Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
De effecten van veranderingen in de geometrie van de balk kunnen verwaarloosd worden. Het maakt niet uit of configuratie C0 of C1 als referentie wordt gekozen, zoals typisch is voor een lineaire analyse. Voor de doeleinden van de buiginganalyse in de volgende secties is het echter handiger om alle fysieke parameters te relateren aan de C1-configuratie. Door dit te doen, kunnen alle relaties die hier zijn afgeleid, gemakkelijk worden toegepast in de formulering van de buigingstheorie voor de driedimensionale balk in Sectie 5.4.
Zoals te zien is in Figuur 5.1, gebruiken we de x-as om de zwaartepuntas van de balk aan te duiden, terwijl y en z de belangrijkste richtingen van de doorsnede zijn. Laten we ux, uy en uz de verplaatsingen noemen van een generiek punt N op sectie x van de balk langs de drie assen x, y en z. De vervormingen voor het generieke punt kunnen worden uitgedrukt als:
waarbij een komma differentiatie met respect tot de bijbehorende coördinaat aanduidt. De andere componenten die weinig betekenis hebben in de lineaire analyse zijn:
Op basis van de Bernoulli–Euler-hypothese van vlakke doorsneden die vlak blijven na vervorming, kunnen de verplaatsingen (ux, uy, uz) van een generiek punt N op sectie x, met coördinaten (y, z), worden gerelateerd aan de verplaatsingen (u, v, w) van het zwaartepunt C van dezelfde sectie zoals volgt:
Door de bovenstaande uitdrukkingen voor de verplaatsingen (ux, uy, uz) in de formules voor de vervormingen (5.1)–(5.6) in te voegen, verkrijgen we de volgende resultaten:
Zoals te zien is, vervallen de vervormingen 1eyy, 1eyz en 1ezz door de veronderstelling van ongedraaide doorsneden, zoals geïmpliceerd door de formules (5.8) en (5.9). Volgens de wet van Hooke kunnen de spanningen worden gerelateerd aan de vervormingen als volgt:
waarbij E en G respectievelijk de elasticiteits- en rigideitmoduli zijn. Dit leidt tot de volgende uitdrukkingen voor de spanningen:
Op basis van de evenwichtsvoorwaarden kunnen we de spanningen over de doorsnede van de balk integreren om de volgende spanningsresultanten te verkrijgen: de axiale kracht 1Fx, de dwarskrachten 1Fy en 1Fz, de buigmomenten 1My en 1Mz, en de torsie 1Mx:
waarbij A het oppervlak van de doorsnede van de balk is. Door de uitdrukking voor 1τxx in (5.17) in te voegen in de bovenstaande vergelijkingen, kunnen we de gegeneraliseerde spanningen 1Fx, 1My en 1Mz voor een doorsnede van de solide balk in termen van de gegeneraliseerde vervormingen u', v'' en w'' uitdrukken als:
waarbij Iy en Iz de traagheidsmomenten zijn ten opzichte van de y- en z-assen van de doorsnede, respectievelijk:
Bij het afleiden van de bovenstaande formules zijn de volgende orthogonaliteitsvoorwaarden voor de belangrijkste zwaartepuntassen aangenomen:
Door (5.26)–(5.28) op te lossen voor u', v'' en w'' en deze in te voegen in (5.17), krijgen we:
Dit is precies de formule voor het berekenen van de axiale spanning 1τxx op basis van de lineaire theorie van vaste balken.
De instabiliteit van een driedimensionale vaste balk kan het best worden begrepen door te kijken naar de transitie van de C1-configuratie naar de C2-configuratie. Wanneer we de balk snijden op sectie x en de linkerhelft ervan overwegen, zijn de spanningen die op sectie x werken precies die welke door de rechterhelft van de balk worden uitgeoefend. Voor dit doel hechten we twee coördinatenstelsels aan het zwaartepunt C van de doorsnede. Het eerste stelsel wordt de η-ζ-coördinaten genoemd, waarin η en ζ de twee belangrijkste assen van de doorsnede aangeven.
Wanneer de balk de C2-configuratie bereikt, worden de momenten (2Mx, 2My en 2Mz) beïnvloed door de rotaties θx, θy en θz, zoals aangegeven door de coördinaten 2x̄, 2ȳ en 2z̄. Door de uitdrukkingen voor 2x̄, 2ȳ en 2z̄ in de vergelijkingen voor de momenten te substitueren, krijgen we:
waarbij hogere-orde termen die fysisch niet gerechtvaardigd kunnen worden, zijn weggelaten.
De spanningen 2Si die op de doorsnede in C2 werken, maar verwijzen naar C1, kunnen worden ontbonden als:
waarbij Si de bijgewerkte Kirchhoff-spanningstoenames zijn. Door de uitdrukking voor 2Si in de formules voor de momenten in te voegen, kunnen we de momenten die op de sectie werken, berekenen in de C2-configuratie.
