De creep-compliance J(t) kan worden berekend uit de relaxatiemodulus G(s) door middel van de inverse Laplace-transformatie. Een voorbeeld hiervan is de creep-compliance van het Kelvin-Voigt-model en het Maxwell-model, waarbij de formules respectievelijk zijn J(t) = [1 − exp(−Et/h)]/E en J(t) = t/η + 1/E. De relatie tussen de relaxatiemodulus en de creep-compliance kan worden uitgedrukt als volgt (Zhang, 1994):

1J(s)G(s)=∫0t∫0tJ(t−τ)G(τ)dτ=tofG(t−τ)J(τ)dτ=t.\frac{1}{J(s) G(s)} = \int_{0}^{t} \int_{0}^{t} J(t-\tau) G(\tau) d\tau = t \quad \text{of} \quad G(t-\tau) J(\tau) d\tau = t.

Op basis van het Boltzmann-superpositiebeginsel kan de integrale vorm van de constitutiewet voor visco-elastische materialen worden opgesteld. Stel dat de strain-respons ε₁(t) is wanneer stress σ₁ op een visco-elastisch materiaal alleen wordt toegepast. Evenzo, stel dat de strain-respons ε₂(t) is wanneer stress σ₂ op hetzelfde materiaal wordt toegepast. Het Boltzmann-superpositiebeginsel stelt dat, wanneer de gecombineerde stress σ₁ + σ₂ op hetzelfde materiaal wordt toegepast, de strain-respons ε₁(t) + ε₂(t) zal zijn. Dit beginsel is een lineaire superpositie die de interactie tussen de twee spanningen en de niet-lineaire termen van hogere orde verwaarloost. Het komt goed overeen met het gedrag van veel niet-degraderende visco-elastische materialen (Drozdov, 1998) en vergemakkelijkt de theoretische analyse.

Wanneer stress σ(t) wordt toegepast op een visco-elastisch materiaal, kan dit worden opgevat als een opeenstapeling van herhaalde stressapplicaties, waarbij de strain-respons de superpositie is van de verschillende stressapplicaties. Bijv. als stress σᵢ wordt toegepast op tijdstip τᵢ, dan is de strain-respons door deze stress J(t − τᵢ) σᵢ voor t > τᵢ. Volgens het Boltzmann-superpositiebeginsel is de totale strain-respons tijdens het gehele stressladen:

∑i=1nε(t)=J(t)σ0+J(t−τi)σi.\sum_{i=1}^{n} \varepsilon(t) = J(t) \sigma_0 + J(t − \tau_i) \sigma_i.

Door de limiet n → ∞ in te voeren, verkrijgen we de integrale vorm van de visco-elastische constitutiewet in termen van de creep-compliance J(t):

∫0tε(t)=J(t)σ0+∫0tJ(t−τ)dσ(τ).\int_0^t \varepsilon(t) = J(t) \sigma_0 + \int_0^t J(t−\tau) d\sigma(\tau).

De integrale term in deze vergelijking geeft het geheugeneffect weer in de stress-strainrelatie van visco-elastische materialen, wat betekent dat de totale strain gerelateerd is aan de geschiedenis van het stressproces. Bij integreren per deel krijgen we de equivalente vorm van de constitutiewet:

∫0tε(t)=J(0)σ(t)−ddt∫0tJ(t−τ)σ(τ)dτ.\int_0^t \varepsilon(t) = J(0) \sigma(t) - \frac{d}{dt} \int_0^t J(t−\tau) \sigma(\tau) d\tau.

Op een vergelijkbare manier, wanneer het strainproces ε(t) is onder belasting, kan de integrale vorm van de constitutiewet voor visco-elastische materialen worden opgesteld in termen van de relaxatiemodulus G(t):

∫0tσ(t)=G(t)ε0+∫0tG(t−τ)dε(τ).\int_0^t \sigma(t) = G(t) \varepsilon_0 + \int_0^t G(t−\tau) d\varepsilon(\tau).

Evenzo, door de afgeleide in de tijd toe te passen, krijgen we de relaxatiemodulus als:

σ(t)=ddτ[G(t−τ)](G(0)ε(t)−ε(τ)).\sigma(t) = \frac{d}{d\tau} \left[G(t − \tau)\right] (G(0) \varepsilon(t) − \varepsilon(\tau)).

