Wat is de basis van Supervised Learning in Neurale Netwerken?

Supervised learning is een van de fundamenten van machine learning en vormt de basis voor veel toepassingen van neurale netwerken. Het idee is eenvoudig: gegeven een onbekende functie, die een relatie beschrijft tussen twee verzamelingen, proberen we een benadering van deze functie te vinden op basis van een dataset van voorbeelden. Deze benadering wordt gevonden door een model te trainen dat, door middel van iteratie, de parameters optimaliseert om de voorspellingen te verbeteren.

Het model zelf is een functie $h : X \to Y$, die is gekarakteriseerd door een set parameters $F$, meestal de gewichten van een neuraal netwerk. Om te begrijpen hoe goed het model $h$ is, definiëren we een verliesfunctie $\ell : Y \times Y \to \mathbb{R}$, die de afwijking meet tussen de voorspelling $h(x)$ en de werkelijke waarde $y$. Het doel is om de parameters van het model te vinden die de verliesfunctie minimaliseren. Dit wordt vaak gedaan door middel van gradient descent, een iteratief optimalisatieproces waarbij de gewichten stapsgewijs worden aangepast in de richting van de negatieve gradient van de verliesfunctie.

Een belangrijk concept bij supervised learning is de keuze van het model en de verliesfunctie. De keuze van het model hangt vaak af van de aard van het probleem. In veel gevallen kan een eenvoudig lineair model volstaan, zoals in het geval van lineaire regressie, waar de verliesfunctie de kwadratische afwijking tussen voorspelling en werkelijke waarde is. Echter, voor complexere taken, zoals beeldherkenning, zijn diepere netwerken, zoals convolutionele neurale netwerken, nodig om complexe patronen te leren.

Daarnaast moet er aandacht worden besteed aan overfitting. Dit gebeurt wanneer een model te goed presteert op de trainingsdata, maar slecht generaliseert naar nieuwe, ongeziene data. Dit is vaak het geval wanneer het model te veel parameters heeft ten opzichte van de hoeveelheid trainingsdata. Om overfitting te voorkomen, wordt regelmatig regularisatie toegepast. Een bekende techniek is Tikhonov-regularisatie (of L2-regularisatie), die een boete toevoegt voor grote gewichten in het model, waardoor het model eenvoudiger en minder gevoelig voor ruis wordt.

In de context van neurale netwerken is het kiezen van de juiste verliesfunctie een delicate kwestie. De verliesfunctie moet niet alleen geschikt zijn voor het specifieke type taak (bijvoorbeeld classificatie of regressie), maar moet ook de juiste eigenschappen hebben om het trainingproces effectief te maken. Vaak worden verliesfuncties gekozen die continu en differentieerbaar zijn, zodat technieken zoals gradient descent effectief kunnen worden toegepast.

Naast de verliesfunctie is de keuze van de optimizer van cruciaal belang. Stochastic Gradient Descent (SGD) is de klassieke keuze, maar er zijn vele varianten die kunnen helpen bij het versnellen van het convergentieproces, zoals Adam, Adagrad of RMSProp. Elk van deze algoritmes heeft zijn eigen voordelen, afhankelijk van de specifieke eigenschappen van het probleem en de data.

Er moet aandacht worden besteed aan de computationale vereisten voor het trainen van neurale netwerken. In veel gevallen zijn de berekeningen intensief en kan het trainen van grote netwerken veel tijd en rekenkracht vereisen. Het gebruik van GPU's (Graphics Processing Units) heeft het mogelijk gemaakt om de training van diepe netwerken aanzienlijk te versnellen, maar het is nog steeds belangrijk om de efficiëntie van de implementatie in de gaten te houden.

Samenvattend, supervised learning is een fundamenteel concept binnen machine learning en neurale netwerken. De uitdaging ligt in het kiezen van het juiste model, het definiëren van een geschikte verliesfunctie en het vinden van de beste parameters voor het model. Dit proces vereist niet alleen technische kennis, maar ook een goed begrip van de onderliggende wiskunde en de praktische implicaties van de keuze van verschillende methoden en technieken.

Hoe werken tropische operatoren in het context van evenwichtigheid?

In de tropische algebra wordt de bewerking van maximaal nemen als de belangrijkste operatie, wat een sterke tegenstelling vormt tot de traditionele algebra waar de som en vermenigvuldiging de basisoperaties zijn. De tropische algebra kan gezien worden als een uitbreiding van conventionele wiskundige structuren, waar de tropische som wordt gedefinieerd als het nemen van de maximum van twee getallen, en de tropische vermenigvuldiging is gelijk aan de gebruikelijke optelling. Dit stelt ons in staat om met tropische operatoren te werken, die verschillende toepassingen hebben in de theoretische fysica en computationele wiskunde, vooral wanneer we te maken hebben met structuren die een soortgelijke algebraïsche eigenschap vertonen.

