Hoe Frequenties en Modusvormen van Boogbruggen te Herstellen via Scanmethoden van Voertuigen

De monitoring van de gezondheid van bruggen is essentieel voor het waarborgen van de veiligheid en integriteit van infrastructuren die van cruciaal belang zijn voor transport en de regionale economie. Het identificeren van structurele schade aan bruggen, veroorzaakt door veroudering, overbelasting of natuurlijke rampen, is van groot belang. Traditioneel werd dit bereikt door het installeren van sensoren op de brug zelf, wat echter kostbaar en omslachtig is. In plaats daarvan heeft de voertuigen-scanningmethode (VSM) zich bewezen als een efficiënte en kosteneffectieve oplossing voor het monitoren van bruggen zonder sensoren op de brug zelf.

De VSM is gebaseerd op het gebruik van dynamische responsen van een rijdend testvoertuig om de frequenties van een brug te extraheren. Het principe van deze methode werd voor het eerst geïntroduceerd door Yang et al. (2004a) en heeft sindsdien wereldwijd veel belangstelling van onderzoekers en ingenieurs getrokken. Wat de VSM aantrekkelijk maakt, is dat het slechts een klein aantal sensoren op het voertuig vereist, waardoor het goedkoper en gemakkelijker toepasbaar is voor de grote hoeveelheid korte en middelgrote bruggen. Dit in tegenstelling tot de directe benadering, waarbij dure en complexe installaties van sensoren op de brug zelf nodig zijn.

Bij het identificeren van de modeparameters van een brug, zoals de brugfrequenties en modusvormen, kunnen verschillende technieken worden toegepast. In dit kader wordt vaak gebruik gemaakt van geavanceerde signaalverwerkingsmethoden zoals de VMD (Variational Mode Decomposition) en de SWT (Stationary Wavelet Transform). Deze technieken helpen bij het verwerken van de verzamelde responsen van het testvoertuig, zoals de verticale en radiale contactresponsen, om de brugfrequenties en modusvormen te herstellen.

De uitdaging bij het gebruik van VSM is dat de frequenties van het voertuig vaak als duidelijke pieken verschijnen in het spectrogram van de voertuigrespons, vooral als de brug zich op een ruw wegdek bevindt. Dit kan de brugfrequenties maskeren, wat het moeilijk maakt om ze correct te identificeren. Om dit probleem te verhelpen, worden diverse technieken zoals de deeltjesfiltermethode, het gebruik van voertuig- en brugcontactresponsen, en de Kalman-filtermethode gebruikt om de voertuigfrequenties te verwijderen en de brugfrequenties te extraheren. Door gebruik te maken van contactresponsen in plaats van voertuigresponsen, kunnen onderzoekers de storende voertuigfrequenties effectief verwijderen uit de discrete gegevens die door het testvoertuig zijn verzameld.

Daarnaast speelt de keuze van het testvoertuig en de hardware een cruciale rol. In de vroege fasen van VSM werd vaak een testvoertuig met één as gebruikt, wat werd gemodelleerd als een enkel-DOF-systeem, specifiek gericht op de verticale beweging van het voertuig. Deze benadering was voldoende toen de focus lag op het analyseren van de verticale beweging van zowel het voertuig als de brug. Echter, moderne toepassingen vereisen een uitgebreider model van het testvoertuig, dat rekening houdt met meerdere vrijheidsgraden, zoals de verticale, rotsende en laterale (radiale) verplaatsingen van het voertuig. Het gebruik van geavanceerde voertuigen met meerdere assen kan nauwkeurigere resultaten opleveren bij het herstellen van brugfrequenties en modusvormen, vooral in complexe situaties met boogbruggen.

De recente benaderingen maken gebruik van deze geavanceerde methoden voor het herstel van zowel de verticale als de radiale modus van een boogbrug, wat cruciaal is voor het begrijpen van de dynamische respons van dergelijke bruggen. De resultaten van numerieke analyses hebben aangetoond dat de voorgestelde gecombineerde VMD-SWT-techniek effectief is voor het extraheren van brugfrequenties en het herstellen van modusvormen, zelfs bij de aanwezigheid van verschillende verstoringen, zoals oneffenheden op het wegdek of andere omgevingsfactoren.

