De diffusvergelijking voor een kernreactor met vermenigvuldiging verschilt aanzienlijk van die in een niet-vermenigvuldigend systeem. In een reactor, waar fissionele kernen neutronen genereren die vervolgens een kettingreactie in gang zetten, moeten we de oplossing van de diffusvergelijking afstemmen op deze vermenigvuldigende omgeving. De fundamentele verschillen ontstaan doordat de neutronen in een reactor niet slechts diffunderen door het materiaal, maar ook in staat zijn om verdere kernsplijtingen te veroorzaken.

In een reactor worden neutronen geproduceerd door kernsplijting en kunnen ze nieuwe kernsplijtingen veroorzaken, wat leidt tot een zelfonderhoudende kettingreactie. Dit vereist een gedetailleerd begrip van de diffusie van neutronen en de factoren die de vermenigvuldiging van neutronen beïnvloeden. De diffusvergelijking in een vermenigvuldigend systeem heeft de vorm:

D∇2ϕ(r,t)=Σaϕ(r,t)−νΣfϕ(r,t)D \nabla^2 \phi (r, t) = \Sigma_a \phi (r, t) - \nu \Sigma_f \phi (r, t)

waarbij DD de diffusiecoëfficiënt is, ϕ(r,t)\phi(r, t) de neutronenflux is, Σa\Sigma_a de absorptie-crosssectie en νΣf\nu \Sigma_f de fissie-crosssectie is. In een niet-vermenigvuldigend systeem is het evenwicht van neutronenflux eenvoudig te begrijpen: de neutronen diffunderen zonder een kettingreactie in gang te zetten. In een reactor, echter, moet het gedrag van neutronen worden geanalyseerd in termen van hun vermogen om nieuwe fissionele gebeurtenissen te initiëren.

Bij het oplossen van deze diffusvergelijking spelen randvoorwaarden een cruciale rol. Een van de essentiële voorwaarden is de 'finite flux' voor gebieden waar de vergelijking van toepassing is. Dit betekent dat de oplossing van de diffusie in gebieden waar de neutronenflux optreedt, eindig moet zijn. Deze randvoorwaarden kunnen wiskundig worden uitgedrukt als:

ϕ(0,t)=0\phi(0, t) = 0

Naast de 'finite flux' randvoorwaarde, moeten we ook rekening houden met de bronconditie. De neutronen die binnenkomen via de bron van de reactor moeten afkomstig zijn van de fissionele processen binnen de reactor. Dit kan worden gemodelleerd door een wiskundige expressie die het gedrag van de neutronen in de buurt van de reactorbron specificeert:

lim⁡x→0J(x)=S\lim_{x \to 0} J(x) = S

waarbij J(x)J(x) de neutronenstroom is en SS de bronsterkte is. In dit geval moet de oplossing voldoen aan de juiste randvoorwaarden om de onbekende constanten te bepalen die voortkomen uit de oplossing van de diffusvergelijking.

Bij de oplossing van de diffusvergelijking moeten vier randvoorwaarden in overweging worden genomen, zoals aangegeven in de grafieken van figuur 3.23. De wiskundige benadering van een systeem dat deze randvoorwaarden vervult, vereist een gedetailleerde oplossing van de diffusie in twee verschillende media, bijvoorbeeld in een reactor die zich uitstrekt over verschillende regio's.

De multiplicatiefactor in een kernreactor speelt een essentiële rol bij het bepalen van de stabiliteit van de kettingreactie. Het is van belang te begrijpen dat in een reactor elke splijting een andere splijting moet veroorzaken voor een zelfonderhoudende kettingreactie. De multiplicatiefactor, aangeduid als k∞k_{\infty}, wordt gedefinieerd als de verhouding tussen het aantal neutronen verloren door absorptie en het aantal geproduceerde neutronen per generatie:

  • k∞<1k_{\infty} < 1: De kettingreactie is subkritisch, de neutronenpopulatie zal afnemen met de tijd.

  • k∞=1k_{\infty} = 1: De kettingreactie is kritisch, de neutronenpopulatie blijft constant.

  • k∞>1k_{\infty} > 1: De kettingreactie is superkritisch, de neutronenpopulatie neemt exponentieel toe.

