De intermoleculaire koppeling constante wordt verkregen als volgt:
∣ γss′ = 〈 vs = 1, vs′ = 0∣ ∣ V̂ ∣ 〉 inter vs = 0, vs′ = 1 (2.16)
Deze vergelijking (2.16) is gebaseerd op de veronderstelling dat Ĥ in dit geval benaderd kan worden door V̂inter. Vervolgens wordt de uitdrukking uitgebreid als volgt:
γss′ = us · us′ − 3(us · nss′)(us′ · nss′) r3 〈vs = 1|μ̂s|vs = 0〉〈vs′ = 0|μ̂s′ |vs′ = 1〉 ss′ (2.17)
Nogmaals, de atomaire eenheden worden hier verondersteld. De machtreeksuitbreiding van de dipoolmomentoperator, afgekapt bij de eerste orde, is μ̂s = μ̂0 s + μ′ sx̂s, waarbij de nulde-orde term μ̂0 s de elektrische dipoolmomentoperator is, waarbij de OH-bindingslengte op de evenwichtswaarde wordt gehouden, en μ′ s de afgeleide van het dipoolmoment is, verkregen door de grootte van het elektrische dipoolmoment μs (de klassieke-mechanische tegenhanger van μ̂s) af te leiden naar de OH-stretchcoördinaat xs. Omdat de nulde-orde term μ̂0 s noch x̂s, noch p̂s bevat, is de matrixelement v ∣ 〉 0 s = 1 μ̂ ∣ s vs = 0 gelijk aan nul. Het overgangs-dipoolmoment 〈vs = 1|μ̂s|vs = 0〉 is dus het product van de dipoolafgeleide en het matrixelement van x̂s, beide afkomstig van de eerste orde term.

Door DFT-berekeningen van waterclusters en het DVR-schema heeft de Skinner-groep de vibratiespectroscopische kaart van de dipoolafgeleide in atomaire eenheden verkregen als volgt [1]:
μ′ s = 0.1646 + 11.39Es + 63.41E2 s (2.18)
Dit wordt consistent gedefinieerd met x0→1 s, geïntroduceerd als dimensionless in vergelijking (2.14). Anders gezegd, het overgangs-dipoolmoment in atomaire eenheden is als volgt gegeven:
〈vs = 1|μ̂s|vs = 0〉 = μ′ sx 0→1 s (2.19)

Hoewel vergelijkingen (2.14), (2.17) en (2.19) ons in staat stellen de intermoleculaire koppeling constante direct te verkrijgen, moeten we aandacht besteden aan de eenheden. Bij de conversie van γss′ naar de dimensie van golflengte, behandelen we de grootheden μ′ s en rss′ als dimensionless om de volgende vergelijking te verkrijgen:
γ̃ss′ = us · us′ − 3(us · nss′)(us′ · nss′) r3 μ′ sx 0→1 s μ′ s′x 0→1 s′ Ehh −1c−1 ss′ = us · us′ − 3(us · nss′)(us′ · nss′) μ′ r3 sx 0→1 s μ′ s′x 0→1 s′ × 219475 cm−1 (2.20)
Hierbij is γ̃ss′ de intermoleculaire koppeling constante in de dimensie van golflengte.

In hun uitgebreide studie concludeerde de Skinner-groep dat het overgangs-dipoolmoment op een afstand van 0.67 Å van het O-atoom langs de OH-bindingslijn in TIP4P moet worden geplaatst [1]. Dit is omdat de afstand rss′, op basis van deze intramoleculaire positie van het overgangs-dipoolmoment, de koppeling constante γ̃ss′ oplevert die het DFT-resultaat van waterclusters het beste reproduceert. Merk op dat rss′ in atomaire eenheden moet worden berekend, hoewel de positie van het overgangs-dipoolmoment wordt gedefinieerd met behulp van Å.

Figuur 2.5 toont de afhankelijkheid van de overgangsdipoolmomenten en de intermoleculaire koppeling constanten van de waterdimeren in relatie tot de H· · ·O-afstand. Terwijl het overgangsdipoolmoment van de OH-stretch s wordt uitgedrukt in vergelijking (2.19), is het noodzakelijk om ea0 te vermenigvuldigen bij de conversie naar SI-eenheden. Het onderste paneel van figuur 2.5 laat zien dat het overgangsdipoolmoment van de donor-OH-stretch specifiek wordt versterkt door de waterstofbrugvorming, een verschijnsel dat bekend staat als de zogenaamde niet-Condon-effecten [16]. Dit is grotendeels te wijten aan de versterking van de dipoolafgeleide, uitgedrukt in vergelijking (2.18). De intermoleculaire vibratie-koppeling tussen de donor-OH-stretch en de OH-stretch van het acceptormolecuul wordt ook versterkt naarmate de H· · ·O-afstand afneemt, zoals te zien is in het bovenste paneel van figuur 2.5. De teken van de intermoleculaire koppeling constante hangt af van de relatieve oriëntatie van de twee OH-bonden. Voor water in de gecondenseerde fasen heeft de versterkte intermoleculaire vibratie-koppeling de neiging om een negatieve constante te hebben vanwege de karakteristieke waterstofbrugstructuur. In tegenstelling tot dit heeft de intermoleculaire vibratie-koppeling met verwaarloosbare versterking vaak een positieve constante, zoals te zien is in het bovenste paneel van figuur 2.5.