Deze technologieën bieden een robuuste manier om de structurele gezondheid van bruggen te monitoren zonder de noodzaak van dure en ingrijpende sensoreninstallaties op de bruggen zelf. In plaats daarvan kan met een relatief eenvoudig, mobiel testvoertuig en geavanceerde signaalverwerking de gezondheid van een brug efficiënt worden beoordeeld. Dit maakt de VSM bijzonder geschikt voor het monitoren van de grote aantallen kortere en middelgrote bruggen, die vaak niet de middelen hebben voor de dure en ingrijpende directe methoden.

De sleutel tot het succes van VSM ligt echter in de combinatie van zowel hardware als software. De hardware moet in staat zijn om nauwkeurige trillingssignalen te verzamelen, terwijl de software de nodige signalen correct verwerkt om de brugfrequenties en modusvormen te herstellen. Door deze geavanceerde technieken kunnen we de dynamische eigenschappen van bruggen beter begrijpen en effectievere maatregelen nemen voor het onderhoud en de veiligheid van deze vitale infrastructuren.

Hoe beïnvloedt de beweging van een voertuig de vibratie van een gebogen balk in een brug?

De interactie tussen een rijdend voertuig en een gebogen balk van een brug leidt tot complexe trillingen die zowel in de verticale als torsionele richtingen kunnen optreden. Bij een testvoertuig waarvan het massa-centrum zich bevindt op het middelpunt van de stijve as, en waarbij de afstand tussen de wielen wordt aangeduid als $d$, wordt de dynamiek van de gebogen balk beschreven door de verticale en torsionale bewegingsvergelijkingen. Deze vergelijkingen kunnen wiskundig worden uitgedrukt zoals:

waarbij $m$ de massa per eenheid lengte van de balk is, $E$ en $G$ de elasticiteitsmoduli zijn, $I_z$ het traagheidsmoment rond de $z$-as is, en $J$ de torsiekracht is. De verticale verplaatsing $u_v$ en torsionale rotatie $\theta$ beschrijven respectievelijk de verticale en torsionale bewegingen van de balk. De Dirac-deltafunctie, aangeduid met $\delta$, speelt een belangrijke rol bij het modelleren van de contactkrachten die het voertuig uitoefent op de brug. Bij de afwezigheid van noemenswaardige inertiële effecten van het voertuig zelf ten opzichte van de brug, kan de invloed van de voertuigmassa op de brugbeweging verwaarloosd worden.

De contactkrachten $F_{cs}(t)$ en het contactmoment $T_c(t)$, die de interactie van de wielen van het voertuig met de brug simuleren, worden uitgedrukt als:

waarbij $e_{cl}$ en $e_{cr}$ de excentriciteit van de krachten ten opzichte van de hoofdas van de brug aanduiden, en $g$ de gravitatieversnelling is. De verticaal gemeten verplaatsing van de balk kan worden gemodelleerd als een som van verschillende modaliteitsexpressies, die gebaseerd zijn op de specifieke eigenfrequenties van de balk.

In situaties waar de randvoorwaarden van de balk simpelweg ondersteund zijn, kan de verticale verplaatsing worden beschreven door een modale superpositie van de verschillende frequenties:

waarbij $q_{v,n}(t)$ de genormaliseerde coördinaten zijn voor de $n$-de mode van de balk, en $L$ de lengte van de balk. Door rekening te houden met de grensvoorwaarden en de koppeling tussen de verticale en torsionale reacties van de gebogen balk, kan de hoeksvervorming $\theta$ worden beschreven als een modale functie van de verplaatsingen:

Met behulp van deze uitdrukkingen kunnen de bewegingsvergelijkingen van de gebogen balk verder worden geanalyseerd. Door de koppeling tussen de verschillende modaliteiten van de balkbeweging, resulteren de bewegingsequaties in een systeem van tweede orde differentiaalvergelijkingen die de verticale en torsionale verplaatsingen van de balk beschrijven.