Deze concepten worden verder geïllustreerd in figuur 3.25, waar de verschillende kritische toestanden visueel worden gepresenteerd. De stabiliteit van de kettingreactie wordt dus bepaald door de multiplicatiefactor, die in de loop van de tijd constant moet blijven om de reactor in een gecontroleerde toestand te houden.

Bij de oplossing van de diffusvergelijking voor een cilindrische reactor, moeten we de specifieke geometrie van de reactor in overweging nemen. Stel je een reactor voor die de vorm heeft van een cilinder, zoals afgebeeld in figuur 3.26. De oplossing van de diffusvergelijking vereist het gebruik van de Laplaciaanse operator in cilindrische coördinaten, waarbij we rekening houden met zowel de radiale als axiale richtingen:

∇2ϕ(r,z)=1r∂∂r(r∂ϕ(r,z)∂r)+∂2ϕ(r,z)∂z2\nabla^2 \phi (r, z) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial \phi (r, z)}{\partial r} \right) + \frac{\partial^2 \phi (r, z)}{\partial z^2}

De oplossing van deze vergelijking wordt gevonden door de techniek van scheiding van variabelen toe te passen, waardoor de oplossing een product wordt van een radiale functie R(r)R(r) en een axiale functie Z(z)Z(z):

ϕ(r,z)=R(r)Z(z)\phi (r, z) = R(r) Z(z)

Deze methoden leiden tot de oplossing van de diffusvergelijking in zowel radiale als axiale richtingen, en het gebruik van Bessel-functies voor de radiale component van de oplossing.

Het is belangrijk te begrijpen dat deze oplossingen niet alleen wiskundige formules zijn, maar daadwerkelijk de fysica van de neutronenflux in een reactor beschrijven. De neutronen die door een reactor diffunderen en de daaropvolgende kernsplijtingen veroorzaken, worden gemodelleerd door deze complexe vergelijkingen, die essentieel zijn voor het begrijpen van het ontwerp en de werking van kernreactoren.

Hoe Beïnvloedt Koelvloeistof de Krachtproductie in Kernreactoren?

In kernreactoren wordt koelvloeistof niet alleen gebruikt voor het afvoeren van warmte, maar kan het ook de reacties in de reactor zelf beïnvloeden. Koelvloeistof heeft de eigenschap om neutronen te veranderen: door snel uitgezonden neutronen te vertragen en om te zetten in thermische neutronen, kan een moderator de kracht van de reactor verhogen. Fissie, het proces waarbij een zware atoomkern splijt, wordt namelijk veel waarschijnlijker veroorzaakt door thermische neutronen dan door snelle neutronen. Dit maakt de rol van de koelvloeistof in veel reactoren cruciaal voor het handhaven van de energieproductie.

Temperatuurveranderingen kunnen de dichtheid van de koelvloeistof beïnvloeden, en hierdoor de krachtoutput van de reactor veranderen, vooral als de koelvloeistof als moderator functioneert. Bij een hogere temperatuur wordt de koelvloeistof minder dicht, wat zijn effectiviteit als moderator vermindert. Dit maakt het belangrijk om de temperatuur van de koelvloeistof nauwkeurig te monitoren om te zorgen voor een stabiele werking van de reactor.

In sommige reactoren heeft de koelvloeistof ook een andere functie: die van een neutronenabsorberende stof, een zogenaamde "poison". Dit betekent dat de koelvloeistof in sommige gevallen kan helpen om de kettingreactie in de reactor af te remmen. Dit principe wordt bijvoorbeeld toegepast in noodgevallen, wanneer de reactor moet worden stilgelegd. In zulke gevallen wordt er veel van een neutronenabsorberende stof, zoals boorzuur, in de reactor geïnjecteerd om de reactie te stoppen.

Bij een noodstop of "scram" worden vaak zowel automatische systemen als menselijke interventie gebruikt om de kettingreactie snel te stoppen. Dit kan bijvoorbeeld door het injecteren van boorzuur, wat als een neutronenabsorberende stof fungeert en de reactie blokkeert. Het injecteren van deze stoffen helpt niet alleen bij het stoppen van de reactie, maar voorkomt ook dat er ongewenste neveneffecten optreden die de reactor kunnen beschadigen.

