatie per massa-eenheid wordt geïntroduceerd als $\mu = \frac{M}{\rho}$ , waarbij $\rho$ de massadichtheid is.

Op basis van de conservatiewetten, worden magnetische krachten en koppels gedefinieerd door de verandering in het magnetische veld en de snelheid van het materiaal. De balans van magnetische kracht per volume wordt uitgedrukt door de relatie:

w_M = -\frac{\partial B_M^j}{\partial t}

Dit benadrukt het dynamische aspect van magnetische velden, waarbij de tijdsafhankelijke veranderingen in het magnetische veld een directe invloed hebben op de mechanische eigenschappen van het materiaal.

Wanneer we de integralformulieren van de behoudswetten voor magnetische velden en mechanische eigenschappen onderzoeken, kunnen we de conservatie van massa, lineaire momentum, angulair momentum en energie in verschillende vormen vaststellen. De basiswetten worden voor magnetische velden, spanningen en krachten in een continuüm beschreven door integralen over de coördinaten van het materiaal. Deze formules kunnen worden uitgebreid met thermische en dissipatieve effecten, die essentieel zijn voor een volledige beschrijving van de materiaalrespons in praktijksituaties.

Bijvoorbeeld, de energievergelijking in het geval van magnetostrictieve en piezomagnetische effecten moet worden aangepast om thermische effecten te omvatten, zoals het verlies van energie door dissipatie en de invloed van temperatuurveranderingen op de magnetische eigenschappen van het materiaal. De wet van Clausius-Duhem wordt hierbij een nuttig hulpmiddel om de tweede wet van de thermodynamica te behouden, waarbij de dissipatie van energie in systemen met magnetische en mechanische interacties wordt beschreven.

De constitutieve relaties voor piezomagnetisme en magnetostrictie geven aan hoe de magnetische inductie $B_M$ en de magnetisatie $M$ reageren op mechanische spanningen en de daaraan gerelateerde vervormingen. Deze relaties kunnen worden uitgedrukt in termen van het enthalpiefunctie $\chi$ , die de energiebalans in het systeem bepaalt. De piezomagnetische en magnetostrictieve constanten spelen hierbij een sleutelrol in de lineaire constitutieve vergelijkingen, zoals blijkt uit de volgende relaties:

\tau_{ij} = c_{ijkl} S_{kl} + h_{kij} M_k

B_M^i = 2 \chi_{ik} M_k + h_{ilm} S_{lm}

Deze lineaire vergelijkingen bieden een kwantitatieve beschrijving van de koppeling tussen de magnetische en mechanische eigenschappen van het materiaal en worden vaak gebruikt om de prestaties van ferromagneto-elastische systemen te voorspellen.

Wanneer we dissipatieve effecten opnemen, zoals warmteoverdracht en thermische expansie, komen er extra termen in de energievergelijking die de interactie tussen de mechanische, magnetische en thermische velden beschrijven. De dissipatie van energie wordt uitgedrukt door de term $\frac{d\eta}{dt}$ , waarbij de dissipatie wordt geassocieerd met de mechanische en magnetische spanningen, de magnetisatie, en de temperatuurvariaties in het systeem.

In situaties waarin zowel thermische als dissipatieve effecten van invloed zijn, moeten de constitutieve relaties verder worden gesplitst in herstellende en dissipatieve componenten. De herstellende onderdelen beschrijven het magnetische gedrag dat kan worden hersteld, terwijl de dissipatieve onderdelen de verliesmechanismen modelleren die optreden wanneer het materiaal niet in zijn oorspronkelijke staat kan terugkeren.

Voor piezomagnetische en magnetostrictieve materialen die zich in een magnetisch veld bevinden, zijn de veranderlijke magnetische velden en de mechanische spanningen onderhevig aan tijdsafhankelijke veranderingen. De formule voor de dissipatievergelijking kan als volgt worden uitgedrukt:

\frac{d\eta}{dt} = D_{\mu} \tau_{Mij} v_j,i + D_{B} B_M^j \rho

Deze vergelijking benadrukt de rol van dissipatie in het gedrag van piezomagnetische materialen en laat zien hoe de magnetische velden en mechanische spanningen invloed hebben op de thermodynamica van het systeem.