Het is ook belangrijk om te realiseren dat anharmonische vibratie-koppeling tussen vibratie-gestimuleerde toestanden van fundamenteel (v = 1) en overtone (v′ = 2) specifiek wordt aangeduid als Fermi-resonantie [17]. Dit is vooral belangrijk voor water in gecondenseerde fasen, aangezien de waterstofbrugvorming zorgt voor de rode en blauwe verschuivingen van de OH-stretch en de HOH-buiging, respectievelijk, om de energie mismatch tussen de stretch-fundamenteel en de buiging-overtone efficiënt te verminderen. Dit kan eenvoudig worden begrepen door de bovenste panelen van figuren 2.1 en 2.2 te vergelijken. Op dit moment bestaat er geen vibratiespectroscopische kaart van de Fermi-resonantie-koppeling constante tussen de stretch-fundamenteel en de buiging-overtone van water die het omgevings-effect in acht neemt. In plaats daarvan rapporteerde de Skinner-groep dat de Fermi-resonantie-koppeling constante die overeenkomt met 25 cm−1 heel goed het experimentele Raman-spectrum van vloeibaar water kan reproduceren, waarbij de Fermi-resonantie een aanzienlijke invloed heeft op de bandvorm [2]. We volgen hun studie en introduceren γ̃FR, vastgelegd op deze waarde (onafhankelijk van de omgevingsfactoren) als volgt:

γ̃FR ≡ γFR = 25 cm−1 (2.21)

Let op, deze γ̃FR is van intramoleculaire aard, zoals aangegeven in vergelijking (2.1).

Bij het beschouwen van de intermoleculaire koppeling moet men begrijpen dat het berekenen van de koppeling constanten niet alleen afhangt van de basisvergelijkingen, maar ook van de interacties die de waterstofbruggen en de moleculaire oriëntaties beïnvloeden. Het correct omgaan met de eenheden en de toepassing van de juiste benaderingen voor de dipoolmomenten en hun afgeleiden, is essentieel voor het verkrijgen van nauwkeurige resultaten.

Wat maakt de spectroscopie van de Amide I band van eiwitten uitdagend en hoe kunnen we deze verbeteren?

De Amide I band in de infraroodspectroscopie van eiwitten is van fundamenteel belang voor het begrijpen van de structuur en dynamica van eiwitten. Deze spectroscopische band is verbonden met de C=O stretch van de peptidebinding in eiwitten en wordt vaak gebruikt om de secundaire structuur van eiwitten te karakteriseren. In het bijzonder vertonen verschillende secundaire structuren van eiwitten, zoals alfa-helixen, bèta-vellen en willekeurige coil, karakteristieke absorpties in het infraroodspectrum op respectieve frequenties van ongeveer 1650, 1632 en 1658 cm−1. Ondanks het belang van deze band, zijn er echter verschillende uitdagingen bij het gebruik van de Amide I band voor eiwitspectroscopie.

Een van de belangrijkste beperkingen van de infraroodspectroscopie voor eiwitten is het gebrek aan duidelijke pieken in de Amide I band. Dit wordt veroorzaakt door de heterogeniteit van de waterstofbrugomgevingen, de verbreding van de vibraties en de absorptie door zijketens van de aminozuren. Dit probleem wordt verder gecompliceerd door de delocalisatie van de vibraties, die de interpretatie van de spectroscopische signalen bemoeilijkt. Om deze problemen te overwinnen, hebben verschillende onderzoeksgroepen de quantum/classical mixed benadering toegepast, die mogelijk in staat is om spectrale signalen in de Amide I regio te ontrafelen en een beter begrip van de eiwitstructuur en -dynamica te bieden.

