Hoe het Rigid Body Bewegingsprincipe de Niet-lineaire Analyse van Eindige Elementen Beïnvloedt

Het testen van de kwaliteit van eindige elementen voor niet-lineaire problemen is een relatief onderbelicht onderwerp in de literatuur. Veel studies, zoals die van Cook et al. (1989), hebben zich geconcentreerd op de lineaire benadering van eindige-elementanalyse, maar er is weinig aandacht besteed aan het vaststellen van de geschiktheid van een eindig element voor niet-lineaire analyses. In deze context wordt de "patch test" vaak gebruikt om te verifiëren of een eindig element correct is voor lineaire problemen, maar voor niet-lineaire situaties is er geen eenvoudig alternatief zoals de patch test.

Het is echter niet voldoende om enkel de geometrische stijfheidsmatrix te onderzoeken. De validiteit van een niet-lineair eindig element moet worden beoordeeld op basis van de gehele eindige-elementstijfheidsvergelijking, inclusief de geometrische stijfheidsmatrix. Daarbij moet ook de Rigid Body Rule en de incrementele stijfheidsvergelijking van de vlakke raamelementen worden bekeken. Dit geheel vormt de basis voor de beoordeling of een eindig element voldoet aan de fundamentele natuurwetten van rigide lichaamsbeweging.

Porter en Powell (1971) voerden een decompositie uit van de geometrische stijfheidsmatrix in twee delen: de interne en externe stijfheidsmatrices. De interne stijfheidsmatrix houdt rekening met veranderingen in de nodale krachten door de natuurlijke vervormingen van het element tijdens een incrementele laadstap, terwijl de externe stijfheidsmatrix veranderingen in de nodale krachten beschrijft door rigide lichaamsbewegingen van het eindige element binnen dezelfde stap. Dit concept werd verder onderzocht door Gattass (1982), die de evenwichtsvergelijking van een tweedimensionaal balkelement, dat een rigide lichaamsrotatie ondergaat, uitlegde op basis van de geüpdate Lagrangiaanse formulering. Yang en McGuire (1986a) breidden dit concept uit naar een driedimensionaal I-vormig balkelement, met zeven vrijheidsgraden aan elk uiteinde, inclusief de warpinggraad.

Desondanks is een belangrijk aspect vaak over het hoofd gezien: de invloed van rigide lichaamsbewegingen op de grootte en richting van de initiële krachten op het eindige element. Pas met het werk van Yang en Chiou (1987) werd de nadruk gelegd op de noodzaak om ook deze factoren te overwegen. Dit werd de basis voor de rigide lichaamsbewegingstest die kan worden gebruikt om de geschiktheid van eindige elementen voor niet-lineaire analyses te bepalen.

Bij de toepassing van deze test moet het eindige element hetzelfde gedrag vertonen als voorgeschreven door de rigide lichaamsregel bij rigide lichaamsbewegingen. Het is belangrijk op te merken dat de betrouwbaarheid van de niet-lineaire oplossingen sterk afhankelijk is van de consistentie van de berekeningsmethoden voor de krachten van het element tijdens het incrementele-iteratieve proces. Dit concept is niet beperkt tot eenvoudige elementen zoals de tweedimensionale balkelementen, maar kan worden uitgebreid naar meer complexe elementen, zoals ruimte-frame-elementen die in de volgende hoofdstukken worden besproken.

In de numerieke voorbeelden wordt aangetoond dat uitstekende niet-lineaire oplossingen kunnen worden verkregen als het eindige element de rigide lichaamsbewegingstest doorstaat en een consistente procedure wordt gevolgd voor het berekenen van de krachten in het incrementele proces. Het is essentieel dat de berekeningen in elke stap van de analyse rekening houden met de rigide lichaamsbewegingen en de daarbij behorende initiële krachten, omdat deze een bepalende invloed kunnen hebben op het uiteindelijke gedrag van de structuur.

Wat belangrijk is om te begrijpen, is dat de rigide lichaamsbewegingen invloed hebben op zowel de interne als externe krachten in een structuur, en dat deze invloeden nauwkeurig moeten worden gemodelleerd om correcte niet-lineaire analyses uit te voeren. Het negeren van deze invloeden kan leiden tot inconsistente of onrealistische resultaten, vooral in gevallen waar de structuur onderhevig is aan grote vervormingen of rigide bewegingen. Het is dus van cruciaal belang om de principes van de geometrische stijfheid en de rigide lichaamsregel te integreren in de ontwerp- en analysemethoden voor niet-lineaire eindige-elementmodellen.