Wanneer deze concepten worden toegepast op rigide ferromagneten, zoals in het geval van verzadigde ferromagneten, kunnen we de klassieke theorieën zoals de Landau-Lifshitz-Gilbert theorie afleiden. Dit biedt een solide theoretisch raamwerk voor het begrijpen van de dynamica van ferromagnetische materialen, zowel in statische als dynamische situaties.

Naast de basiseffecten van magnetisme en mechanica moeten we ook rekening houden met de schaal van de materialen. Kleine vervormingen en zwakke magnetische velden worden vaak verondersteld in de modellering van ferromagneto-elastische materialen, maar de complexiteit van deze systemen neemt toe wanneer de materiaaleigenschappen veranderen, bijvoorbeeld door grote vervormingen of sterke magnetische velden. Het begrijpen van de relatie tussen de verschillende termen in de constitutieve vergelijkingen is essentieel voor het voorspellen van het gedrag van dergelijke materialen in de praktijk.

Hoe ferromagnetoelastische materialen reageren op kleine vervormingen en magnetische velden

Ferromagnetoelastische materialen vertonen een complex gedrag als gevolg van de interactie tussen magnetische en elastische velden. Deze materialen worden gekarakteriseerd door zowel mechanische als magnetische niet-lineariteiten, die hen uniek maken in hun respons op externe invloeden. In de vorige hoofdstukken hebben we een volledig niet-lineaire theorie behandeld die van toepassing is op grote vervormingen en sterke magnetische velden. In dit hoofdstuk richten we ons echter op de linearisatie van deze theorie voor kleine vervormingen en velden, die veelvoorkomend zijn in praktische toepassingen.

We gaan uit van een symmetrische vorm van de constitutieve relatie voor het mechanische gedrag van de materialen, waarbij de elasticiteit en magnetisatie worden gekoppeld. Het gedrag van deze materialen kan mathematisch worden beschreven door een systeem van differentiaalvergelijkingen die de relatie tussen de mechanische krachten, de magnetische velden en de interne variabelen van het materiaal beschrijven.

In de linearisatie voor kleine vervormingen wordt aangenomen dat de verandering in de elasticiteit en de magnetisatie lineair zijn ten opzichte van de vervormingen. Dit impliceert dat de tensors die de vervormingen en de magnetische momenten beschrijven, lineaire benaderingen vereisen. De elasticiteitstensoren, zoals $c_{klmn}$ , en de anisotropieconstantens, zoals $\chi_{kl}$ , worden vereenvoudigd, waarbij hogere-orde termen in de uitdrukkingen voor de energie-dichtheid worden genegeerd. Dit zorgt ervoor dat de constitutieve relaties eenvoudig en benaderend lineair worden, wat overeenkomt met klassieke lineaire theorieën voor elastische materialen, maar met de toevoeging van magnetische interacties.

Wanneer we kleine vervormingen beschouwen, kunnen we aannemen dat de mechanische eigenschappen van het materiaal zich lineair gedragen, wat betekent dat de tensor $\rho$ , die de dichtheid van het materiaal beschrijft, verandert in functie van de vervorming, maar op een manier die dicht bij de oorspronkelijke waarde ligt. De magnetische momenten worden ook lineair geacht, en de magnetisatie $M_k$ wordt gerelateerd aan de vervormingen via een lineaire benadering van de magnetostrictieve interactie. Deze vereenvoudigingen leiden tot een set van constitutieve relaties die gemakkelijk te hanteren zijn in veel ingenieursberekeningen, waarbij de termen die verband houden met hogere-orde anisotropieën, zoals $3\chi_{klm}$ , worden weggelaten.

De lineaire theorie voor kleine vervormingen wordt vaak gebruikt om de dynamica van ferromagnetoelastische materialen in een magnetisch veld te bestuderen. Hierin zijn de magnetische velden en de vervormingen klein genoeg dat de relaties tussen de mechanische spanning $\tau_{ij}$ en de magnetische momenten $M_k$ eenvoudig te modelleren zijn. De interacties tussen de magnetisatie en de elasticiteit worden beschreven door een lineaire combinatie van termen zoals de elastische constanten $c_{klmn}$ , de magnetostrictieve constanten $b_{klmn}$ , en de piezomagnetische constanten $h_{klm}$ .