Hoe Bepaal je de Geschiktheid van Iteratieve Methoden voor Niet-lineaire Structuren in de Nabijheid van Kritieke Punten?
De benadering van kritieke punten in de iteratieve analyse van niet-lineaire structuren vereist zorgvuldige aandacht voor de stabiliteit van de gebruikte oplossingsmethoden. Bij het onderzoeken van de nabijheid van deze kritieke punten, zoals limietpunten of knikpunten, worden specifieke technieken in de numerieke analyse toegepast, die elk hun eigen voor- en nadelen hebben. Het is van belang te begrijpen hoe de verschillende benaderingen de nauwkeurigheid en stabiliteit van de oplossing beïnvloeden, vooral wanneer men de eigenschappen van het systeem wil evalueren in de buurt van deze kritische punten.
Bij het gebruik van een iteratieve methode, zoals het Newton-Raphson algoritme, is het van cruciaal belang te erkennen dat de stabiliteit van het systeem in dergelijke kritieke regio’s vaak in gevaar komt. De iteraties van het Newton-Raphson proces gaan uit van een constante belasting, wat betekent dat de belastingparameter λij gelijk blijft tijdens de iteraties. Dit kan echter leiden tot numerieke instabiliteit wanneer het systeem zich dicht bij een limietpunt bevindt, omdat de determinant van de oorspronkelijke stijfheidsmatrix [Ki] in deze regio nul nadert. In dit geval kan de belastingparameter zelf nul blijven, maar de verplaatsingscomponenten kunnen onbegrensd worden. Daarom is de Newton-Raphson methode vaak niet geschikt voor het oplossen van problemen waarbij limiet- of knikpunten een rol spelen.
Een alternatieve benadering, de verplaatsingscontrolemethode, biedt meer stabiliteit in de buurt van kritieke punten. Deze methode stelt een bepaalde verplaatsingscomponent in als controleparameter en zorgt ervoor dat de stijfheidsmatrix [K̂i] in de buurt van deze punten niet-singulier blijft. Hoewel de verplaatsingen beperkt blijven, kunnen er echter problemen ontstaan wanneer de verplaatsing zich naar een knikpunt beweegt, aangezien de controleverplaatsing dan de neiging heeft om te "terug te slaan". Dit kan leiden tot numerieke instabiliteit doordat de determinant van de [K̂i] matrix nul nadert, zelfs als de oorspronkelijke matrix [Ki] nog steeds een niet-nul determinant heeft. Dit soort gedrag moet zorgvuldig worden gemonitord tijdens de iteraties.
Een andere veelgebruikte techniek is de booglengtemethode, waarbij iteratieve richtingen worden gedefinieerd in een hogere-dimensionale ruimte. Dit voorkomt dat de iteraties vastlopen in de buurt van kritieke punten, omdat de richting van de iteraties voortdurend wordt aangepast op basis van de wijziging in de booglengte. De techniek heeft echter een zwakte: in gevallen waar de knikpunten scherpe gradiënten vertonen, kunnen de iteraties verkeerd tekenen, wat leidt tot numerieke divergentie.
Daarnaast wordt de werkcontrolemethode vaak toegepast wanneer het doel is de veranderingen in werk te controleren tijdens de belastingsstappen. Voor structuren met weinig belastingcomponenten kan het echter zijn dat de determinant van de [K̂i] matrix nul nadert wanneer de verplaatsingen die verband houden met de belastingcomponenten neigen naar knikpunten. Dit wijst op mogelijke numerieke moeilijkheden in de buurt van deze punten. De werkcontrolemethode kan daarom falen als de structuurelementen die de belastingcomponenten vertegenwoordigen, in de buurt van een knikpunt komen.
Hoewel de bovenstaande methoden hun beperkingen hebben, is het belangrijk te beseffen dat geen enkele methode volledig vrij is van problemen in de buurt van kritieke punten. Er zijn echter benaderingen die de stabiliteit kunnen verbeteren door de belastingveranderingen en verplaatsingsveranderingen beter aan te passen aan de veranderende stijfheid van de structuur. Een voorbeeld hiervan is de Generalized Displacement Control (GDC) methode, die het mogelijk maakt de richting van de belasting aan te passen op basis van de eerdere iteraties. Deze benadering vereist dat de juiste constraintparameters worden gekozen, zoals k = 0 en {C} = λi1{ -ΔÛ1}, wat de numerieke stabiliteit bevordert.
Het is essentieel dat bij het kiezen van een oplossingstechniek voor niet-lineaire structurele analyses de keuze van de controleparameters zorgvuldig wordt afgewogen, vooral als men dicht bij kritieke punten werkt. Het gebruik van ongeschikte methoden kan leiden tot onjuiste oplossingen en numerieke instabiliteit. Het begrijpen van de onderliggende mechanismen van deze methoden is daarom cruciaal voor het verkrijgen van betrouwbare resultaten in de buurt van kritieke punten.