Veel kernreactoren zijn gevoelig voor een fenomeen dat bekend staat als het "jodiumput"- of "xenonvergiftiging"-effect. Xenon-135, een typisch nevenproduct van fissie, absorbeert neutronen en fungeert als een neutronenvergif. Dit kan ervoor zorgen dat de reactor tijdelijk niet meer kan draaien. Het beheren van de productie en accumulatie van xenon-135 is daarom essentieel voor het handhaven van een stabiele krachtproductie. Dit gebeurt door de reactor op een hoog genoeg niveau te houden, zodat de gegenereerde neutronen snel genoeg worden geabsorbeerd om te voorkomen dat xenon-135 zich ophoopt.

Xenon-135 wordt gevormd uit jodium-135, dat zelf weer uit een andere fissieproduct, jodium-115, komt. De halfwaardetijd van jodium-135 is ongeveer 6,57 uur, terwijl xenon-135, dat daarna ontstaat, een halfwaardetijd van 9,2 uur heeft. Na een reactoruitval of tijdelijke stop kan dit fenomeen de herstart bemoeilijken, aangezien de xenon-135 niet meteen verdwijnt en de reactor pas weer kan draaien zodra dit proces volledig is afgerond.

Dit tijdelijke effect wordt ook wel de "xenonverbrandingstransiënt" genoemd, waarbij xenon-135 omgezet wordt in xenon-136, een veel minder schadelijke stof. Dit proces kan enkele uren duren. Om de reactor weer in gang te krijgen, moeten de controle-romen die neutronen absorberen verder worden ingevoerd om de neutronenabsorptiecapaciteit te herstellen. Een belangrijk punt is dat dit proces in sommige gevallen verkeerd kan worden toegepast, zoals gebeurde bij de ramp van Tsjernobyl, waar het verkeerde gebruik van deze technieken leidde tot een ongecontroleerde situatie.

Een ander belangrijk aspect van kernreactoren die gebruik maken van nucleaire voortstuwing, zoals nucleaire onderzeeërs, is dat ze vaak een zeer lange brandduur zonder bijvullen vereisen. Deze reactoren gebruiken vaak sterk verrijkt uranium, maar ze bevatten ook brandstofstaven die neutronenvergiften kunnen produceren. Hierdoor wordt de reactor in het begin relatief veilig, maar na verloop van tijd, wanneer deze vergiften zich ophopen, kan de reactor minder efficiënt werken. Deze langlevende neutronenvergiften maken het noodzakelijk om de reactorontwerpen te optimaliseren om de ophoping van vergiften te beheren.

Het vermogen dat door het proces van nucleaire fissie wordt opgewekt, is de fundamentele basis van kernenergie. Een grote uraniumkern wordt gebombardeerd door een neutron, waardoor deze splijt en nieuwe neutronen vrijkomen die andere atomen kunnen treffen en een kettingreactie veroorzaken. De energie die vrijkomt bij de splitsing van uraniumatomen kan de temperatuur van water tot extreem hoge niveaus verhogen, en de stoom die hieruit vrijkomt wordt gebruikt om turbines aan te drijven die op hun beurt elektriciteit genereren. Wereldwijd was de capaciteit van nucleaire energie in 2021 ongeveer 389,5 GW, opgewekt door 437 operationele reactors verspreid over 32 landen. Het gebruik van nucleaire energie wordt naar verwachting de komende decennia, vooral in Azië, blijven groeien, ondanks de zorgen over de veiligheid na ongevallen zoals Tsjernobyl en Fukushima.

Naast de technische en fysische aspecten is het essentieel te begrijpen dat de betrouwbaarheid en veiligheid van kernreactoren sterk afhangen van het effectieve beheer van de moderatie en de controlemechanismen. Een gedetailleerd begrip van hoe verschillende stoffen als neutronenvergiften en moderators in de praktijk werken, kan de basis vormen voor het verder verbeteren van de veiligheid en efficiëntie van kernreactoren wereldwijd.

Hoe Vogels hun Nest Tijd Doorbrengen: Van de Roek tot de Zwaluw
Hoe de Variabiliteit van Moesson Droogtes in India te Begrijpen
Hoe je appels en peren op hun beste kunt bereiden: Van desserts tot chutneys