De dynamische responsen van de gebogen balk kunnen worden beschreven door middel van een combinatie van homogene en bijzondere oplossingen. De homogene oplossing beschrijft de vrije vibratie van de balk, terwijl de bijzondere oplossing de reactie van de balk op de externe belasting van het rijdende voertuig weergeeft. Door het oplossen van dit systeem kunnen de modaliteiten en frequenties van de vibraties van de brug worden bepaald, die van cruciaal belang zijn voor het begrijpen van de structurele reactie van de brug op bewegende voertuigen.

Voor de toepassing in de praktijk is het belangrijk te realiseren dat de frequenties van de gebogen balk sterk afhankelijk zijn van de geometrie en de materiaaleigenschappen van de brug. Ook spelen de snelheid van het voertuig en de manier waarop de wielen de krachten overdragen naar de brug een belangrijke rol in het dynamisch gedrag van de structuur. De resonantie van de brug kan optreden wanneer de frequentie van de voertuiginvloed dicht bij een van de eigenfrequenties van de brug komt. Dit kan leiden tot aanzienlijke trillingen die de veiligheid van de brug kunnen beïnvloeden.

Het is daarnaast van belang dat de krachten die door het voertuig op de brug worden uitgeoefend niet alleen afhankelijk zijn van de massa van het voertuig, maar ook van de specifieke eigenschappen van de interactie tussen de wielen en de brug. Dit omvat zaken zoals de excentriciteit van de contactpunten en de wijze waarop de krachten over de lengte van de balk worden verdeeld. Het begrijpen van deze aspecten is essentieel voor het ontwerp en de beoordeling van bruggen die intensief worden gebruikt door rijdend verkeer.

Hoe beïnvloeden voertuig snelheid en wegdekoneffenheden het herstel van modale vormen van gebogen bruggen met VMD-SWT?

De nauwkeurigheid van het terugwinnen van modale vormen van gebogen bruggen met de VMD-SWT-techniek wordt sterk beïnvloed door de snelheid van het passerende voertuig. Uit de onderzochte snelheden van 5, 10 en 15 m/s (18, 36 en 54 km/h) blijkt dat de methode robuust is en goede overeenstemming vertoont met analytische modale vormen, ondanks enkele kleine afwijkingen nabij de bruguiteinden. Deze afwijkingen ontstaan door grens-effecten die inherent zijn aan de meetmethode en het model. Naarmate de snelheid toeneemt, splitst elke frequentie zich in twee, verschoven met een factor n𝜋v/L. Dit fenomeen bemoeilijkt de identificatie van brugfrequenties aanzienlijk. Daarom wordt aanbevolen om extreem hoge voertuigsnelheden te vermijden om zowel de precisie van de frequentie-identificatie te waarborgen als voldoende data te verzamelen.

Naast voertuigsnelheid speelt wegdekoneffenheid een cruciale rol in de praktische toepassing van voertuiggedragen sensortechnieken (VSM) voor brugdiagnose. De vibraties van het voertuig worden sterk beïnvloed door het wegdekprofiel, wat het onderscheiden van brugmodale eigenschappen kan bemoeilijken. Het wegdekprofiel, gegenereerd volgens de PSD-functie van ISO 8608 (klasse A), induceert verticale vibraties die vergelijkbare frequenties kunnen vertonen als de brugresonanties. Diverse methoden zijn ontwikkeld om deze interferentie te reduceren, waaronder filtertechnieken, analyse van residuele contactresponsen, en het gebruik van extra trillingsopwekkers. Een pragmatische en effectieve aanpak is het inzetten van willekeurige verkeersstromen. Deze extra voertuigen veroorzaken een natuurlijke excitatie van de brug, die de dominantie van wegdekvibraties relativeert en de betrouwbaarheid van modale identificatie verhoogt.

De effecten van wegdekoneffenheid in combinatie met willekeurige verkeersstromen laten zien dat de eerste verticale en de radiale modale vormen nog steeds nauwkeurig kunnen worden gereconstrueerd, terwijl de tweede verticale modale vorm gevoeliger is voor verstoringen. Dit impliceert dat de VMD-SWT techniek weliswaar geschikt is voor gebruik in realistische omstandigheden, maar dat er beperkingen bestaan in de identificatie van bepaalde modale vormen onder complexe belastingcondities.