Hoe werkt de incrementeel-iteratieve niet-lineaire analyse in structuren?

In de niet-lineaire analyse van structuren is het essentieel om onderscheid te maken tussen incrementele stappen en iteratieve stappen die in elke incrementele stap worden uitgevoerd. De incrementele methode kan zonder iteraties worden uitgevoerd, wat leidt tot een pure incrementele benadering. Dit kan een nuttige startmethode zijn voor de analyse van structuren die grote vervormingen ondergaan, hoewel het niet altijd de nauwkeurigheid van de resultaten garandeert.

De incrementele analyse is gebaseerd op de veronderstelling dat de structuur in kleine stappen wordt geladen, zodat de niet-lineaire respons van de structuur in elke stap lineair kan worden benaderd. Dit betekent dat de krachtincrementen binnen elke stap klein genoeg moeten zijn om de niet-lineaire effecten te verwaarlozen. Voor elke incrementele stap kunnen de interne krachten {F_i} van de structuur worden berekend door de som van de krachten in alle elementen van de structuur. Vervolgens kan de structurele configuratie worden geüpdatet door de interne krachten te vergelijken met de externe krachten {P_i}.

In de pure incrementele methode worden de krachten in de structuur incrementieel toegepast zonder iteraties. De structuur wordt bij elke stap geanalyseerd met behulp van de vergrote stijfheidsmatrix, die wordt berekend op basis van de huidige configuratie van de structuur. De interne krachten {f_i} voor elk element kunnen op basis van de bijgewerkte geometrie worden berekend, en de totale krachten {F_i} van de structuur worden vervolgens samengevoegd.

In de incrementeel-iteratieve methode worden de incrementele stappen gecombineerd met iteraties binnen elke stap om de convergentie van de oplossing te verbeteren. Tijdens de iteraties wordt de structuur opnieuw geëvalueerd totdat de interne krachten in evenwicht zijn met de externe krachten. Dit proces wordt herhaald totdat een acceptabele nauwkeurigheid wordt bereikt. De iteraties zorgen ervoor dat de structuur op elk moment in evenwicht is, zelfs wanneer de krachten sterk variëren, zoals het geval kan zijn rond kritieke punten zoals het moment van instabiliteit of het punt van elastisch-plastisch gedrag.

De iteratieve stappen binnen de incrementele methode zijn van cruciaal belang wanneer de structuur niet-lineair gedrag vertoont, zoals bij grote vervormingen of wanneer de structuur zich in de post-bucklingfase bevindt. Deze fasen brengen vaak uitdagingen met zich mee, zoals de noodzaak om de belasting incrementen dynamisch aan te passen op basis van de mate van niet-lineariteit die wordt waargenomen in de structuur. Dit vereist dat het iteratieve proces het load-deflection pad van de structuur kan volgen, zelfs als de structuur zijn stabiliteit verliest of instabiele punten bereikt.

Daarnaast is het van belang om te begrijpen dat de keuze voor de grootte van de belastingincrementen invloed heeft op de efficiëntie en nauwkeurigheid van de analyse. In gevallen van grote vervormingen of instabiliteit kan een te grote belastingstap de oplossing destabiliseren, terwijl te kleine stappen de berekeningen onnodig vertragen. Een goed uitgebalanceerde benadering van de belastingincrementen kan helpen om de balans te vinden tussen snelheid en nauwkeurigheid.

Een ander belangrijk aspect is de evaluatie van de convergentie van de iteratieve methode, vooral nabij kritieke punten. De aanwezigheid van limietpunten of snap-backpunten in het belasting-vervormingstraject kan leiden tot numerieke moeilijkheden. De iteratieve methode moet in staat zijn om deze punten nauwkeurig te benaderen om de juiste oplossing te vinden. Daarom is het belangrijk dat de iteraties zich aanpassen aan de kenmerken van het niet-lineaire gedrag van de structuur.

Samenvattend kan worden gesteld dat de incrementeel-iteratieve methode een krachtige techniek is voor het analyseren van structuren die niet-lineair gedrag vertonen. De combinatie van incrementele stappen met iteraties zorgt ervoor dat de oplossing nauwkeurig wordt, zelfs in complexe situaties zoals grote vervormingen of post-buckling gedrag. Het vereist echter zorgvuldige afstemming van de belastingstappen en iteraties om de stabiliteit en nauwkeurigheid van de berekeningen te waarborgen, vooral wanneer de structuur zich in de buurt van kritieke punten bevindt.