De integrale vormen van de vergelijkingen tonen aan dat zowel de creep-compliance J(t) als de relaxatiemodulus G(t) essentiële functies zijn voor het beschrijven van visco-elastisch gedrag. In praktische toepassingen moeten beide functies gespecificeerd worden om de constitutiewetten correct toe te passen.

Drozdov (1998) stelde voor dat de relaxatiemodulus van elk niet-degraderend visco-elastisch materiaal benaderd kan worden door een som van meerdere Maxwell-modellen:

∑i=1MG(t)=βiexp⁡(−tλi),\sum_{i=1}^M G(t) = \beta_i \exp\left(-\frac{t}{\lambda_i}\right),

waarbij λᵢ de relaxatietijd is van de i-de visco-elastische component. Dit model biedt een handige benadering voor de meeste visco-elastische materialen, waarbij elk component wordt gekarakteriseerd door zijn eigen relaxatietijd.

Naast de klassieke modellen, zoals Kelvin-Voigt en Maxwell, kan de stress-strain relatie van visco-elastische materialen ook in termen van fractionele afgeleiden worden uitgedrukt, wat leidt tot de zogenaamde "fractionele constitutiewetten". Deze benadering is bijzonder nuttig voor materialen die tussen de eigenschappen van lineaire elastische en viscose materialen liggen. Bagley en Torvik (1983) toonden aan dat de relaxatie- en creepfenomenen van veel hoge-moleculaire verbindingen kunnen worden beschreven met fractionele afgeleiden, zoals:

σ(t)=ηdβε(t)dtβ,\sigma(t) = \eta \frac{d^\beta \varepsilon(t)}{dt^\beta},

waarbij 0 ≤ β ≤ 1 en η een constante is. Dit fenomeen wordt beschreven door het Abel-gluepotmodel, waarbij de creep-compliance en de relaxatiemodulus respectievelijk als J(t) = tᵇ / η(1+β) en G(t) = t^−β / η(1−β) worden uitgedrukt.

Fractionele componentmodellen kunnen nadelen van de klassieke modellen verhelpen, vooral wanneer klassieke modellen de visco-elastische eigenschappen van bepaalde materialen niet goed kunnen simuleren. Bovendien bieden fractionele componentmodellen het voordeel van minder componenten en parameters. Hierdoor kunnen complexe visco-elastische gedragingen eenvoudiger worden gemodelleerd met fractionele afgeleiden, wat de berekeningen vereenvoudigt.

In de praktijk moeten ingenieurs en wetenschappers begrijpen dat zowel creep-compliance als relaxatiemodulus cruciaal zijn voor het voorspellen van het visco-elastisch gedrag van materialen. De keuze tussen traditionele modellen (zoals Kelvin-Voigt en Maxwell) en fractionele afgeleide modellen hangt af van de specifieke eigenschappen van het onderzochte materiaal en de complexiteit van de benodigde simulatie. Het gebruik van fractionele calculus biedt extra flexibiliteit en precisie in het modelleren van visco-elastisch gedrag, vooral bij materialen die niet gemakkelijk passen in klassieke modellen.

Wat is het stationaire antwoord van een 2-DOF vibratie-impact systeem onder stochastische invloeden?

De dynamica van een 2-DOF (degree-of-freedom) systeem dat onderhevig is aan vibraties en impact is een complex proces, vooral wanneer de excitatie en de demping niet constant zijn, maar stochastische fluctuaties vertonen. Het begrijpen van de stationaire respons van een dergelijk systeem is essentieel voor het voorspellen van de lange termijn gedrag en voor het ontwerp van systemen die onder dergelijke omstandigheden opereren.

Bij het analyseren van het gedrag van een 2-DOF systeem wordt vaak gebruik gemaakt van de concepten van Hamiltoniaanse systemen, waarbij de energie van het systeem wordt beschreven door een Hamiltoniaan. In dit geval wordt het systeem gepresenteerd als een quasi-Hamiltoniaans systeem, waarvan de dynamica kan worden beschreven door de gewogen gemiddelde Itô stochastische differentiaalvergelijkingen. Dit type model is handig om te begrijpen hoe fluctuaties in de kracht en demping invloed hebben op de lange termijn respons van het systeem.