Het toegepaste voertuigmodel, met drie vrijheidsgraden (verticaal, kanteling en laterale verplaatsing), is innovatief doordat het zowel verticale als radiale bewegingen van de brug kan vastleggen. Door een uniforme formule te ontwikkelen voor de radiale contactresponsen, naast de bekende verticale responsen, wordt het aantal detecteerbare frequenties en modale vormen vergroot. Dit model maakt onderscheid tussen de brugfrequenties en de eigenfrequenties van het voertuig, wat een significante verbetering betekent ten opzichte van eerdere methoden die uitsluitend op voertuigresponsen leunden.

Het begrip van de invloed van snelheid en wegdekoneffenheid benadrukt het belang van het afwegen van meetcondities bij het gebruik van voertuiggedragen sensoren. Het vermijden van te hoge snelheden is essentieel om frequentieverschuivingen te beperken, terwijl het simuleren of benutten van natuurlijke verkeersvariaties kan helpen om de signaalkwaliteit te verbeteren en interferentie van wegdekvibraties te verminderen.

Daarnaast dient men rekening te houden met het feit dat het model en de meetmethode gevoelig blijven voor grens- en randeffecten, die kleine afwijkingen kunnen veroorzaken, vooral aan de uiteinden van de brug. Het is cruciaal voor de gebruiker om deze beperkingen te erkennen en aanvullende meetstrategieën of data-analyses toe te passen om de betrouwbaarheid van modale identificaties te vergroten.

Hoe de interactie tussen voertuigen en bruggen te analyseren: een benadering via modal- en contactresponsen

De dynamische interactie tussen voertuigen en bruggen is een complex proces, waarin de respons van beide systemen nauw met elkaar verbonden is. Dit proces kan worden gemodelleerd door gebruik te maken van de bewegingsvergelijkingen van een brug en de reacties van het voertuig. Een specifiek voorbeeld hiervan is de analyse van de verticale verplaatsing van een balkbrug, die wordt beïnvloed door het voertuig dat eroverheen rijdt. De benadering begint met het opstellen van een verticale bewegingsequatie voor de brug, die de effecten van de belasting door het voertuig, de demping en de stijfheid van de brug in rekening brengt.

De beweging van de brug kan worden gemodelleerd door een vergelijking van de verticale beweging van de balk:

waarbij de termen de massa $m$, de demping $c$, de stijfheid $EI$, en de kracht $Fc(t)$ vertegenwoordigen die door het voertuig wordt uitgeoefend. De veronderstelling dat de massa van het voertuig relatief klein is ten opzichte van de brug, maakt het mogelijk de inertiële effecten van het voertuig op de brugresponse te verwaarlozen. Dit vereenvoudigt de theoretische benadering, maar de geldigheid van deze veronderstelling kan later worden gecontroleerd door het gebruik van de Eindige Elementen Methode (FEM), waarin de interactie tussen het voertuig en de brug (VBI) in aanmerking wordt genomen.

De krachten die door de twee assen van het voertuig worden uitgeoefend, kunnen als volgt worden uitgedrukt:

waarbij $pj$ de belasting van de voor- en achteras is, en $𝛿$ en $H$ respectievelijk de Dirac-delta en een eenheidsstapfunctie zijn. De snelheid $v$ van het voertuig beïnvloedt de tijdsafhankelijke locatie van de axiale kracht.

De verticale verplaatsing van de brug kan worden uitgedrukt via een modale superpositie van de vormen van de brug, die als volgt wordt beschreven:

waarbij $qb,n(t)$ de $n$-de modale coördinaat is. Deze uitdrukking kan worden ingevoerd in de bewegingsvergelijking van de brug, en door gebruik te maken van de Galerkin-methode kunnen de modale vergelijkingen worden afgeleid.

De oplossingen van deze vergelijkingen leveren de uiteindelijke verticaal verplaatsing $u(x, t)$, die kan worden geïnterpreteerd in termen van de verschillende frequenties en dempingsverhoudingen van de brug. De frequenties en dempingsverhoudingen zijn van cruciaal belang voor het karakteriseren van de dynamische eigenschappen van de brug.