Hoewel deze lineaire benadering het mogelijk maakt om de materiële respons in eenvoudige gevallen te berekenen, is het belangrijk te begrijpen dat deze theorie niet de volledige complexiteit van het ferromagnetoelastische gedrag omvat. De afwezigheid van niet-lineaire termen kan bijvoorbeeld belangrijk zijn bij grotere vervormingen of hogere magnetische velden, waar de oorspronkelijke niet-lineaire relaties essentieel zijn voor een nauwkeurige beschrijving van het materiaalgedrag. Dit betekent dat, hoewel de lineaire theorie bruikbaar is voor kleine vervormingen, men voorzichtig moet zijn bij het extrapoleren naar situaties met grotere velden of vervormingen.

In toepassingen zoals sensoren, actuatoren, of materialen die worden blootgesteld aan magnetische velden, kunnen de effecten van temperatuur en dissipatie niet worden verwaarloosd. De thermische effecten, zoals de warmtegeleiding en de warmtecapaciteit van het materiaal, moeten worden meegenomen in het model om een realistischere beschrijving van het gedrag van het materiaal te verkrijgen. Dit kan worden gedaan door de energievergelijking uit te breiden om thermische effecten en dissipatie te omvatten, zoals weergegeven in de bijbehorende formules die de invloed van warmteflux $q$ en de interne warmtebronnen $r$ beschrijven.

In veel gevallen wordt aangenomen dat de dissipatie in het systeem kan worden gemodelleerd door het opsplitsen van de krachten in herstelforce en dissipatieve delen. De herstelforce, zoals beschreven door de term $R\tau_{ij}$ , is verantwoordelijk voor de elastische respons van het materiaal, terwijl de dissipatieve kracht, beschreven door de term $D\tau_{ij}$ , de energieverliezen door viskeuze demping representeert. Dit maakt het mogelijk om een balans op te stellen die zowel de mechanische als de thermodynamische effecten van het materiaal in rekening brengt.

Het begrip van de rol van dissipatie en thermische effecten is cruciaal voor de juiste toepassing van ferromagnetoelastische materialen in praktische systemen, zoals in de constructie van magneto-elastische sensoren, actuatoren en andere apparaten die onder dynamische belastingen opereren. Het negeren van dissipatie kan leiden tot onnauwkeurige voorspellingen van de prestaties van het materiaal, vooral bij hoge snelheden of bij toepassingen waarbij de temperatuur een significante rol speelt.

Wat zijn de dynamische effecten van kleine vervormingen en zwakke velden op een eindige bias in ferro-magneto-elastische materialen?

In de studie van ferro-magneto-elastische materialen is het cruciaal om te begrijpen hoe kleine vervormingen en zwakke velden zich gedragen op een eindige magnetisatie-bias. Dit kan het gedrag van het materiaal aanzienlijk beïnvloeden, zowel op macroscopisch als op microscopisch niveau. In de referentiestaat is het materiaal vrij van vervormingen en velden, terwijl de initiële staat een magnetisatie $M_0$ heeft die zowel statisch als eindig is. De initiële staat heeft ook de bijbehorende magnetische velden en elastische vervormingen die eveneens statisch en eindig zijn. Deze vervormingen en velden worden geregeerd door de niet-lineaire en statische vergelijkingen van verzadigde ferro-magneto-elastische vaste stoffen.

Wanneer kleine dynamische belasting wordt toegepast, verandert de toestand van het systeem. De magnetisatie in de huidige staat is $M$ , en de vervormingen en magnetische velden voldoen aan de niet-lineaire en dynamische vergelijkingen van verzadigde ferro-magneto-elastische materialen. De kleine en incrementele vervormingen en velden tussen de initiële en huidige toestand worden beschreven door verschillende variabelen zoals de verplaatsing $u$ , de spanningstensor $\tau$ , de mechanische lichaamskracht $f$ , de magnetostatische potentiaal $\psi$ , en de magnetische velden $h_M$ en $h_L$ , die respectievelijk de interacties van de spin met het rooster en de magnetische inductie beschrijven.

De lineaire vergelijkingen die de incrementele dynamische velden bovenop de statische bias bepalen, worden verkregen door de niet-lineaire dynamische vergelijkingen te lineariseren rond de bias. Deze omvatten de lineaire momentumvergelijking, de vergelijkingen voor het koppelmomentum van het rooster, en de relevante Maxwell-vergelijkingen voor het magnetisch veld en de inductie. Deze vergelijkingen vormen een systeem van dynamische en lineaire relaties dat de interactie tussen de elastische vervormingen en magnetische velden in ferro-magneto-elastische materialen beschrijft.

