Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
In de studie van materiële eigenschappen en structurele analyses in de context van niet-lineaire problemen, is het van essentieel belang om de juiste stress- en strainmaatregelen te kiezen die fysiek goed zijn gedefinieerd in de context van de gebruikte referentieconfiguratie. Bij de afleiding van dergelijke procedures, voornamelijk in de vorm van de incrementale niet-lineaire analyse, is de keuze van de juiste maatregel van cruciaal belang voor de validiteit van de berekeningen.
Wanneer we werken met materialen die de wet van behoud van massa volgen, zoals meestal het geval is in Newtoniaanse mechanica, kunnen we de basisvergelijkingen voor de volume-elementen van een materiaal schrijven in termen van integralen. Deze vergelijkingen geven ons inzicht in hoe de veranderingen in volume, massadichtheid en andere fysieke parameters zich verhouden tot de geometrische veranderingen van het materiaal. Wanneer de veranderlijke integratie van de coördinaten van de oorspronkelijke en de nieuwe configuratie plaatsvindt, blijkt uit de Jacobiaan dat er een belangrijke relatie bestaat tussen de dichtheden en volumes van de twee configuraties.
Het is belangrijk om te begrijpen dat bij het formuleren van de niet-lineaire incrementale theorieën het essentieel is om stress- en strainmaatregelen te kiezen die 'conjugaat' zijn. Dit betekent dat de gekozen stress- en strainmaatregelen de energiemaat van het materiaal op de huidige configuratie consistent moeten vertegenwoordigen. Dit is niet altijd het geval als de verkeerde combinaties van stress- en strainmaatregelen worden gebruikt. Het juiste paar conjugaten garandeert een fysiek geldig resultaat, wat kan worden bereikt door het principe van virtuele verplaatsingen toe te passen, dat de basis vormt voor het derivaat van de stofwetten in de context van de gekozen referentieconfiguratie.
Wanneer we werken met de Lagrangiaanse formulering, bijvoorbeeld de Total Lagrangian (TL) en de Updated Lagrangian (UL) formuleringen, kunnen we de stress- en strainmaatregelen selecteren die het beste bij de referentieconfiguratie passen. Dit betekent dat we voor de TL-formulering de Kirchhoff-stress tensor en de Green-Lagrange-strain tensor moeten gebruiken, terwijl voor de UL-formulering de geüpdatete Kirchhoff-stress tensor en de geüpdatete Green-strain tensor het juiste paar vormen. Dit biedt een fundamentele basis voor het verder begrijpen van de materiaalgedragingen tijdens niet-lineaire belasting.
Bij de afleiding van de constitutieve wetten voor de incrementele analyse moeten we de stress-strain-relaties op een incrementele manier specificeren. Voor de TL-formulering kunnen we bijvoorbeeld de Kirchhoff-stress increment tensor en de Green-strain increment tensor gebruiken, waarbij de constitutieve tensor afhankelijk is van de referentieconfiguratie. In de UL-formulering komt een vergelijkbare benadering voor, maar dan met geüpdatete tensors die overeenkomen met de nieuwe configuratie. De keuze tussen deze twee methoden hangt af van de aard van de vervormingen die we analyseren — of ze klein of groot zijn. Bij kleine vervormingen kunnen de constitutieve tensoren als gelijk worden verondersteld in beide configuraties, maar bij grotere vervormingen kunnen de belasting-deformatiecurves aanzienlijk verschillen.
Een belangrijk aspect van de incrementale niet-lineaire theorie is de toepassing van de zogenaamde vierde-orde transformatie van de constitutieve tensoren. Deze transformatie zorgt ervoor dat, wanneer we met verschillende referentieconfiguraties werken, de materialenidentiteit consistent blijft tussen de verschillende formules. Dit stelt ons in staat om de juiste materialeigenschappen te behouden, ongeacht de gekozen configuratie.
