Hoe Relatieve Tensors en Pseudotensors Zich Gedragen Onder Transformaties

In vierdimensionale Minkowski-ruimte moeten de componenten van een volledig antisymmetrische tensor van orde 5 allemaal nul zijn. Dit komt voort uit het feit dat wanneer de orde van een tensor groter is dan de dimensie van de onderliggende vectorruimte, de basisvectoren van de tensor afhankelijk moeten zijn, wat resulteert in nulcomponenten. Uiteraard is een antisymmetrische tensor van orde 4 in deze ruimte een pseudoscalar.

Wanneer we te maken hebben met afgeleiden van tensorcomponenten, kunnen we een antisymmetrische tensor Aij construeren uit de componenten van een covariante vector Vi, door het verschil te nemen tussen de afgeleiden van de vectorcomponenten, dat wil zeggen Aij = Vi,j − Vj,i. Deze antisymmetrische tensor volgt de transformatiewet van covariante componenten en wordt beschreven door een specifieke relatie die het mogelijk maakt om de verandering van de tensorcomponenten onder coördinatentransformaties te begrijpen.

Naast de standaard tensoren die onder coördinatentransformaties in stand blijven, bestaat er een andere soort objecten die een tensorachtig gedrag vertonen, maar niet strikt als een echte tensor worden beschouwd. Deze objecten worden aangeduid als relatieve tensoren, of tensordichtheden. Deze objecten transformeren onder coördinatentransformaties volgens een lineaire, homogene wet die doet denken aan een tensor, maar met een belangrijke nuance: hun transformatie wordt beïnvloed door een extra factor die hun 'gewicht' bepaalt.

Bijvoorbeeld, als we een object R beschouwen waarvan de componenten in een coördinatensysteem {xk} worden weergegeven door Ri1···p j, dan kunnen we het beschouwen als een relatieve tensor van type (p, q) door een algemene lineaire transformatie naar een ander coördinatensysteem toe te passen. De transformatie omvat de Jacobiaan van de coördinatentransformatie en een gewichtsfactor, die het gedrag van de tensor in het nieuwe systeem beïnvloedt.

Relatieve tensoren zijn wiskundige objecten die, hoewel ze zich als echte tensoren gedragen onder transformaties, geen intrinsieke fysieke betekenis hebben, behalve wanneer ze in een specifiek fysisch kader worden geplaatst. Een belangrijk voorbeeld van een relatieve tensor is de determinant van de metrische tensor, g = det[gik], die verandert volgens de transformatiewet van de metrische tensorcomponenten. De determinant van de metrische tensor wordt een relatieve scalar, ook wel een scalair dichtheid genoemd, door de invloed van de Jacobiaan determinant, die als gewicht een waarde van W = −2 heeft.

Er zijn ook objecten die de eigenschappen van relatieve tensoren vertonen, maar die onder een omgekeerde transformatie een signumfactor toevoegen. Deze objecten worden relatieve pseudotensoren genoemd. Een relatieve pseudotensor van gewicht W wordt gedefinieerd door een transformatie die een extra tekenfactor van de Jacobiaan determinant toevoegt. Dit betekent dat het product van twee relatieve pseudotensoren resulteert in een relatieve tensor, en als de pseudotensoren van het juiste type zijn, kan hun product zelfs een echte tensor worden.

Bijvoorbeeld, in de context van de elektrodynamica wordt het elektrische veld vaak gemodelleerd als een vector, terwijl het magnetische veld als een pseudovector wordt beschouwd, dat wil zeggen, een object dat onder transformatie door een coördinateninversie van teken verandert. Dit lijkt tegenstrijdig, aangezien we stellen dat fysieke grootheden als tensoren moeten worden gemodelleerd. Echter, relatieve pseudotensoren kunnen worden behandeld als antisymmetrische tensoren in vermomming, en dit verklaart het gedrag van het magnetische veld onder ruimtelijke omkeringen.