Wat betreft het materiaalgedrag bij zwakke magnetische velden en kleine vervormingen, de constitutieve relaties voor de spanningstensoren en de magnetische velden zijn fundamenteel. Ze hangen af van de elasticiteitsconstanten, de piezomagnetische constante, en de uitwisselingsinteracties tussen naburige spins. Dit materiaalgedrag is cruciaal voor het begrijpen van de dynamische respons van materialen zoals yttrium-ijzer-garnet (YIG), die wordt gekarakteriseerd door een specifieke set van materiaalconstanten zoals de elasticiteitsconstanten $c_{11}$ , $c_{12}$ , en $c_{44}$ , de magnetische anisotropieconstanten $\chi$ , en de uitwisselingsconstanten $\beta_{ijkl}$ .

In dit soort materiaal, wanneer de initiële magnetisatie $M_0$ wordt gepositioneerd langs een as (bijvoorbeeld de $x_3$ -as), zijn de effecten van magnetostrictie van groot belang. Dit komt doordat de piezomagnetische eigenschappen van het materiaal worden versterkt door de aanwezigheid van de initiële magnetisatie $M_0$ , waardoor de magnetostructuur van het materiaal verandert en de interactie tussen spinnen en roostervervorming sterker wordt.

Specifiek voor kubische kristallen van de klasse (m3m), die van nature niet-piezomagnetisch zijn in hun referentiestaat, wordt het materiaal effectief piezomagnetisch zodra het wordt onderworpen aan vervormingen onder invloed van een externe magnetisatie. Dit verandert de dynamica van zowel de elastische als de magnetische velden, wat leidt tot complexe interacties die door middel van een set van gekoppelde differentiaalvergelijkingen moeten worden bestudeerd.

De oplossing van deze vergelijkingen levert inzicht in de voortplanting van golven in het materiaal. Voor longitudinale golven, die vaak worden aangeduid als piezomagnetische golven, wordt de voortplantingssnelheid bepaald door een gemodificeerde elasticiteitsconstante die rekening houdt met de effecten van de magnetische saturatie. Voor de gecombineerde spin- en elastische golven worden de interacties tussen de elastische vervormingen en de magnetische magnetisatiecomponenten gemodelleerd door gekoppelde golven, waarbij de frequenties en snelheden afhangen van de materiaalconstanten en de initiële magnetisatie.

Het is van belang om te begrijpen dat in veel toepassingen van ferro-magneto-elastische materialen, zoals in sensoren of actuatoren, de invloed van zowel de elastische als de magnetische velden op de respons van het materiaal moet worden geanalyseerd. Deze materialen vertonen complexe interacties, waarbij de veranderingen in het magnetische veld de mechanische eigenschappen beïnvloeden en vice versa. Dit maakt het noodzakelijk om de dynamica van deze gekoppelde velden te modelleren en te begrijpen om optimale prestaties in technische toepassingen te garanderen.

Hoe de constitutieve relaties en dynamica van ferromagneto-elastische materialen te begrijpen

De constitutieve relaties voor ferromagneto-elastische materialen kunnen worden afgeleid uit de basisvergelijkingen die de interactie tussen de mechanische en magnetische eigenschappen van deze materialen beschrijven. Deze relaties zijn van cruciaal belang voor het begrijpen van hoe deze materialen reageren op externe krachten, elektrische velden en magnetische invloeden. De algemene vorm van de dynamische vergelijkheid voor de voortplanting van golven in dergelijke systemen wordt gegeven door:

\frac{d\rho}{dt} = \nabla \cdot \tau + \rho f + FEM.

Hierin is $\tau$ de spanningstensor, $f$ de externe kracht per eenheid massa, en $FEM$ de bijdrage van de elektromagnetische kracht. De term $\frac{d\rho}{dt}$ staat voor de verandering van de massa in de tijd. De spanningen in een ferromagneto-elastisch systeem kunnen worden gesplitst in twee hoofdcomponenten: de mechanische ( $\tau_R$ ) en de dynamische magnetische ( $\tau_D$ ) spanningen. De constitutieve relaties worden verder geformaliseerd door:

\tau = \tau_R + \tau_D, \quad P = P_R + P_D, \quad BL = RBL + DBL,

waarbij de termen verwijzen naar de mechanische, elektrische en magnetische eigenschappen van het materiaal. Verder worden de elastische, piezo-elektrische en magneto-elastische effecten gekarakteriseerd door de uitdrukkingen:

F = F(EKL, NK, GLM, WK, \theta),

die de afhankelijkheid van de interne krachten in het materiaal van de elektrische, magnetische en temperatuurvelden beschrijven. Deze relaties helpen bij het modeleren van de respons van ferromagneto-elastische structuren op zowel mechanische als elektromagnetische belasting.