Naast de transformatie van constitutieve tensoren moeten we in de praktijk ook de juiste materialiewetten afleiden die een energieconservatie toestaan. Dit kan vaak worden gedaan door de tweede Piola-Kirchhoff-stress tensor en de Green-Lagrange-strain tensor te gebruiken, die met experimentele gegevens kunnen worden vastgesteld. De afgeleide differentiële wetten van deze functies beschrijven de veranderingen in de stress-strain-verhouding en stellen ons in staat om het gedrag van het materiaal onder verschillende belastingen te modelleren. Het is belangrijk om hierbij te beseffen dat een lineaire benadering van deze wet mogelijk fouten introduceert, maar dat deze fouten kunnen worden gecorrigeerd door gebruik te maken van verder verfijnde incrementele benaderingen.
Bovendien moet het effect van de gebruikte referentieconfiguraties op de materiaaleigenschappen goed worden begrepen. Dit is vooral belangrijk bij grote vervormingen, waar de verschillen in de configuraties een belangrijke rol spelen in de uiteindelijke respons van het systeem. Het is dus essentieel dat ingenieurs en wetenschappers in hun analyses zorgvuldig de juiste referentieconfiguratie kiezen en begrijpen hoe deze de materialiteitskeuzes beïnvloedt.
Hoe de Truss een Perfect Voorbeeld is van de Rigide Lichaamsregel in Niet-lineaire Analyse van Structuren
In de wereld van structurele analyse is de truss een modelstructuur die uitstekend geschikt is om de rigide lichaamsregel te demonstreren, zoals gepresenteerd in eerdere hoofdstukken van dit werk en door Yang en Chiou (1987). De reden dat de truss ideaal is voor deze illustratie is dat er geen complexe kinematische veronderstellingen nodig zijn om het gedrag van de doorsneden van de trussleden te beschrijven. Dit in tegenstelling tot de theorie van vlakke balken, die steunt op de Bernoulli–Euler-hypothese, waarbij de doorsneden na vervorming vlak blijven. In het geval van truss-elementen blijven de strain-displacement-relaties die voortvloeien uit de elasticiteit volledig geldig, zonder dat aanvullende aannames nodig zijn. Het gebruik van hogere-orde termen in de eindige-elementenformulering kan fysiek goed worden geïnterpreteerd, en deze zijn net zo belangrijk als de lagere-orde termen met betrekking tot het rigide lichaamsgedrag.
Een ander belangrijk aspect in een incrementele niet-lineaire analyse die gebaseerd is op de geüpdatete Lagrangiaanse formulering, betreft de specificatie van constitutieve coëfficiënten. In deze benadering worden de constitutieve coëfficiënten vaak als constant verondersteld binnen elk incrementeel stap. Materiaal dat op deze manier is gedefinieerd, kan alleen als incrementeel lineair materiaal worden beschouwd, hoewel het in wezen een niet-lineair materiaal betreft. Een echt lineair materiaal wordt gedefinieerd aan de hand van de totale tweede Piola-Kirchhoff-spanning en de totale Green-Lagrange-vervorming. Het verschil tussen incrementeel lineair materiaal en echt lineair materiaal wordt duidelijk wanneer de vervormingen die zijn opgehoopt door de vorige incrementele stappen groot worden.
Dit fenomeen is verder onderzocht door Yang en Leu (1990, 1991), die eenvoudige trussstructuren als voorbeeld gebruikten. In een incrementele niet-lineaire analyse die iteraties binnen elk incrementeel stap omvat, kunnen drie fasen worden geïdentificeerd. De eerste fase, of de voorspellende fase, betreft het oplossen van de verplaatsingsverhogingen uit de incrementele evenwichtsvergelijkingen van de structuur. De tweede fase, of de correctorfase, richt zich op het herstellen van de krachtverhogingen van de elementen op basis van de verplaatsingsverhogingen die in de voorspellende fase zijn verkregen. De resulterende krachten die op elk element aan het einde van elke incrementele stap werken, kunnen worden verkregen door de initiële krachten die aan het begin van de stap bestonden (gebaseerd op de rigide lichaamsregel) op te tellen bij de krachtverhogingen die tijdens de huidige stap zijn gegenereerd. In de derde fase wordt het evenwicht van de structuur gecontroleerd om te garanderen dat de iteraties voor het evenwicht worden bereikt in de nieuwe vervormde configuratie.