De ReLU-functie, die vaak wordt gebruikt in neurale netwerken, is een perfect voorbeeld van tropische affine functies. In plaats van een lineaire of affine functie te zijn, is de ReLU in de tropische setting een tropisch affine functie. Dit betekent dat hoewel de functie niet strikt lineair is, ze wel voldoet aan de eigenschappen van tropische affine functies, wat het mogelijk maakt om tropische operatoren toe te passen in de context van neurale netwerken.

Een tropische integraal wordt gedefinieerd door het supremum van een functie over de ruimte, wat niet noodzakelijk de klassieke integraal vervangt, maar het biedt een alternatief in gevallen waar de klassieke benaderingen, zoals de Riemann-integraal, niet toereikend zijn. Dit betekent dat in sommige gevallen, zoals bij de indicatorfunctie van de rationale getallen, de klassieke integraal niet bestaat, maar de tropische integraal kan nog steeds worden gedefinieerd door het nemen van het supremum van de functie. Dit biedt een diepere flexibiliteit in de toepassing van integrale operatoren in tropische contexten.

In het geval van de tropische operatoren kan een algemene tropische integraaloperator worden toegepast op een manifold, zoals bijvoorbeeld een homogeen ruimte van een Lie-groep. Door de semimodulaire eigenschap van de tropische algebra wordt de integratie van een tropische functie niet beïnvloed door de specifieke keuze van de basis waarop de integraal wordt genomen. Dit resulteert in de mogelijkheid om tropische operatoren te creëren die evenwichtig zijn met betrekking tot de symmetrie van de onderliggende Lie-groep.

De evenwichtigheid van tropische operatoren speelt een cruciale rol bij de vorming van operatoren die invariant zijn onder de actie van een Lie-groep. Dit betekent dat de eigenschappen van de tropische operator niet veranderen wanneer de onderliggende ruimte wordt getransformeerd door de groep, wat een essentiële eigenschap is voor veel toepassingen in de theoretische natuurkunde en signalenverwerking.

In dit kader kunnen we tropische operatoren creëren die invariant blijven onder symmetrieën van de ruimte. Dit komt doordat de tropicale algebra de mogelijkheid biedt om de supremum van de operatoren te behouden, ongeacht de specifieke transformaties die in de ruimte worden uitgevoerd. Dit maakt tropische operatoren bijzonder nuttig bij het bestuderen van symmetrieën en invarianten, wat een belangrijke rol speelt in vele gebieden van de wiskunde en natuurkunde.

Het is belangrijk te begrijpen dat tropische operatoren niet alleen als een theoretische constructie moeten worden beschouwd, maar ook als krachtige hulpmiddelen voor het analyseren van complexe systemen. De tropische algebra biedt een nieuw perspectief op lineaire operatoren en integrale operatoren, die het mogelijk maakt om nieuwe technieken te ontwikkelen voor het bestuderen van systemen met specifieke symmetrieën en structurele eigenschappen.

Endtext.

Hoe Kiezen We de Distributies voor Initialisatie in Neurale Netwerken?

Bij het ontwerpen van een neuraal netwerk, is de initiële verdeling van de gewichten en biases van cruciaal belang voor de prestaties van het model. Dit proces, vaak aangeduid als initialisatie, heeft directe invloed op hoe snel en effectief het netwerk leert. Het kiezen van de juiste verdelingen is niet zomaar een willekeurige keuze, maar eerder een zorgvuldig doordachte strategie gebaseerd op statistische principes en de aard van de activatiefuncties die we gebruiken.

Een goed geïnitieerd netwerk kan sneller en efficiënter convergeren naar een optimaal resultaat, terwijl een slecht geïnitialiseerd netwerk vaak vastloopt in lokale minima of zelfs niet leert. Dit is de reden waarom methoden zoals de deterministische initiatie van gewichten, zoals besproken in het tutorialnotebook 4_FunctionApproximationIn1D.ipynb, een belangrijk voordeel kunnen bieden ten opzichte van de standaard stochastische benadering. In dat geval konden we een aanpak ontwikkelen die de trainingstijd verkortte door de initiële gewichten beter af te stemmen op de aard van de specifieke taak.