De beschrijving begint met de algemene vergelijking van het systeem, waarin de massa's, dempingscoëfficiënten en stijfheden samenkomen in een dynamisch evenwichtsmodel dat via de transformatie van de coördinaten wordt omgezet naar een vereenvoudigde vorm. De toepassing van de Itô-regel leidt tot een gedetailleerde vorm van stochastische vergelijkingen voor de energie van het systeem, die verder kan worden geanalyseerd om de stationaire respons te verkrijgen.

Het uiteindelijke resultaat van deze analyse geeft de stationaire kansdichtheidsfunctie (PDF) van de verplaatsingen en snelheden van de massa's, die kan worden afgeleid van een stochastische benadering. Deze kansdichtheidsfunctie, die de lange termijn distributie van de systeemparameters beschrijft, is cruciaal voor het voorspellen van de prestaties van het systeem onder realistische omstandigheden.

Een belangrijk aspect van de stochastische benadering is het verschil tussen "quasi-verbonden" en "quasi-niet-verbonden" Hamiltoniaanse systemen. Bij de analyse van het stationaire antwoord wordt het effect van sterke impact (bijvoorbeeld grote stijfheden van de elastische muren en intense excitaties) vergeleken met het effect van zwakke impact. Wanneer de impact sterk is, blijkt de stochastische benadering van quasi-niet-verbonden systemen nauwkeuriger te zijn. Daarentegen, wanneer de impact zwak is, biedt de stochastische benadering van quasi-verbonden systemen een betere benadering.

De stochastische gemiddelden en de bijbehorende Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) vergelijkingen die voortkomen uit deze analyse geven inzicht in hoe de systeemparameters zich ontwikkelen op lange termijn. Door de marginaal stationaire kansdichtheidsfunctie van de verplaatsing en snelheid van de massa's te verkrijgen, kunnen we de dynamica van het systeem volledig begrijpen, zelfs in gevallen waarin de excitaties fluctuerend zijn en de dempingscoëfficiënten klein zijn.

Het gebruik van Monte Carlo-simulaties naast de analytische methoden biedt een praktische manier om de validiteit van de theoretische resultaten te controleren en biedt een hulpmiddel voor de praktische toepassing van deze theorie in engineering en fysica.

Hoewel deze methoden van stochastisch gemiddelden en Fokker-Planck-kansdichtheden zeer nuttig zijn voor het verkrijgen van stationaire oplossingen, moeten ontwerpers en ingenieurs zich bewust zijn van de beperkingen van de benaderingen. In gevallen van middelmatige impact kan geen van beide methoden perfect zijn, en er kunnen aanzienlijke afwijkingen zijn. Het is dus belangrijk om een goed begrip te hebben van de verschillende impactsterkten en de invloed van verschillende systeemparameters bij het selecteren van de juiste analysemethode.

Er moet ook opgemerkt worden dat de keuze van de benadering afhankelijk is van de specifieke systeemconfiguratie. Bijvoorbeeld, in systemen waar de afstand tussen de massa en de muur groot is of waar de kracht van de excitatie laag is, zal de benadering van het quasi-integrable Hamiltonian-systeem meer accuraat zijn. Dit benadrukt de noodzaak om de specifieke kenmerken van het systeem in overweging te nemen bij het kiezen van de juiste methodologie voor het oplossen van dynamische vraagstukken.

Hoe kan de stochastische gemiddelde methode toegepast worden op quasi-Hamiltoniaanse systemen?

De stochastische gemiddelde methode is een krachtig hulpmiddel in de studie van quasi-Hamiltoniaanse systemen, vooral wanneer deze systemen onderworpen zijn aan kleine verstoringen. In dit geval is de hoofdvraag hoe we de evolutionaire vergelijkingen van zulke systemen kunnen vereenvoudigen om de dynamiek beter te begrijpen, vooral wanneer de Hamiltoniaan sterk fluctueert over een lange tijdschaal. Dit vereist gebruik van stochastische benaderingen en het verminderen van de complexiteit van de oorspronkelijke niet-integrabele systemen.