Een interessante benadering is het gebruik van de contactresponsen van het voertuig op de brug om de brugmodelparameters te verkrijgen. Het probleem bij het meten van de respons van het voertuig is dat de voertuigfrequenties vaak als opvallende pieken verschijnen, die de brugfrequenties kunnen overschaduwen. Dit probleem kan worden opgelost door de respons van het voertuig te negeren en in plaats daarvan de contactrespons van het voertuig op de brug te gebruiken. De contactverplaatsing $ucj(t)$ wordt berekend door de positie van het voertuig te vervangen door de contactlocatie van de as op de brug. De contactversnellingen kunnen dan worden afgeleid door twee keer differentiatie van de contactverplaatsingen. Dit stelt ons in staat om de frequenties van het voertuig uit te filteren, zodat de brugfrequenties beter kunnen worden geanalyseerd.

Door de contactresponsen van het voertuig te gebruiken, wordt een duidelijker beeld verkregen van de dynamische eigenschappen van de brug, zonder dat de voertuigfrequenties invloed hebben. Dit maakt het mogelijk om de brugmodellen nauwkeuriger te bepalen, wat essentieel is voor het ontwerp en de inspectie van bruggen.

Het gebruik van een tweassig voertuig biedt een goede basis voor het testen van de respons van de brug. In de praktijk kunnen sensoren op het voertuig worden geplaatst om de versnelde respons te meten. Deze sensoren meten de verticale versnellingen van de voertuigdelen boven de voor- en achteras van het voertuig. De uitdaging hierbij is om de contactrespons uit de voertuigresponsen af te leiden, aangezien de voertuigfrequenties een vertekend beeld kunnen geven van de brugfrequenties.

Door het gebruik van de voertuigresponses kan de invloed van de voertuigfrequenties worden verwijderd, wat resulteert in een schoner signaal voor de analyse van de brugfrequenties. De toepassing van dit proces kan de nauwkeurigheid van de inspectie en het onderhoud van bruggen verbeteren, omdat de dynamische eigenschappen van de brug op een betrouwbare manier kunnen worden geëvalueerd.

Er is een belangrijke nuance in het model: de realistische weergave van de voertuigfrequenties is essentieel voor het juiste filteren van deze frequenties. De interactie tussen voertuig en brug, die tijdens het testen kan worden gemeten, moet zorgvuldig worden geanalyseerd om de brugstructuur correct te modelleren. Het succes van deze benadering hangt af van de nauwkeurigheid waarmee de voertuigparameters, zoals de asbelastingen en de ophangingssysteemparameters, worden gemeten en geïmplementeerd in de berekeningen.

Hoe kan de demping van de brug worden geëlimineerd bij het identificeren van modusvormen?

Wanneer een brug onderworpen wordt aan een dynamische belasting van een rijdend voertuig, wordt de respons van de brug beïnvloed door de demping van de constructie zelf. Deze demping vertekent de werkelijke modusvormen van de brug, wat problematisch is wanneer men tracht om de structurele integriteit te beoordelen of modal parameters accuraat terug te winnen. De techniek die hier wordt besproken, biedt een oplossing om deze verstorende dempingseffecten te verwijderen via een genormaliseerde formule, afgeleid uit de contactresponsies van twee testvoertuigen.

In plaats van te vertrouwen op het responsiesignaal van het voertuig zelf — dat vaak wordt gemaskeerd door voertuigfrequenties — wordt de focus gelegd op de contactrespons tussen voertuig en brug. Deze wordt geëxtraheerd met behulp van band-pass filtering (BPF) en vervolgens wordt de onmiddellijke amplitude van de n-de component bepaald via de Hilbert-transformatie. Op deze manier wordt de bijdrage van elke afzonderlijke modale component geanalyseerd voor beide voertuigen, wat de basis vormt voor het corrigeren van de gemeten modusvormen van de brug.

De werkelijke modusvorm wordt verstoord door structurele demping, waardoor directe identificatie onnauwkeurig is. Om dit te corrigeren, wordt een genormaliseerde uitdrukking gebruikt die uitsluitend afhankelijk is van de contactresponsies van twee voertuigen met bekende eigenschappen. Deze formule, weergegeven in vergelijking (10.37), is zo opgebouwd dat het effect van de brugdemping effectief wordt geëlimineerd uit de gereconstrueerde modusvorm. Op deze wijze wordt de zuivere, ongedempte modusvorm teruggewonnen zonder aanvullende correctie achteraf.