Relatieve tensoren en pseudotensoren zijn dus een krachtig hulpmiddel in de wiskunde van de natuurkunde, vooral wanneer we werken met transformaties die het teken van bepaalde fysische grootheden kunnen beïnvloeden. Het is belangrijk om het verschil tussen een absolute tensor en een relatieve tensor goed te begrijpen, vooral wanneer we te maken hebben met grootheden die van nature veranderen onder bepaalde symmetrie-inversies. In sommige gevallen is de complexiteit van relatieve tensoren en pseudotensoren de sleutel tot het begrijpen van de symmetrieën van natuurkundige theorieën en de gedragspatronen van fysische velden.

Hoe wordt de geometrie van een bolvormig oppervlak beschreven met behulp van tensoren en bewegende referentiekaders?

De coördinaten van het radiusvector op punt P worden gekozen als $(\sin \tau, 0, \cos \tau)$ in een Cartesiaans coördinatensysteem, uitgelijnd zodat de z-as naar de pool wijst. De coördinaten van het radiusvector op punt Q worden gegeven door $(\sin \tau \cos \Delta \varphi, \sin \tau \sin \Delta \varphi, \cos \tau)$. Door de standaard vectorinproduct toe te passen voor kleine hoeken, komt men bij de uitdrukking $\Delta \alpha \approx \Delta \varphi \sin \tau$, waarbij $\Delta \alpha$ de hoek is tussen de twee radiusvectoren van de bol.

Deze benadering is niet alleen van belang in de theoretische natuurkunde, maar speelt ook een cruciale rol in de navigatie en geodesie, waar het concept van de bolvormige driehoek en de grote cirkel gebruikt wordt om de kortste afstanden op een bolvormig oppervlak te berekenen. Deze benaderingen kunnen verder worden verfijnd door gebruik te maken van de algemene haversine navigatieformule, die een nauwkeurigere methode biedt om de afstand tussen twee punten op de bol te berekenen.

De covariante afgeleide van de volumesvorm $\Omega$ is eveneens van groot belang in de studie van de meetkunde van manifolds. Het resultaat dat de covariante afgeleide van de volumesvorm nul is, oftewel $\nabla_u \Omega = 0$, heeft implicaties voor de conservatie van volumes in een ruimte. Dit betekent dat de volume-elementen onder de werking van een covariante afgeleide niet veranderen, wat essentieel is voor het behoud van de meetkundige eigenschappen van de ruimte.

Het gebruik van Cartan's bewegende referentiekaders (MRF) biedt een krachtige methode voor het analyseren van krommingen en tensorvelden in een ruimte. In plaats van te werken met de complexe berekeningen die vereist zijn voor de componenten van de Riemann-tensor in een specifiek coördinatensysteem, maakt Cartan's methode het mogelijk om deze berekeningen te vereenvoudigen door het toevoegen van extra structuur aan de manifold. Dit wordt bereikt door het gebruik van orthonormale bewegende referentiekaders, die de benodigde berekeningen aanzienlijk verminderen.

Een belangrijk aspect van Cartan's methode is het gebruik van de structuurvergelijkingen die de eigenschappen van de Riemann-, Ricci- en Einstein-tensoren beschrijven. Deze vergelijkingen worden afgeleid door het toepassen van de concepten van bewegende referentiekaders en differentiaalvormen, waardoor het mogelijk wordt om de meetkundige structuur van een manifold in een efficiëntere en meer inzichtelijke manier te analyseren.

Het begrip van het gebruik van deze referentiekaders vereist een diepere kennis van drie belangrijke concepten: (1) transformaties van de bewegende referentiekaders en hun duale vormen, (2) de uitbreiding van reguliere differentiaalvormen naar vector-waarde vormen, en (3) de uitbreiding van de buitenafgeleide naar vector-waarde vormen met behoud van covariantie. Deze nieuwe concepten stellen ons in staat om de geometrie van een manifold op een meer flexibele manier te beschrijven, waarbij de metingen en afgeleiden in verschillende basisstellingen effectief kunnen worden uitgevoerd.

Het leren beheersen van deze concepten is essentieel voor het begrijpen van de complexe geometrische structuren die optreden in de algemene relativiteitstheorie, evenals in de studie van andere geometrieën die zich in hoge-dimensionale ruimten afspelen.