Bij de toepassing van de Taylor-expansie op de Hamiltoniaan H(Q,P+γ^l)−H(Q,P)H(Q, P + \hat{\gamma}_l) - H(Q, P), wordt het verschil in termen van hogere-orde afgeleiden van de Hamiltoniaan uitgedrukt. Dit leidt tot de vorm van een stochastisch model, waarin de dynamica van de systemen kan worden gemodelleerd door een tijdsgemiddelde benadering. Wanneer de verstoring van het systeem klein is (met parameter ϵ\epsilon), kunnen de effecten van deze kleine verstoringen worden geanalyseerd door de relevante termen in de tijdsafgeleiden te isoleren en te beoordelen op basis van hun orde in ϵ\epsilon. Dit leidt uiteindelijk tot een truncatie van de stochastische differentiaalvergelijkingen (SDE’s).

Een van de belangrijkste bevindingen is dat de geaverageerde Hamiltoniaan in deze context een zwak convergerend proces wordt naarmate ϵ→0\epsilon \to 0, en dus kan het worden benaderd door een Markovproces met één dimensie. De tijdsafhankelijke stochastische vergelijking (SIDE) van de Hamiltoniaan kan dus worden verkregen door tijdgemiddelde evaluaties toe te passen op de oorspronkelijke vergelijking van het systeem. Dit maakt het mogelijk om de gedragingen van het systeem te begrijpen zonder dat elke snelle variabele in de oorspronkelijke vergelijking expliciet moet worden berekend.

De gemiddelde SDE kan in een gesloten vorm worden geschreven door termen van hogere orde in ϵ\epsilon te negeren. Dit maakt het model eenvoudiger en stelt ons in staat de fundamentele dynamica van het systeem in een vereenvoudigde vorm te beschrijven, die de stochastische invloed van snelle processen bevat. In de praktijk wordt vaak een benadering met een truncatie van orde ϵ4\epsilon^4 gebruikt om tot een werkbare oplossing te komen, waardoor de SDE’s eenvoudiger en meer praktisch uitvoerbaar worden. Het gebruik van de stochastische aanpak maakt het mogelijk om het gedrag van quasi-Hamiltoniaanse systemen te modelleren zonder volledig in te boeten op de fysische inzichten die uit de originele, ontrilbare systemen kunnen worden getrokken.

Een essentieel punt om te begrijpen is dat de SDE’s die uit deze stochastische benadering voortkomen, moeten worden opgelost door gebruik te maken van technieken zoals perturbatiemethoden en benaderingen van stationaire oplossingen, waarbij de overgangs-PDF van de Hamiltoniaan in een stationaire toestand kan worden berekend. De stochastische benadering maakt het mogelijk om deze PDF’s te bepalen zonder expliciete oplossingen van het volledige systeem te vereisen, wat bijzonder nuttig is voor systemen met veel variabelen en hoge dimensies.

Belangrijk is ook te begrijpen dat, in een praktische setting, de coëfficiënten die uit de afgeleiden van de Hamiltoniaan voortkomen, snel afnemen naarmate de orde van ϵ\epsilon toeneemt. Dit betekent dat de hogere orde termen vaak kunnen worden verwaarloosd, en het is meestal voldoende om de termen tot de orde ϵ4\epsilon^4 te beschouwen om een bruikbare oplossing te krijgen voor de meeste toepassingen. Dit leidt tot een krachtigere en efficiëntere benadering van het dynamisch gedrag van quasi-Hamiltoniaanse systemen, zelfs in complexere en meer gedetailleerde gevallen.

Verder moet de oplossing van de afgeleide FPK-vergelijking voor stationaire toestanden vaak worden uitgevoerd door gebruik te maken van serie-uitdrukkingen en verschillende benaderingen van de normale verdeling. Dit biedt een pragmatische aanpak voor het verkrijgen van een stationaire oplossing voor complexe systemen zonder dat het gehele systeem in detail moet worden opgelost.

Hoe het kapitalisme de samenleving verdeelt: De impact van de neoliberale politiek
Hoe beïnvloedt de bescherming van microgrids de veiligheid en effectiviteit van een elektriciteitsnetwerk?
Hoe Verbetert het SSGCC-model de Clustering van Hyperspectrale Beelden?
Hoe kies je de juiste statistische test bij categorische of cardinale afhankelijke variabelen?
Welke rol speelt Cornwall in de werken van beroemde auteurs en hoe beïnvloedt de natuur hun creaties?
Wat zijn de uitdagingen en mogelijkheden voor de ontwikkeling van brandstofcel- en waterstoftanksystemen voor massatransporttoepassingen?