Daarnaast zijn er specifieke beperkingen die aan deze relaties zijn verbonden, zoals de eis dat:

DBL \cdot M = 0.

Deze beperking is belangrijk voor het behoud van de symmetrie van het systeem, waarbij de magnetisatie ( $M$ ) geen invloed heeft op de elektrische belasting in de richting van de polarisatie ( $DBL$ ).

De dynamische problemen in ferromagneto-elastische materialen worden verder gekarakteriseerd door de gebruikelijke spanningsdefinities, zoals:

\tau_{Dij} v_{j,i} - DBL d\mu'_{k} - d PD E_i - q_i \rho \theta,i + J'E' \geq 0.

In dit geval zijn de termen gerelateerd aan de snelheid van vervorming, de invloed van magnetische en elektrische velden, en de thermische effecten. Deze relatie speelt een sleutelrol bij het simuleren van de respons van materialen onder dynamische belasting, zoals vibraties of snelle belastingstoestanden.

Naast deze algemene relaties voor spanningen en krachten, worden de elektromagnetische velden gekarakteriseerd door de Maxwell-vergelijkingen, die worden uitgebreid met magnetische polarizatie en elektrische vervorming:

B D = \epsilon_0 E + P, \quad H = -M,

waar $B$ de magnetische inductie is, $D$ de elektrische verplaatsing, $P$ de elektrische polarisatie, en $M$ de magnetisatie. De Maxwell-vergelijkingen in dit context zijn geformuleerd met de beperkingen van de ferromagneto-elastische eigenschappen van het materiaal, die de interactie tussen mechanische en elektromagnetische fenomenen beschrijven.

Op de grensvlakken van een materiaal kunnen verschillende randvoorwaarden optreden. Een voorbeeld hiervan is de interactie van een extern veld met een ferromagneto-elastische structuur, waarvoor de randvoorwaarden als volgt kunnen worden geformuleerd:

n \cdot (\tau + TEM + vG), \quad n \cdot D, \quad n \times H', \quad n \cdot B, \quad n \times E',

waarbij $n$ de eenheidsnormaal vector is van het grensvlak, $TEM$ de elektromagnetische spanningstensor is, en $G$ de snelheid van de beweging. Verder zijn $D$ en $B$ respectievelijk de elektrische en magnetische verplaatsing op het grensvlak, terwijl $H'$ en $E'$ de gemodificeerde magnetische en elektrische velden zijn. De behandeling van deze randvoorwaarden is essentieel voor het modeleren van de dynamica van het systeem op macroniveau.

De specifieke materialeigenschappen, zoals de elektrische polarizatie $P$ , magnetisatie $M$ , en de bijbehorende spannings- en krachtsverhoudingen, worden verder beschreven door de eigenschappen van de gebruikte materialen. Dit omvat onder meer de massadichtheid, de elasticiteitsmodulus, en de magneto-elektrische constanten, die variëren afhankelijk van het gebruikte ferromagneto-elastische materiaal. Het begrijpen van deze variabelen is cruciaal voor het ontwerpen van systemen die gebruik maken van deze materialen in toepassingen zoals sensoren, actuatoren, en energiemateriaaltechnologieën.

De integratie van deze verschillende fysische verschijnselen in één model stelt ingenieurs en wetenschappers in staat om ferromagneto-elastische structuren te ontwerpen die optimaal reageren op zowel mechanische als elektromagnetische belastingen. De meest kritieke eigenschap van dergelijke materialen is hun vermogen om tegelijkertijd elektrische, magnetische en mechanische energie om te zetten en op elkaar af te stemmen, wat hen uitermate geschikt maakt voor toepassingen in de moderne technologie.

Jak se vypořádat s minulostí, když se znovu setkáváme s bolavými vzpomínkami?
Jak využít ořechy a vlákninu ve stravě pro lepší zdraví?
Jak může dům a pozemky ožít, když je péče o ně zanedbána?
Jak využít vrstvy v Photoshopu pro efektivní úpravy a kompozice