Een belangrijke bevinding van de Jansen-groep was dat de spectroscopische kaarten ontwikkeld door de Skinner-groep in combinatie met de transition dipole coupling (TDC) en het OPLS-AA krachtveld de beste prestaties leveren voor de infraroodspectroscopie van de Amide I band. Deze kaarten, hoewel ontwikkeld op basis van het GROMOS96 53a6 krachtveld, laten de mogelijkheid zien van de overdraagbaarheid van de Skinner-kaarten tussen verschillende krachtvelden voor biopolymeren. Dit maakt de spectroscopische kaarten aantrekkelijk voor toepassing op een breed scala van eiwitten.

Echter, de kwaliteit van de computationele spectroscopie van de Amide I band voor eiwitten zoals lysozyme, ribonuclease A en concanavalin A is nog steeds inferieur aan de spectroscopische simulaties voor eenvoudige moleculen zoals alcoholen of water, zoals gedemonstreerd in andere secties van dit werk. Er zijn twee hoofdoorzaken voor deze discrepantie. Ten eerste houden de huidige spectroscopische kaarten voor de Amide I band onvoldoende rekening met de intramoleculaire koppeling van vibraties. De Amide I vibratie wordt vaak geassocieerd met de C=O stretch, maar de NH-buiging is in werkelijkheid sterk gekoppeld aan deze vibratie, wat de frequentie en overgangsdipoolmomenten van de Amide I band beïnvloedt. Dit betekent dat de bestaande kaarten de complexiteit van de Amide I band te veel vereenvoudigen en onvoldoende de koppeling tussen de C=O stretch en de NH-buiging modelleren.

Ten tweede kunnen de krachtvelden die worden gebruikt in moleculaire dynamicasimulaties (MD) van biopolymeren de hydratiestructuur niet correct beschrijven, wat de nauwkeurigheid van de vibratiespectra beïnvloedt. Een voorbeeld hiervan is het CHARMM36 krachtveld, dat is geparametriseerd met het TIP3P-watersysteem. Dit model blijkt niet adequaat te zijn voor de beschrijving van waterstofbindingen in biopolymeren, wat leidt tot onbetrouwbare spectroscopische simulaties, zoals blijkt uit de resultaten van de Piskulich-groep. De watermodellen, zoals TIP3P, onderschatten de sterkte van de waterstofbindingen, wat leidt tot verschuivingen van de vibratiefrequenties in de simulaties. Hierdoor wordt de noodzaak benadrukt om de watermodellen te upgraden naar nauwkeurigere systemen zoals TIP4P/2005, die in combinatie met het AMBER ff03w krachtveld betere resultaten zou kunnen opleveren voor de spectroscopie van de Amide I band en andere eiwitvibraties.

Het verbeteren van de spectroscopische kaarten en krachtvelden, met name voor de hydratatiestructuur en de koppelingen tussen vibraties, zal een aanzienlijke verbetering betekenen voor de analyse van de Amide I band in eiwitten. De vooruitgang in deze richting kan bijdragen aan een nauwkeuriger begrip van eiwitstructuren, hun dynamiek, en de interacties met andere moleculen, zoals water. Dit is een cruciaal punt voor verder onderzoek naar de spectroscopie van eiwitten, waar het verbeteren van de simulaties niet alleen de spectrale interpretatie zal verbeteren, maar ook het inzicht in de fundamentele processen die betrokken zijn bij eiwitfuncties.

Hoe wordt de Vibratie-Hamiltoniaan opgebouwd in de Kwantum/Clasieke Gemengde Benadering?

In de kwantum/klassieke gemengde benadering voor de berekening van vibratiespectra van complexe moleculaire systemen, wordt het proces van het opstellen van de vibratie-Hamiltoniaan in twee delen verdeeld. Dit hoofdstuk behandelt het eerste deel: de constructie van de vibratie-Hamiltoniaan. In deze benadering worden de translatie en rotatie van moleculen behandeld via klassieke mechanica, met behulp van klassieke moleculaire dynamica (MD) simulaties. De vibratie van moleculen wordt daarentegen kwantummechanisch behandeld, waarbij de vibratie-Hamiltoniaan bij elke tijdstap langs de MD-trajecten wordt opgebouwd op basis van vibratiespectroscopische kaarten.

Vibratiespectroscopische kaarten zijn verzamelingen van parameters en uitdrukkingen die specifieke informatie bevatten over de vibratietoestand van een molecuul. Het bouwen van de vibratie-Hamiltoniaan begint met het gebruik van deze kaarten, die gedetailleerde informatie verschaffen over de dynamiek van moleculen op het niveau van hun vibraties. De moleculen die in deze benadering worden behandeld, zijn meestal watermoleculen in geconcentreerde fasen, zoals vloeistoffen, kristallen of amorfe vaste stoffen, vanwege hun belangrijke rol in de wetenschappen en de uitgebreide studie die ze ondergaan.