Om de geldigheid van deze methode numeriek te verifiëren, wordt gebruikgemaakt van een voertuig–brug–interactie (VBI) elementmodel. De brug wordt gemodelleerd met klassieke balk-elementen, waarbij specifieke segmenten die onder invloed staan van voertuigen worden gerepresenteerd door VBI-elementen (respectievelijk aangeduid als ebm en ebs). Deze VBI-elementen integreren de dynamica van voertuigen — voorgesteld als verende massa’s met demping — direct in de globale structuurformulering. Dit model wordt vervolgens opgelost met behulp van de Newmark-β integratiemethode, waarbij het contactpunt (CP) van het rijdende voertuig in elke tijdsstap wordt bijgewerkt.

De dynamische eigenschappen van de voertuigen en de brug zijn zorgvuldig geselecteerd, met massa’s van respectievelijk 1.400 kg en 1.000 kg, en veringconstanten van 1.500 kN/m. De brug zelf is 30 meter lang met een massa per lengteeenheid van 2.400 kg/m, een E-modulus van 27,5 GPa, en een traagheidsmoment van 0,2 m⁴. De dempingsratio van de brug is laag gehouden (1%) om de invloed op de berekeningen te minimaliseren, maar toch representatief genoeg om het belang van dempingcorrectie aan te tonen.

Vergelijkingen zoals (10.38) beschrijven het gekoppeld dynamisch gedrag van brug en voertuig, waarbij de massamatrices, dempingsmatrices en stijfheidsmatrices allemaal dynamisch gekoppeld zijn via de contactpunten. Belangrijk in deze formulering is het gebruik van de Hermitische interpolatiefuncties {N}, die de continue verplaatsingsvelden van de brug op een fysiek consistente manier modelleren in aanwezigheid van lokale voertuigbelastingen.

In de numerieke simulaties, waarbij de brug discretiseerd werd in elementen van 0,5 m en een tijdstap van 0,001 s werd gehanteerd, kwamen de resultaten uit de eindige-elementenmethode (FEM) vrijwel volledig overeen met de analytisch afgeleide oplossingen. Zowel in het tijd- als frequentiedomein werd een hoge graad van overeenstemming vastgesteld, zelfs bij lage snelheden (5 m/s). Het verschil werd enkel zichtbaar bij frequenties die voortkwamen uit de voertuigdynamiek, die enkel door de FEM correct konden worden gereproduceerd vanwege het expliciet modelleren van voertuig–brug-interactie.

Door het gebruik van de contactrespons — in tegenstelling tot de globale voertuigrespons — konden deze voertuigfrequenties effectief onderdrukt worden. Hierdoor werd een heldere extractie van brugfrequenties mogelijk gemaakt, essentieel voor de juiste identificatie van modusvormen. Deze benadering versterkt het argument dat de contactinterface tussen voertuig en infrastructuur een cruciale informatiedrager is, wanneer men tracht structurele karakteristieken indirect te bepalen.

Een bijkomend essentieel inzicht dat hieruit voortvloeit, is dat klassieke analytische methoden, hoewel krachtig, beperkt blijven door hun onderliggende aannames. In werkelijkheid zijn voertuigmassa’s niet altijd verwaarloosbaar, en bruggen hebben zelden ideale randvoorwaarden. De numerieke aanpak op basis van VBI-elementen overstijgt deze beperkingen en biedt een robuuster kader voor realistische scenario’s.

Belangrijk om te beseffen is dat de nauwkeurigheid van de gereconstrueerde modusvormen sterk afhankelijk is van de juiste positionering van de voertuigen en de afstemming van hun dynamische parameters. Ook is het essentieel om oppervlakteruwheid in latere stadia mee te nemen, aangezien deze subtiele maar significante verstoringen kan introduceren. Ten slotte vereist de methode een verfijnde signaalverwerking om ruis te onderdrukken zonder modale informatie te verliezen — een balans die enkel bereikt kan worden met zorgvuldig afgestemde filters en numerieke stabiliteit in de tijdsoplossing.