Hoe de As- en Sectieparameters van Lastelementen Evolueren bij Geometrische Veranderingen in Ruimteframe-structuren
In de C0-configuratie van een element zijn de orthogonale assen van de secties, zoals weergegeven in Figuur B.3(a), parallel aan elkaar. Wanneer het element zich verplaatst naar de C1-configuratie, zoals te zien in Figuur B.3(b), veranderen de sectie-assen (0αa, 0βa, 0γa) en (0αb, 0βb, 0γb) voor de twee uiteinden, omdat de normale en principale richtingen van de secties draaien. Aangezien de centroidas van het element zich kromt, blijven de secties aan de uiteinden doorgaans niet parallel. Op basis van het concept van convectieve coördinaten (Belytschko en Hsieh, 1974) kan de elementas 1x in de C1-configuratie gedefinieerd worden als de as die door de centroids van de uiteinden van de secties gaat. Daarnaast kan, door een vlak 1S loodrecht op de 1x-as te veronderstellen, de as 1y en 1z als gemiddelden van de projecties van de belangrijkste en secundaire principale richtingen van de twee uiteinden op het vlak 1S worden gedefinieerd.
De procedure voor het bepalen van de elementassen en sectie-assen op de knooppunten van het element wordt vervolgens gepresenteerd, met een relatie tussen de sectie-assen van knooppunt A in de C0-configuratie en de referentie-assen. De sectie-assen van knooppunt A kunnen worden gerelateerd aan de referentie-assen via de matrix [0R]. De matrix [0R] kan worden geïnterpreteerd als de transformatie tussen de elementassen en de globale coördinaten van het frame-element op de C0-configuratie. Aangezien de verbindingen als rigide worden aangenomen, wordt de transformatie tussen de referentie-assen en de sectie-assen van de elementknopen niet beïnvloed door de vervormingen van het element.
De sectie-assen van de knooppunten A en B op de C1-configuratie kunnen ook op dezelfde manier worden berekend. De positie van de 1x-as van het frame-element kan worden bepaald door de positievector tussen de twee knooppunten A en B, en de lengte van het element wordt berekend als de afstand tussen deze twee knooppunten in de C1-configuratie. De projecties van de sectie-assen 1β en 1γ voor de knooppunten A en B kunnen worden berekend door een gemiddelde van de projecties van deze assen op het vlak 1S. Het resultaat is dat de sectie-assen in het algemeen niet parallel zullen blijven na de vervorming van het element, maar door de gemiddelden te nemen kan een consistente basis worden gevormd.
Het gebruik van geavanceerde wiskundige technieken zoals het normaliseren van de projecties en het hanteren van een gedraaide rhombusvorm maakt het mogelijk om een orthogonaal assenstelsel te creëren dat geschikt is voor de beschrijving van de geometrische eigenschappen van het frame-element in de nieuwe configuratie. Het aanpassen van de vectoren voor de projecties van de sectie-assen op het vlak kan leiden tot een effectieve beschrijving van de veranderde configuratie van het element in de C1-configuratie.
Met behulp van de hiervoor beschreven methoden wordt een transformatie-matrix [1R] gevormd voor het frame-element op de C1-configuratie, waarbij de assen 1x, 1y en 1z worden gecombineerd. Op een vergelijkbare manier kunnen de sectie-assen voor het frame-element op de C2-configuratie worden berekend, waarbij de posities en referentie-assen van de elementknopen in deze configuratie in acht worden genomen.
In de praktijk is de berekening van de natuurlijke vervormingen van een ruimteframe-element essentieel voor de verdere analyse van de krachten en reacties die optreden als gevolg van de vervormingen in het element. De natuurlijke vervormingen kunnen worden gedecomposeerd in rigide verplaatsingen en de werkelijke vervormingen van het element. Het is belangrijk te begrijpen dat de rigide verplaatsingen de oorspronkelijke krachten niet veranderen, maar enkel de oriëntatie van de krachten ten opzichte van de assen beïnvloeden. De werkelijke vervormingen van het element worden gerepresenteerd door een vector van verplaatsingen die zijn gecorreleerd aan de assen van het frame-element, wat cruciaal is voor de accurate bepaling van de krachtveranderingen die optreden tijdens de belasting van het element.
Daarnaast is het belangrijk te realiseren dat het gebruik van geometrische transformaties bij het beschrijven van vervormingen in structuren met ruimteframes cruciaal is voor het verkrijgen van een nauwkeurige representatie van de structuur en de krachten die daarin werkzaam zijn. Zonder deze transformaties zou men de dynamische effecten van vervormingen zoals rotaties en schuifbewegingen niet correct kunnen modelleren, wat essentieel is voor de stabiliteit en integriteit van complexe frame-structuren.