Een andere belangrijke overweging is dat een goede initialisatie niet alleen zorgt voor snellere convergentie, maar ook voor een betere algemene prestaties. Dit is van bijzonder belang bij grootschalige netwerken, zoals GPT-3, dat 175 miljard parameters bevat en naar verluidt 4 miljoen dollar heeft gekost om te trainen. Het verbeteren van de initiatie kan dus een substantiële economische waarde hebben, aangezien de kosten van training voor dergelijke netwerken enorm zijn.

Om de juiste verdelingen te kiezen voor de initialisatie van de netwerkparameters, moeten we de invoer van een neuron als een willekeurige vectorwaarde beschouwen. De output van een neuron is vervolgens ook een willekeurige variabele, en we willen de verdeling van de gewichten en biases zo kiezen dat de variantie van het signaal tussen de lagen redelijk constant blijft. Dit kan worden bereikt door de variantie van het signaal in de lagen te beheersen, zodat deze niet te veel varieert van laag naar laag.

De uitdaging ligt in het vinden van een geschikte kansverdeling voor de gewichten en biases die voldoet aan de vereisten van constante variantie. Dit wordt gedaan door gebruik te maken van benaderingen zoals Lemma 2.5, waarin de variantie van een functie van een willekeurige variabele wordt benaderd. Als de variantie van de invoer klein is, zal de variantie van de uitvoer ook klein blijven, zolang de afgeleide van de activatiefunctie redelijk beperkt is. Dit principe wordt toegepast bij het bepalen van geschikte kansverdelingen voor de gewichten en biases in het netwerk, zoals normaal verdeelde of uniforme verdelingen.

In de praktijk kiezen we vaak voor de normale verdeling of de uniforme verdeling om de gewichten en biases in te stellen. Dit zorgt ervoor dat de signalen tijdens de training niet te snel exploderen of verwelken. Bijvoorbeeld, bij de sigmoidfunctie kan een normale verdeling met een specifieke variantie worden gebruikt om de gewichten te initialiseren, zodat het netwerk effectief leert zonder dat de signalen te sterk vervormen.

Voor andere activatiefuncties, zoals ReLU, moeten we de initialisatie iets anders aanpakken. De ReLU-functie is niet symmetrisch, wat betekent dat we ervoor moeten zorgen dat de gewichten en biases op een manier worden ingesteld die het netwerk in staat stelt om effectief te leren, zonder dat de signalen uitmonden in een situatie waarin ze altijd nul zijn of te sterk fluctueren. Dit kan bijvoorbeeld worden bereikt door de gewichten uit een uniforme verdeling te trekken, met een nauwkeurige keuze van de grenzen om de variantie goed te beheersen.

Bij de Xavier-initialisatie, genoemd naar Glorot en Bengio (2010), wordt de focus niet alleen gelegd op de signalen die voorwaarts door het netwerk gaan, maar ook op de gradiënten die zich achterwaarts voortplanten tijdens de backpropagatie. Door zowel de voorwaartse signalen als de achterwaartse gradiënten te analyseren, kan een meer verfijnde benadering voor initialisatie worden ontwikkeld die de gradatie van de gewichten in de juiste richting stuurt, wat zorgt voor een betere training van het netwerk.

Bij de Xavier-initialisatie wordt aangenomen dat de gewichten en invoerwillekeurige variabelen zijn, en de variantie van de uitgangen wordt gecontroleerd door een geschikte kansverdeling voor de gewichten te kiezen. Het doel is om de variantie van de signalen door het netwerk gelijk te houden, zowel voorwaarts als achterwaarts, zodat het netwerk niet wordt blootgesteld aan de problemen van verdwijnende of exploderende gradiënten.

Wat betreft de keuze van de kansverdeling voor de gewichten, worden vaak normale of uniforme verdelingen gebruikt. Bij de Xavier-initialisatie wordt bijvoorbeeld meestal een normale verdeling met een bepaalde variantie gebruikt om ervoor te zorgen dat de signalen door het netwerk goed blijven beheersbaar. Dit is belangrijk, omdat de gradatie van de gewichten, die beïnvloed wordt door de gradiënten tijdens backpropagatie, het uiteindelijke leerproces beïnvloedt.

Het is belangrijk te begrijpen dat de keuze voor initialisatie niet alleen afhankelijk is van de activatiefunctie, maar ook van de specifieke kenmerken van het netwerk en de taak die het moet uitvoeren. Wat voor het ene netwerk werkt, is mogelijk niet ideaal voor een ander netwerk. Daarom is het cruciaal om verschillende initialisatiestrategieën te testen en te evalueren om de beste optie voor een bepaald probleem te vinden.

Hoe werkt automatische differentiatie en backpropagatie in neurale netwerken?