Hoewel verschillende procedures zijn voorgesteld voor het uitvoeren van de niet-lineaire analyse van structuren, bijvoorbeeld door Chajes en Churchill (1987), lijkt het dat er onduidelijkheden bestaan in de literatuur over enkele essentiële onderdelen van de niet-lineaire analyse. Dit is vooral het geval wanneer de rigide lichaamseigenschappen van de eindige elementen betrokken zijn, bijvoorbeeld bij de behandeling van hogere-orde termen die betrekking hebben op de afleiding van de elementstijfheidsmatrices met behulp van de virtuele arbeid-benadering. Deze termen zijn cruciaal voor het herstel en de actualisatie van de krachten van de elementen, en kunnen dus de evenwichtscontrole van structuren in een incrementele-iteratieve niet-lineaire analyse beïnvloeden.
In het vervolg wordt de afleiding van de eindige-elementenvergelijkingen voor evenwicht gepresenteerd voor een twee-dimensionaal trusselement, op basis van de virtuele arbeidvergelijking die eerder werd gepresenteerd in Sectie 1.7.2, met name vergelijking 1.131, die gebruik maakt van de geüpdatete Lagrangiaanse formulering. Met betrekking tot de hogere-orde termen zal in Sectie 4.3 worden aangetoond dat de truncatie van een hogere-orde term in de stijfheidsformulering afhankelijk is van de orde van de term zelf, maar ook van hoe deze de rigide lichaamsbeweging beïnvloedt. Om de rigide lichaamswet niet te schenden, moeten bepaalde bijbehorende termen als een geheel worden behandeld en samen worden beschouwd tijdens de afleiding. Het willekeurig behouden van een deel van deze termen, terwijl het andere wordt verwaarloosd, kan leiden tot fictieve krachten voor elementen die rigide rotaties ondergaan. Dergelijke gebreken kunnen in de correctorfase worden overgedragen, wat resulteert in onjuiste krachten van de elementen en dus in een onjuiste telling van de ongebalanceerde krachten.
In dezelfde sectie wordt de mogelijkheid van het trusselement met initiële knooppuntkrachten om rigide rotaties te accommoderen, gedemonstreerd. Het blijkt dat bepaalde hogere- en lagere-orde termen als een bijpassend paar moeten worden behandeld om rigide rotaties goed op te vangen, terwijl een andere combinatie van bijpassende termen wordt gebruikt om het rekgedrag te interpreteren. Vanuit dit perspectief kunnen we de "schoonheid" observeren van het elastisch gebaseerde straincomponentmechanisme dat in truss-elementen wordt gebruikt. Het biedt een robuuste basis voor niet-lineaire analyse, vooral in gevallen waarin de structurele componenten onder aanzienlijke vervormingen of rigide rotaties komen te staan.
Wat is de invloed van de geometrische stijfheid op niet-lineaire structurele analyses?
In de engineering en structurele mechanica wordt vaak onderscheid gemaakt tussen de algemene stijfheidsparameter en de huidige stijfheidsparameter bij de beoordeling van structuren onder belasting. Dit verschil heeft directe implicaties voor de precisie en de benadering die we gebruiken bij het modelleren van niet-lineaire gedrag van structuren. De stijfheid van een structuur is niet constant; hij verandert afhankelijk van de mate van vervorming, wat essentieel is bij het uitvoeren van geometrisch niet-lineaire analyses.
Bij de geometrische niet-lineaire analyse van constructies is het belangrijk te begrijpen dat de stijfheidsmatrix in de loop van de berekeningen kan veranderen, afhankelijk van de mate van vervorming van de structuur. De initiële stijfheidsmatrix, die meestal wordt gebruikt voor lineaire analyse, houdt geen rekening met de niet-lineaire effecten die optreden wanneer de vervormingen significant worden. De huidige stijfheidsmatrix houdt daarentegen wel rekening met de werkelijke, veranderende geometrie van de structuur naarmate de belasting toeneemt.
De algemene stijfheidsparameter geeft de initiële sterkte van de structuur weer zonder rekening te houden met de veranderende geometriëen en krachten die optreden tijdens de belasting. Dit kan nuttig zijn voor eenvoudige, lineaire analyses, maar voor nauwkeurige voorspellingen in complexe gevallen moet men overgaan naar de huidige stijfheidsparameter. Dit vraagt om het gebruik van algoritmen die in staat zijn om de geometrie dynamisch te herberekenen en de stijfheidsmatrix op elk moment in het proces van de analyse aan te passen.