Het doel van het hoofdstuk is om een dieper begrip te krijgen van de manier waarop de vibratie-Hamiltoniaan wordt geconstrueerd door gebruik te maken van deze spectroscopische kaarten. Deze aanpak maakt het mogelijk om vibratiespectra nauwkeuriger te berekenen voor systemen die uit watermoleculen bestaan, maar de technieken kunnen gemakkelijk worden overgedragen naar andere moleculaire systemen.

Een belangrijk uitgangspunt in dit proces is het idee dat de intramoleculaire vibraties van watermoleculen worden geïsoleerd van andere bewegingsvrijheden van het molecuul, zoals translatie en rotatie. Dit maakt het mogelijk om een kwantummechanische Hamiltoniaan op te stellen die specifiek de vibraties in de moleculaire subruimte beschrijft. De benadering is gebaseerd op de tweede kwantisatie, wat betekent dat de vibratie-energieën van het systeem worden uitgedrukt in termen van operatoren die de kwantummechanische eigenschappen van de vibraties representeren.

Het tweede-kwantisatievorm van de vibratie-Hamiltoniaan H kan als volgt worden uitgedrukt:

H=∑s=12N(ωsa^s†a^s+12ωba^b†a^b+γbsa^s†a^s′)H = \sum_{s=1}^{2N} \left( \omega_s \hat{a}_s^\dagger \hat{a}_s + \frac{1}{2} \omega_b \hat{a}_b^\dagger \hat{a}_b + \gamma_{bs} \hat{a}_s^\dagger \hat{a}_{s'} \right)

waarbij a^s\hat{a}_s en a^s†\hat{a}_s^\dagger de annihilatie- en creatieoperatoren zijn die de kwantummechanische toestand van de vibraties representeren. ωs\omega_s is de frequentie van de vibratie, en de termen die samenhangen met de interactie tussen verschillende vibraties zijn vertegenwoordigd door γbs\gamma_{bs}.

Bij de constructie van de Hamiltoniaan wordt aangenomen dat de vibratiebewegingen van watermoleculen in de gecondenseerde fasen los van andere bewegingen worden behandeld. Het is belangrijk te begrijpen dat deze benadering niet alleen van toepassing is op watermoleculen, maar ook voor andere moleculaire systemen kan worden toegepast, zolang de specifieke vibraties en hun interacties goed in kaart zijn gebracht.

Naast het begrijpen van de fundamentele principes van de tweede-kwantisatie en de opbouw van de Hamiltoniaan, is het van belang dat de lezer beseft dat de resultaten van dergelijke berekeningen sterk afhankelijk zijn van de nauwkeurigheid van de vibratiespectroscopische kaarten die worden gebruikt. Het proces van het verkrijgen van deze kaarten vereist gedetailleerde simulaties en een goed begrip van de interacties tussen de moleculen in het systeem. Omdat deze kaarten gebaseerd zijn op theoretische modellen, kunnen kleine variaties in de gebruikte parameters grote effecten hebben op de uiteindelijke resultaten.

Een ander essentieel aspect van deze benadering is de nauwkeurigheid van de MD-simulaties. De klassieke behandelingen van translatie en rotatie zijn gebaseerd op de veronderstelling dat de klassieke dynamica de bewegingen op langere tijdschalen goed kan beschrijven, maar de kwantummechanische effecten die de vibraties bepalen, worden pas correct beschreven door de tweede-kwantisatie. Dit maakt het noodzakelijk om de klassieke en kwantummechanische benaderingen zorgvuldig te combineren om tot betrouwbare spectroscopische voorspellingen te komen.

Het is ook van belang om te realiseren dat de vibratiespectroscopische kaart die wordt gebruikt voor de bouw van de Hamiltoniaan niet alleen beschrijft hoe de moleculen zich bewegen, maar ook inzicht biedt in de manier waarop de moleculen interactie hebben met externe invloeden zoals elektrische velden. Deze interacties kunnen de vibratietoestanden van het molecuul beïnvloeden en leiden tot verschuivingen in de spectroscopische signalen, wat essentieel is voor een goed begrip van de spectroscopie van water in verschillende fasen.

Hoe bouwt een stad aan veiligheid en verantwoordelijkheid tegelijk?
Wie was de Krabvrouw echt?
Hoe MEMS-fabricageprocessen de prestaties en betrouwbaarheid beïnvloeden: Etching, Micromachining en de Toepassingen
Wat is de rol van fractale differentiaalvergelijkingen in wetenschappelijke modellen?