In de wereld van machine learning speelt automatische differentiatie een cruciale rol bij het trainen van neurale netwerken. Deze techniek maakt het mogelijk om efficiënt de afgeleiden van een verliesfunctie ten opzichte van de parameters van het netwerk te berekenen, wat essentieel is voor het optimalisatieproces via backpropagatie. Laten we een dieper kijkje nemen in hoe dit werkt.

Tijdens de zogenaamde "forward pass" berekenen we eerst de uitgangen van het netwerk door simpelweg de parameters $\theta_0$ en $\theta_1$ in te voeren en de overeenkomstige voorspelling $H$ te berekenen. Dit wordt vaak als volgt geïllustreerd:

Het resultaat van de forward pass is het verlies $\ell$, dat we verkrijgen door de voorspelde waarde $H$ te vergelijken met de werkelijke waarde $H_0$.

De backpropagatie wordt mogelijk gemaakt door een computationele grafiek, die elke stap van de berekeningen vastlegt en bijhoudt hoe de verschillende waarden van elkaar afhankelijk zijn. Dit is een essentiële component in machine learning frameworks zoals PyTorch, waar elke bewerking op tensors een nieuwe node in de grafiek toevoegt. Wanneer de backpropagatie wordt uitgevoerd (bijvoorbeeld door de methode .backward() in PyTorch aan te roepen), wordt de grafiek van achter naar voren doorlopen om de juiste afgeleiden te berekenen. Dit proces maakt het mogelijk om automatisch de gradiënten van alle parameters te berekenen zonder dat we handmatig de afgeleiden van elke functie hoeven te schrijven.

In de voorbeelden die we hebben bekeken, hebben we gewerkt met eenvoudige scalarfuncties. In meer geavanceerde toepassingen, bijvoorbeeld wanneer we werken met vectoren of matrices, moeten we de afgeleiden van vectorwaardige functies berekenen. Dit betekent dat we tijdens de backward pass niet alleen de afgeleiden van de output ten opzichte van de input moeten berekenen, maar ook rekening moeten houden met de afgeleiden van de tussenliggende stappen. In zulke gevallen kunnen de afgeleiden worden vastgelegd in Jacobiaanse matrices, die het effect van de parameters op de output nauwkeuriger beschrijven.

Er zijn echter enkele belangrijke aspecten die moeten worden opgemerkt wanneer we werken met neurale netwerken en automatische differentiatie. Ten eerste is het essentieel om te begrijpen dat de geheugenvereisten voor het trainen van een netwerk behoorlijk groot kunnen zijn. Dit komt doordat we veel tussenresultaten moeten opslaan voor de backward pass, vooral in diepe netwerken. In frameworks zoals PyTorch worden tussenresultaten die nodig zijn voor de backpropagatie opgeslagen als zogenaamde "saved tensors". Dit kan aanzienlijke hoeveelheden geheugen vereisen, vooral wanneer we werken met diepe netwerken met veel lagen en parameters.

Ten tweede moeten we ons realiseren dat, hoewel de grafieken van de berekeningen automatisch kunnen worden gegenereerd, het begrijpen van de structuur van deze grafieken belangrijk is om een efficiënt en correct trainingsproces te garanderen. De complexiteit van de afhankelijkheden tussen de verschillende berekeningen kan snel toenemen naarmate het netwerk groter wordt. Dit betekent dat, hoewel de automatische differentiatie het proces van het berekenen van gradiënten vereenvoudigt, het nog steeds noodzakelijk is om goed te begrijpen hoe de grafieken werken en hoe de verschillende componenten van het netwerk met elkaar communiceren.

Het is ook belangrijk om te begrijpen hoe de implementatie van de automatische differentiatie verschilt tussen verschillende frameworks. In PyTorch bijvoorbeeld worden de afgeleiden van de lossfunctie door middel van de kettingregel berekend, maar de manier waarop de computationele grafiek wordt opgebouwd en geoptimaliseerd kan variëren tussen verschillende bibliotheken. Het is daarom essentieel voor de praktijk om de specifieke details van de implementatie in het gekozen framework te begrijpen om te zorgen voor een efficiënte uitvoering.

Samenvattend, automatische differentiatie en backpropagatie zijn onmisbare tools voor het trainen van neurale netwerken. Deze technieken stellen ons in staat om gradiënten efficiënt te berekenen en het netwerk op basis van deze informatie te optimaliseren. Hoewel de implementatie ervan via computationele grafieken tegenwoordig grotendeels geautomatiseerd is, blijft het belangrijk om de onderliggende principes van deze technieken te begrijpen, vooral als het gaat om geheugenbeheer, optimalisatie en het werken met complexe netwerkstructuren.