Een algoritme voor geometrisch niet-lineaire analyse moet iteratief van aard zijn. Dit betekent dat de berekeningen in stappen worden uitgevoerd, waarbij elke stap een kleine aanpassing van de structuur toestaat en tegelijkertijd de veranderingen in de stijfheid van de elementen in overweging worden genomen. Deze aanpak maakt het mogelijk om nauwkeurige resultaten te verkrijgen voor complexe structuren, zoals boogconstructies en frames, die niet-lineaire effecten vertonen, zoals instabiliteit of grote vervormingen.
In termen van numerieke methoden is de meest gangbare techniek het gebruik van de 'incremental-iterative' benadering, waarbij de analyse wordt opgesplitst in kleine incrementele stappen. Elke stap wordt gebaseerd op een gewijzigde geometriestijfheidsmatrix, waardoor het mogelijk wordt om de structurele respons nauwkeurig te volgen. Dit is vooral relevant voor structuren die onder een uniforme buigbelasting staan, zoals cirkelvormige bogen of frameconstructies die zware, gelijke belastingen ervaren over hun lengtes.
Bij het berekenen van de geometrische stijfheid is het essentieel om de verandering van de interne krachten en momenten correct in kaart te brengen. Geometrische stijfheid wordt vaak benaderd door het gebruik van specifieke elementen, zoals het rigide driehoekige plaat element (TPE), dat gebruikt wordt voor zowel balken als platen en schalen. Dit element maakt het mogelijk om de niet-lineaire effecten van de geometrie van de structuur te integreren in de globale stijfheidsmatrix, waardoor een meer gedetailleerde en realistische analyse van de structurele respons mogelijk is.
Daarnaast is het cruciaal om bij de berekening van de geometrische stijfheid aandacht te besteden aan de wijze waarop de krachten en momenten zich over de elementen verdelen, vooral in gevallen waar de belasting niet symmetrisch is of waar er aanzienlijke vervormingen optreden. Dit vraagt om een diepgaand begrip van de theoretische principes achter de balans van interne krachten en momenten in de structuur, en hoe deze principes praktisch kunnen worden geïmplementeerd in numerieke simulaties.
Wanneer we verder gaan in de analyse van niet-lineaire structuren, moeten we ons realiseren dat de keuze van het elementtype en de manier waarop de stijfheidsmatrix wordt opgesteld, directe invloed heeft op de nauwkeurigheid van de resultaten. Voor complexe structuren die onder diverse belastingen staan, zoals schuine bogen of cilindershellen, moeten we de specifieke eigenschappen van het materiaal en de geometrie nauwkeurig modelleren om betrouwbare voorspellingen te doen. Dit omvat het rekening houden met de elastische en plastische vervorming, de interactie tussen de verschillende structurele elementen en de mogelijke instabiliteit bij het bereiken van kritieke belastingspunten.
In veel gevallen zal de geometrische stijfheid van een structuur veranderen naarmate de belasting toeneemt, wat kan leiden tot het ontstaan van niet-lineaire verschijnselen zoals plooien, schuiven of zelfs breuken. Het begrijpen van deze effecten en het correct modelleren ervan is een fundamenteel aspect van de structurele engineering, waarbij we de initiële lineaire benaderingen kunnen vervangen door meer geavanceerde, niet-lineaire methoden die in staat zijn om deze dynamische veranderingen in de structuur te simuleren.
De keuze voor de juiste numerieke technieken en een nauwkeurige benadering van de geometrische stijfheid kan het verschil maken tussen een betrouwbare en een onnauwkeurige voorspelling van de prestaties van de structuur. Wanneer we niet alleen de stijfheid maar ook de vervormingen en krachten gedurende het proces van belastingverhoging evalueren, verkrijgen we een veel beter begrip van de werkelijke respons van de structuur onder complexe belastingen.
Hoe werkt het zijwaarts of uit-vlak buckling in schuin geplaatste frames onder uniforme buiging?
In de studie van de uit-vlak buckling van schuine frames onder uniforme buiging moeten we het fenomeen van de buiging en torsie tegelijk begrijpen, omdat de krachten die op een frame werken gekoppeld zijn. Een van de belangrijkste aspecten van dit type instabiliteit is dat de kritische belasting niet alleen wordt bepaald door de buigweerstand van de leden van het frame, maar ook door de torsieweerstand. Dit maakt de analyse van zulke frames aanzienlijk complexer dan de klassieke analyse van buiging in-vlak.
In dit specifieke geval wordt het gedrag van de schuine frames die onder uniforme buiging staan onderzocht. De uit-vlak instabiliteit van deze frames verschilt aanzienlijk van het gedrag van in-vlak frames. De kritische belasting, die aangeeft wanneer het buckling optreedt, is hierbij afhankelijk van zowel de buig- als de torsiecomponenten van de interne spanningen en vervormingen in de frameleden. De bijbehorende evenwichtsvergelijkingen koppelen de buiging en torsie, waarbij ze allebei een rol spelen in de uiteindelijke instabiliteit van het systeem. De rotatie-eigenschappen van de interne knooppunten moeten bovendien worden meegenomen in de randvoorwaarden die het gedrag van het frame bepalen.
De oplossing voor deze complexe situatie kan worden gevonden door het opstellen van differentiaalvergelijkingen die de structurele eigenschappen van het frame beschrijven. Voor de symmetrische frames die in de literatuur worden beschreven, kunnen we de kritische belasting afleiden uit deze vergelijkingen, en de resultaten bieden ons een benchmark om de juistheid van verschillende rekentechnieken, zoals de eindige-elementenmethode, te verifiëren.
In een typisch symmetrisch frame dat eenvoudig wordt ondersteund, zijn de kruisdoorsneden van de leden identiek en wordt aangenomen dat de warpingstijfheid van de leden verwaarloosbaar is. De buiging wordt hierbij aangeduid met een uniforme buigmoment , wat het probleem verder vereenvoudigt. De bijbehorende differentiaalvergelijkingen van evenwicht kunnen worden afgeleid door het gebruik van de klassieke theorie van de buiging en torsie. De vergelijkingen die het gedrag van het frame beschrijven zijn gedetailleerd en de oplossing ervan is essentieel voor het verkrijgen van de kritische belasting. De rotatie van de interne knooppunten moet ook worden meegenomen, wat vaak over het hoofd wordt gezien in conventionele analyses.
De kritische belasting voor het buckling van dergelijke frames hangt af van de hellingshoek van het frame. Een belangrijke observatie is dat de kritische belasting voor negatieve buiging groter is dan voor positieve buiging. Dit resultaat lijkt fysiek zinvol, omdat negatieve buiging vaak leidt tot een meer instabiele toestand. De toepassing van een "incorrecte" benadering, waarbij geen rekening wordt gehouden met de rotatie van de knooppunten, heeft eerder geleid tot onnauwkeurige resultaten. De "correcte" benadering leidt tot hogere kritische belastingen voor negatieve buiging, wat wordt ondersteund door de afgeleide formules en de grafische representaties van de resultaten.
Een ander belangrijk aspect is de invloed van de hellingshoek van de schuine leden. Het is duidelijk dat voor specifieke hoeken, zoals wanneer , het frame zich gedraagt als een eenvoudig ondersteunde balk, en de kritische belasting overeenkomt met de klassieke oplossing voor een balk onder uniforme buiging.
Het is van essentieel belang om het verschil te begrijpen tussen de klassieke benadering van in-vlak instabiliteit en de complexiteit van uit-vlak instabiliteit in frames die onder torsie en buiging staan. Het ontbreken van een nauwkeurige beschouwing van torsie kan leiden tot een fundamenteel misverstand in het gedrag van het frame, vooral bij het gebruik van numerieke methoden zoals de eindige-elementenanalyse. Daarom is het noodzakelijk om in de ontwerppraktijk rekening te houden met de rotatie-eigenschappen van de knooppunten en de interactie tussen buiging en torsie bij de analyse van frames die onder gecombineerde belasting staan.